Реферат Курсовая Конспект
Уравнение свободных незатухающих гармонических колебаний. - раздел Физика, Учебно-методическое пособие КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ по физике Учебно-методическое пособие Для Возбуждения В Контуре Колебаний Предварительно Заряжают Конденсатор, Сооб...
|
Для возбуждения в контуре колебаний предварительно заряжают конденсатор, сообщая его обкладкам заряд ±q. Тогда в начальный момент времени t=0 (рис. 19, а) между обкладками конденсатора возникнет электрическое поле. Если замкнуть конденсатор на катушку индуктивности, конденсатор начнет разряжаться, и в контуре потечет возрастающий со временем ток I. Когда конденсатор полностью разрядится, энергия электрического поля конденсатора полностью перейдет в энергию магнитного поля катушки (рис. 19, б). Начиная с этого момента ток в контуре будет убывать, и, следовательно, начнет ослабевать магнитное поле катушки, тогда в ней согласно закону Фарадея индуцируется ток, который течет в соответствии с правилом Ленца в том же направлении, что и ток разрядки конденсатора. Конденсатор начнет перезаряжаться, возникнет электрическое поле, стремящееся ослабить ток, который, в конце концов, обратится в нуль, а заряд на обкладках конденсатора достигнет максимума (рис. 19, в). Далее те же процессы начнут протекать в обратном направлении (рис. 19, г), и система к моменту времени t=Т (Т – период колебаний) придет в первоначальное состояние (рис. 19, а). После этого начнется повторение рассмотренного цикла разрядки и зарядки конденсатора, то есть начнутся периодические незатухающие колебания величины заряда q на обкладках конденсатора, напряжения UC на конденсаторе и силы тока I, текущего через катушку индуктивности. Согласно закону Фарадея напряжение UC на конденсаторе определяется скоростью изменения силы тока в катушке индуктивности идеального контура, то есть :
.
Исходя из того, что UC=q/C, а I=dq/dt, получаем дифференциальное уравнение свободных незатухающих гармонических колебаний величины заряда q на обкладках конденсатора:
или .
Решением этого дифференциального уравнения является функция q(t), то естьуравнение свободных незатухающих гармонических колебаний величины заряда q на обкладках конденсатора:
,
где q(t) – величина заряда на обкладках конденсатора в момент времени t;
q0 – амплитуда колебаний заряда на обкладках конденсатора;
– круговая (или циклическая) частота колебаний () ;
=2/T (T – период колебаний, –формула Томсона);
– фаза колебаний в момент времени t;
– начальная фаза колебаний, то есть фаза колебаний в момент времени t=0.
Уравнение свободных затухающих гармонических колебаний.В реальном колебательном контуре учитывается, что кроме катушки индуктивностью L, конденсатора емкостью С, в цепи также имеется резистор сопротивлением R, отличным от нуля, что является причиной затухания колебаний в реальном колебательном контуре. Свободные затухающие колебания – колебания, амплитуда которых из-за потерь энергии реальной колебательной системой с течением времени уменьшается.
Для цепи реального колебательного контура напряжения на последовательно включенных конденсаторе емкостью С и резисторе сопротивлением R складываются. Тогда с учетом закона Фарадея для цепи реального колебательного контура можно записать:
,
где – электродвижущая сила самоиндукции в катушке;
UC – напряжение на конденсаторе (UC =q/C);
IR – напряжения на резисторе.
Исходя из того, что I=dq/dt, получаем дифференциальное уравнение свободных затухающих гармонических колебаний величины заряда q на обкладках конденсатора:
или ,
где – коэффициент затухания колебаний ( ) , .
Решением полученного дифференциального уравнения является функция q(t), то естьуравнение свободных затухающих гармонических колебаний величины заряда q на обкладках конденсатора:
,
где q(t) – величина заряда на обкладках конденсатора в момент времени t;
– амплитуда затухающих колебаний заряда в момент времени t ;
q0 – начальная амплитуда затухающих колебаний заряда;
– круговая (или циклическая) частота колебаний ( );
– фаза затухающих колебаний в момент времени t;
– начальная фаза затухающих колебаний.
Период свободных затухающих колебаний в реальном колебательном контуре :
.
Вынужденные электромагнитные колебания. Чтобы в реальной колебательной системе получить незатухающие колебания, необходимо в процессе колебаний компенсировать потери энергии. Такая компенсация в реальном колебательном контуре возможна с помощью внешнего периодически изменяющегося по гармоническому закону переменного напряжения U(t):
.
В этом случае дифференциальное уравнение вынужденных электромагнитных колебанийпримет вид:
или .
Решением полученного дифференциального уравнения является функция q(t):
.
В установившемся режиме вынужденные колебания происходят с частотой w и являются гармоническими, а амплитуда и фаза колебаний определяются следующими выражениями:
; .
Отсюда следует, что амплитуда колебаний величины заряда имеет максимум при резонансной частоте внешнего источника :
.
Явление резкого возрастания амплитуды вынужденных колебаний при приближении частоты вынуждающего переменного напряжения к частоте, близкой частоте , называется резонансом.
Тема 10. Электромагнитные волны
Согласно теории Максвелла электромагнитные поля могут существовать в виде электромагнитных волн, фазовая скорость распространения которых определяется выражением:
,
где и – соответственно электрическая и магнитная постоянные,
e и m – соответственно электрическая и магнитная проницаемости среды,
с – скорость света в вакууме ( ) .
В вакууме (e = 1, m = l) скорость распространения электромагнитных волн совпадает со скоростью света ( с ), что согласуется с теорией Максвелла о том,
что свет представляет собой электромагнитные волны.
По теории Максвелла электромагнитные волны являются поперечными,то есть векторы и напряженностей электрического и магнитного полей взаимно перпендикулярны и лежат в плоскости, перпендикулярной вектору
скорости распространения волны, причем векторы ,и образуют правовинтовую систему (рис. 20).
Из теории Максвелла следует также, что в электромагнитной волне векторы и колеблются в одинаковых фазах (рис. 20), то есть значения напряженностей Е и Н электрического и магнитного полей одновременно достигают максимума и одновременно обращаются в нуль, причем мгновенные значения Е и Н связаны соотношением: .
Уравнение плоской монохроматической электромагнитной волны (индексы у и z при Е и Н подчеркивают лишь то, что векторы и направлены вдоль взаимно перпендикулярных осей в соответствии с рис. 20):
,
,
где E0 и Н0 – соответственно амплитуды напряженностей электрического и магнитного полей,
w – круговая частота волны, (T – период колебаний),
k – волновое число, (– длина волны),
j – начальная фаза колебаний (начальная фаза колебаний j имеет одинаковое значение как для колебания электрического, так и магнитного векторов, так как в электромагнитной волне эти колебания происходят в одинаковых фазах).
Энергия электромагнитных волн. Электромагнитные волны переносят энергию. Объемная плотность w энергии электромагнитной волны складывается из объемных плотностей wэл электрического и wм магнитного полей:
.
Учитывая выражение связи между величинами Е и Н , можно получить, что суммарная плотность энергии электрического и магнитного полей:
.
Умножив плотность энергии w на скорость распространения волны в среде, получим модуль плотности потока энергии:
.
Tax как векторы и взаимно перпендикулярны, то произведение EH совпадает с модулем вектора (– векторное произведение векторов и ). Кроме того, направление вектора совпадает с направлением распространения волны, то есть с направлением переноса энергии, что позволило ввести вектор ,равныйвекторному произведению , как вектор плотности потока электромагнитной энергии, называемыйвектором Умова–Пойнтинга:
.
Итак, вектор направлен в сторону распространения электромагнитной волны, а его модуль равен энергии, переносимой электромагнитной волной за единицу времени через единичную площадку, перпендикулярную направлению распространения волны.
– Конец работы –
Эта тема принадлежит разделу:
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение... высшего профессионального образования... Ростовский государственный строительный университет...
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Уравнение свободных незатухающих гармонических колебаний.
Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
Твитнуть |
Новости и инфо для студентов