См. (И1),(И2) в лекции №11

Предадим векторный вид Введем радиус вектор мт… и учтем что направлена по касательной окружности. По построению видно, что перпендикулярна плоскости окружности.

Описываем изменение во времени при условии что его модуль const, а конец движ. со скоростью .

см(И3) в лекции№11

Мы переходим к случаю когда сист. отсчета НСО движется произвольно ИСО.

В общем случае это движение можно разложить на 2 состав. Первое это пост. и ускор. движ центра О-

этот случай мы рассмотрели ранее. Второе это вращательное движение сист. XOYZ с углов. скор. с

углов. ускор. ; -единые орты НСО.

Продеференцируем по времени, один раз

-это скорость мт в НСО. -это скорость в точке О в НСО.

Найдем с учетом разложения , а так же учитывая то что орты вращаются с

угловой скоростью .

;

 

; -скорость мт в НСО, - скорость нач. координат в НСО, -скорость Мт в НСО, - угловая скорость вращения.

 

 

№24. Общий случай движения НСО: ускорение.

Продеференцируем обе части ( Общий случай движения НСО: скорость.) по времени

 

-ускорение Мт в НСО; -ускорение т. О в НСО;

 

 

; ; ;

Подставим преобразования:

Является окончательной формулой и дает связь между и для произвольного движения НСО.

Вектор - Кориолисово ускорение.

Введем вектор - это вектор назыв. переносным ускорением, именно такое ускор. в НСО имеет Мт, которое покоится.

 

№25.Уравнение динами Мт в НСО.

; ;;

Применим 2 з. Ньютона для ИСО в S1:; -настоящая сила.

;

; -Это уравнение представляет собой основной закон динамики в НСО, для общего случая поступательного и вращательного ускоренного движения относительно ИСО

-Кореолесова сила инерции.

Первое слагаемое в с ускорением поступательного движения системы S. Основные 2 слагаемых возникают из-за ,вращательного движения НСО, с угловой скоростью и угловым ускорением .

Кореолесова сила определяется с одной стороны вращением НСО, а с другой скоростью Мт относительно S.

 

 

№26. Движение Мт относительно вращающейся Земли.

Рассмотрим S1 связанная с солнцем приблизительно инерциальна, система S связана с Землей, суточное вращение. Внешнюю реальную силу(результирующую).

;-сила притяжения Земли. -сила притяжения со стороны солнца.

- результирующая всех других сил.

Тогда закон механики

-ускорения центра Земли под действием гравитации солнца.

; ;

.

. (1)

По определению вектор определяемый из равенства называется вектором свободного падения.

(2)

Формулы (1) и (2) совместно являются уравнениями движения Мт.

 

№27. Вес тела. Маятник Фуко.

Весом тела называют силу приложенную к телу!!! Которая равна и противоположно направлена силе, с которой подставка действует на тело!

При этом мы считаем, что тело покоится относительно Земли (НСО).

Применим формулу ,

подставим

;

. (1)

С учетом того, что мы видим, что вес тела состоит из 2 частей:

(2)

согласно этой формуле вес тела есть векторная сумма силы гравитационного притяжения Земли и центробежной силы инерции.

Фор-лы (1) и (2) есть конечные формулы вопроса (вес тела).

Пусть пл-сть колеб. совпадает с пл-ю рисунка.

Маятник имеет скорость,-начальная к траектории

;

1) -это состав. действ. вдоль нити, растягивающая ее.

2)-сила мала и она оказывает малое влияние, т. к. .

3)

и находятся в пл-ти доски. Эта сила направлена перпендикулярно доске, является частью силы Кориолиса и вызывает смещение пл-ти колебаний, и в результате это смещение становится заметным.

№28.Углы Эйлера.

Углы Эйлера -3 угла, которые описывают вращение системы S с тт. относительно S1.

Рис.1: -прямая по которой пересекаются плоскости и .

Дадим ряд определений:

Пл-ть пересекает пл-ть OXY по линии (линия узлов), полож. направление совпадает с вектором . .

По определению углы Эйлера называются углы:

Угол является углом собственного вращения.

Угол называется углом процессии.

Угол называется углом нутации.

 

 

№29.Вращательное движение.

Вращательное движение, при котором 2 его точки остаются всегда неподвижными, прямая проходящая через эти точки - называется осью вращения.

Все остальные точки не лежащие на оси описывают окружности в плоскостях оси вращения, центры этих окружностей лежат на оси вращения.

Рассмотрим какую либо точку, которая движ. по окружности. R-радиус, .

; -угловая скорость вращения тт.

 

 

№30.Уровнение движения твердого тела.

Мы говорили о том, что тт. есть СМТ мы доказали, что эта система обладает 6 степенями свободы, поэтому для описания СМТ необходимо 6 скалярных уравнений; ; ;

Эти уравнения есть уравнения описывающие динамику тт. – это 6 скаляр. уравнений

Уравнения моментов можно брать относительно произвольного неподвижного начала или относительно центра масс тт.. Можно также брать произвольно движ. начало, если только скорость его в любой момент времени параллельна скорости центра масс. При ограничение свободы движ. число независимых уравнений, требующихся для описания движ. тт. , уменьшается. Она всегда равна числу степеней свободы.

Внутренние силы не влияют на движ. тт.

№31.Моменты инерции.

(см. и5 лекции 14)

(1)

(2)

(3)

представим, что ,

(4)

(не такая экзотика для полупроводников)

вывод: если между проекциями физ. Величин сущ-ет связь типа (4), причем , то видим, что векторы, для которых эта связь справедлива, непараллельны

(5)

Формула (5) уже дает связь между и , но она достаточно неявна. Преобразуем (5), для этого рассмотрим проекции на оси координат.,

1) (;;)

(6)

(7)

(8)

Формула (8) дает связь проекции момента кол-ва движения ТТ и сразу с тремя проекциями вектора угловой скорости

 

Аналогично получим:

(9)

(10) Из формул (10) видно: (11)

Из 9-ти коэффициентов независимы только 6.

Величины , , называются

осевыми моментами инерции тв. тела.

Величины , ,

называются центробежными моментами инерции ТТ.

Величины , ,

называются центробежными моментами инерции ТТ.

Векторы и не параллельны. Такая связь, когда связываются 2 не параллельных вектора называется тензорной связью, и говорят, что эта связь определяется с помощью тензора 2-го ранга.

 

(12)

Тензор , введенный в формуле (12) с помощью (10) называется тензором инерции твердого тела.

Величины , и т.д., называются компонентами тензора.

Тензор называется симметричным тензором.

 

№32.Вычисление моментов инерции относительно оси.

Пусть ось Z есть ось вращения.

(1)

(2)

(3)

(4)

Момент инерции относительно оси.

( ; ; )

(; ;)

 

Этот предел если существует, то равен объемному интегралу

(5)

Формула (5) дает выражение для момента инерции относительно оси в случае непрерывного

расположения массы вещества.

 

 

№33.Теорема Гюйгенса-Штейнера

(см. рис в лекции №17)

Расм. произвольное тв. тело. Пусть точка О –центр масс этого тела, а ось проходит через центр масс. Пусть АВ – ось // и нах-ся на расстоянии а. пусть Ri- радиус i-той точки, лежащей в пл-сти xoy.

Ri отсчитывается от центра масс. (1)

Задача: сравнить осевой момент инерции относительно оси и оси АВ

от Iо

от АВI

(2)

(3)

(4)

(6) (5)

Ф-ла (2) и (5)

(7)

Формула (7) выражает теорему Гюйгенса-Штейнера.

№36. Движение тел с переменной массой.

,км/с

речь не идет о релятивистском изменении массы.

Мы называем тело телом с переменной массой если в процессе его движения масса тела меняется за счет потери или приобретения вещества.пример: 3-х ступенчатая ракета. Выгорает топливо, масса уменьшается.

Для получения уравнения движения тела с переменной массой нет необходимости привлечения новых физ. Принципов. Это ур-е следует из законов Ньютона.(см. и1 лекции 20 )

Пусть имеется ракета (см и1) которая имеет массу М(t).Пусть в неподвижной ИСО S скорость ракеты равна .Пусть в течении малого времени dt происходит выброс массы dm, причем скорость выброса есть u.Мы считаем что система замкнутая, для таких систем выполняется закон сохранения импульса, выполняется закон сохр. массы. Обозначим dM- уменьшение массы ракеты за dt.

dM<0 (2) следовательно мы имеем: dM+dm=0 (3)- закон сохранения массы. Импульс системы в момент времени t: (4)

(5)

Для общего случая: (6)

Когда действует внешняя сила:(7)

Получаем:

Мы пренебрегаем произведением как величину 2-го порядка малости

(8)

Мы учтем силу для общего случая:

(9)

Уравнение (9) описывает движение тела с переменной массой в ИСО S при наличии внешних сил F.

- относительная скорость газов относительно ракеты, тогда относительно S

(10)

(11)

Расписываем левую часть (9):

(12)

Обозначим через ежесекундный расход топлива

(13) {кг/с}

с учетом (3) перепишем (13)

(14)

(15)

Формула (15) есть главная формула данного вопроса.

Вектор (16) назовем реактивной силой.

Уравнение (15) называется уравнением Мещерского или уравнением движения тела с переменной массой для общего случая(в присутствии F).

№37. Формула Циолковского.

(см. и2 в лекции 20)

(1)

Спроецируем с учетом (1) на ось Z

(2)

Обозначим ,- значения массы и скорости перед включением двигателя ракеты

const

(3)

(4)

Формула (4) называется формулой Циолковского. Эта формула показывает насколько изменится масса ракеты при увеличении скорости от до . Из этой формулы можно узнать насколько изменится скорость ракеты. (5)

Из этой формулы видно, что для увеличения скорости при минимальном расходе топлива нужно увеличивать .

=(4~5)км/с

На практике используют ступенчатый принцип. Идею 3-х ступенчатой ракеты предложил Циолковский.

 

 

№38. Столкновения. Законы сохранения при столкновениях.

Пример: столкновение 2-х бильярдных шаров

.Если шары столкнулись, скорости их изменились, при этом происходит удар. Более сложный- опыт Резерфорда в котором изучалось столкновение - частиц с ядрами вещества.(см. и3 лекции 20)

При этом скорость меняется от до , и прямого удара не было.

Таким образом, есть только изменение скорости, но в физике это тоже относится к столкновению.

Столкновением называется взаимодействие 2-х или более тел (частиц) которое происходит в относительно малой области пространства и в течении малого времени, при этом скорости тел до взаимодействия и после взаимодействия измеренные в точках и времени отличаются друг от друга.

() L ~ x

() T ~ t

L и T к А правило параметры установки.

При столкновениях, как правило происходит изменение импульса, момента импульса, и энергии частиц.

Выполняются законы сохранения:

Мы учитываем рождение и уничтожение частиц.

(1)

Ф - ла (1) выражает закон сохранения импульса при столкновении частиц.

Мы знаем, что при ударе часть кинетической энергии шара уходит в тепло за счет неупругих деформаций

, -до удара

, -после удара

(2)

Ф – ла (2) выражает закон сохранения полной энергии при сохранении частиц.

№39. Абсолютно упругое столкновение двух шаров.

Если внутренняя энергия частиц после столкновения не изменяется, то такое столкновение называется упругим.

, ,

, ,

Если , то , .

При столкновении двух одинаковых шаров, они обмениваются скоростями.

№40. Абсолютно неупругое столкновение двух шаров.

Если внутренняя энергия частиц после столкновения изменяется, то такое столкновение называется неупругим. Это столкновение двух тел, в результате которого они соединяются вместе и движутся дальше как одно тело.

Обозначим через V общую скорость шаров после столкновения. Закон сохранения импульса дает:

, где и - массы шаров. Отсюда получим:

Кинетические энергии системы до удара и после удара равны соответственно:

,

отсюда получим:

, где - приведенная масса шаров.

Таким образом, при столкновении двух абсолютно неупругих шаров происходит потеря кинетической энергии макроскопического движения, равная половине произведения приведенной массы на квадрат относительной скорости.

43.Математический маятник

(см. Л.№17.И.6)

Система (И.6) и состоящая из нерастяжимой нити длиной ,подвешенная в точке О. С сосредоточенной массой и находящаяся в поле силы тяжести называется математическим маятником .Мы считаем эту массу материальной точкой.

Найти закон движения м.т. на И.6 если ей сообщена либо начальная скорость, либо угол отклонения ,либо начальный импульс.

В основе решения любой задачи лежит закон природы. В данном случае это второй закон Ньютона записанный для вращательного движения (1)

; (2) (3) Сила натяжения нити не создает момента т.к..

(4) Проецируем ур-е (1) (5) ; (6)

Подставляя (6) в (5) получаем:(7)

Ур-е (7) называется дифференц. Ур-ем движения математического маятникаЭто не линейное ур-е.

Для решения (7) мы рассмотрим случай малых колебаний, именно он и реализуется в часах. (8).

(9)

Ф.(9) называется рядом Тейлора

; ; ;

При выполнении (8) ряд Тейлора можно оборвать на первом не нулевом члене. (10) С учетом (10) получаем (11)

Ур-е (11) называется линейным диф. Ур-ем движения математического маятника

; (12); (13);

Мы показали, что этот параметр введенный по формуле (13) имеет размерность квадрат частоты. С учетом (12) и (13) и (11) приобретает следующий вид: (14)

Это линейное дифференциальное ур-е движения математического маятника

ОЗМ:

Ур-е (14) решается стандартными методами ОДУ.-задано (15)

В теории ОДУ ур-е (14) совместно с (15) которое записывается в след. Виде: -(16) называется задачей Коши и имеет единственное решение.

Решением ур-я называется такая ф-ия , которая будучи подставлена в ур-е (14)представляет его в верное тождество

Мы покажем , что (17); -(18) является решением.

; ;

;

(19) Подставляем (19) и (17) в левую часть ур-я (14).

Мы видим, что искомое решение ур-я (14) представляет собой гармоническую ф-ию времени и периодическую.

По этой причине говорят, что система изобр.на (И.6) совершает колебания, т.е.периодические движения вокруг одной точки, которая является положением равновесия.

Величина А в законе движения (17) называется амплитудой колебаний круговая частота, начальная фаза.

Мы показали, что (20); из и.6 видно, что (21); (21) в (20), получим (22); (23); (24);; (25);

Ф.(25) дает период колебаний математического маятника. Мы вывели ее исходя из ур-я (14) и решения (17). Отметим, что Т независит от массы, а определяется только длиной нити и ускорением .