Тема 6. Метод сил

Литература: [1], § 12.1—12.4, 15.1—15.6, 17.1—17.4, 19.1—19.9*; [2], § 1.9—9.9, 1.12—10.12; [3], § 119—129, 133*, 136*; [4], § 49-54, 67*, 68*; [5], ч. 2, § 1.1-3.1, 1.4—13.4, 1.6—5.6, 1.9—15.9*; [6], ч. 2, § 1—13, 54—63*; [7], § 47, 50—67; [8], § 82—97; [9], гл. 10, задачи 10.1— 10.45; [10], примеры 106—113; [11], гл. 10; [Щ*, § 41; [13]*, § 8.

Методические указания

Метод сил является одним из основных методов рас­чета статически неопределимых систем: неразрезных балок, арок, ферм и многих типов рам.

Изучение этой темы следует начать с понятия ста­тической неопределимости и методов подсчета числа лишних связей.

Выбор основной системы является важным этапом расчета, поскольку удачная основная система может значительно упростить расчет.

Приобретение навыков в вопросе удачного выбора основной системы может быть достигнуто лишь после знакомства со всем процессом расчета. Поэтому в на­чале изучения темы следует просто попрактиковаться в выборе разных основных систем для расчета одной и той же рамы (например, для рам, приведенных на рис. 12, или в любом другом пособии).

Поскольку основная система должна быть обяза­тельно геометрически неизменяемой, необходимо обра­тить особое внимание на геометрический анализ выби­раемых основных систем, не забывая при этом о недо­пустимости мгновенной изменяемости. Выбирая ту или иную основную систему, надо тут же указывать лиш­ние неизвестные.

Написание канонических уравнений для расчета ста­тически неопределимых систем методом сил обычно не представляет труда, но здесь очень важно добиться полного понимания их физического смысла и смысла каждого члена уравнений.

Подсчет коэффициентов и свободных членов канони­ческих уравнений часто удается выполнить по способу Верещагина, уже известному из предыдущей темы. По­вторяя этот способ, следует особое внимание обратить на приемы проверки полученных величин, поскольку вовремя произведенная проверка позволяет своевре­менно найти и установить ошибки и освобождает от повторных расчетов. Надо иметь в виду, что решать си­стему канонических уравнений можно и при неправиль­но найденных коэффициентах, но окончательный ре­зультат расчета рамы будет все равно неверен.

После усвоения правил определения коэффициентов и свободных членов канонических уравнений можно снова вернуться к вопросу об удачном выборе основ­ной системы и изучить упрощения при использовании симметрии, способы группировки неизвестных, разло­жение нагрузки на симметричную и обратносимметрич-ную, введение жестких консолей и пр. Изучая вопрос построения окончательной эпюры мо­ментов, надо усвоить правила построения эпюр от най­денных значений неизвестных («исправленных» эпюр). Суммирование «исправленных» эпюр от неизвестных и эпюры от заданной нагрузки обычно производится по точкам. Для криволинейных участков эпюр обычно на­ходят одну промежуточную точку и по трем точкам проводят плавную кривую. Максимальное (минималь­ное) значение изгибающего момента можно в случае необходимости уточнить после построения эпюры по­перечных сил, по которой будет видно то сечение, где момент экстремален.

Заканчивая изучение вопроса построения эпюры мо­ментов, необходимо разобрать правила ее проверки, обратив особое внимание на кинематическую провер­ку. Надо уметь производить эту проверку не только путем подсчета интеграла Мора, но и общей оценкой «на глаз».

Построение эпюр поперечных сил в строительной механике обычно производится по эпюре изгибающих моментов на основе теоремы Журавского:

Изучая порядок этого построения, надо обратить внимание на знаки получаемых значений поперечных сил, а также на построение эпюр Q на участках с кри­волинейной эпюрой М. Ознакомившись с порядком по­строения эпюр нормальных сил (по эпюре Q), следует изучить правила полной проверки всех эпюр путем рассмотрения равновесия рамы в целом.

При расчете статически неопределимых систем на действие температуры и смещение опор своеобразным является лишь определение свободных членов канони­ческих уравнений. При этом в последнем случае целесо­образно применять теорему о взаимности работ.

Построение линий влияния * внутренних усилий в статически неопределимых системах связано подчас с довольно большими вычислениями. Предварительно приходится строить линии влияния неизвестных, для чего необходимо разбирать различные положения еди­ничной силы. Часто удается выразить свободные члены канонических уравнений в общей форме, введя пере­менную ординату х, характеризующую положение еди­ничной силы. Тогда можно выразить неизвестные в функции переменной х и построить их линии влияния. После построения линий влияния неизвестных, построе­ние линий влияния внутренних усилий, например, мо­мента в заданном сечении, строится на основе фор­мулы:

Применение новейшей вычислительной техники * значительно снижает трудоемкость основных этапов расчета методом сил. При этом несколько изменяются требования, предъявляемые к основной системе. Отпа­дают трудности в решении системы канонических урав­нений и на первый план выступает простота записи ис­ходных данных: векторов единичных и грузовых мо­ментов.

Вопросы для самопроверки

1. В чем преимущества статически неопределимых систем и в чем их недостатки?

Рисунок – 12

2. Подсчитайте число лишних неизвестных в систе­
мах, приведенных на рис. 12. Выберите несколько
основных систем и укажите лишние неизвестные.

3. Объясните смысл отдельных членов и всего урав­
нения:

4. Почему при кинематической проверке окончатель­ной эпюры моментов путем сопряжения ее с одной из единичных эпюр, должен получиться нуль?

5. Почему в пределах замкнутого контура рамы должно соблюдаться условие:

6. Для рамы, после расчета, построена окончатель­ная эпюра изгибающих моментов, изображенная на рисунке 13:

 

Рисунок – 13

По данной эпюре моментов постройте эпюры поперечных и продольных сил.

7. В чем заключается преимущество группировки неизвестных и нагрузки при расчете симметричных рам.

Тема 7. Статически неопределимые арки*

Литература:[1], § 17.5—17.13; [2], § 1.11—7.11; [3], § 168—175, 178, 181—183, 186; [4], § 56—66; [5], ч. 2, §6.6—17.6; [6], ч. 2, § 18—36; [7], §81—84; [8], §98—100; [9], гл. 10, задачи 10.51—10.52; [10], § 12; [11], гл. 13; [13], § 10.

Методические указания

Для расчета статически неопределимых арок обыч­но используется метод сил. Поэтому при изучении этой темы сначала следует обратить внимание на выбор основной системы для двухшарнирных арок, арок с за­тяжкой и бесшарнирных арок. Особенностью арок яв­ляется переменность по длине поперечных сечений, что влечет за собой неприменимость способа Верещагина и сложность (а порой и невозможность) непосредствен­ного- интегрирования формулы Мора. Поэтому обычно интегрирование заменяется суммированием по участкам с осредненными характеристиками.

Необходимо обратить внимание на случаи учета нормальной силы при определении перемещений, вхо­дящих в канонические уравнения.

Большое практическое значение имеет круговая бесшарнирная арка, находящаяся под действием гидро­статического давления. При изучении этого вопроса можно ограничиться случаем постоянного сечения.

Линии влияния усилий в сечениях статически не­определимых арок строятся на основе тех же положе­ний, что и для рам. При переходе к матричной форме расчета, как и для рам, отпадает необходимость упро­щений (введение жестких консолей и пр.). Особенно­стью, вытекающей из замены интегрирования сум­мированием, здесь является компановка матрицы жест­кости (матрицы сопряжений).

Вопросы для самопроверки

1. В каких случаях при расчете арок следует учи­тывать нормальную силу? Почему?

2. Какое преимущество дает введение жесткой кон­соли и перенос неизвестных в упругий центр при рас­чете бесшарнирной арки?

3. Могут ли в арке, несущей какую-либо нагрузку, по всей длине оказаться однозначная эпюра моментов?

4. Постройте эпюру моментов в двухшарнирной и бесшарнирной арках от равномерного нагрева.

Тема 8. Неразрезные балки*

Литература:[1], § 16.1—16.15; [2], § 1.17—4.10; [3], § 142—156; [4], § 69—72; [5], ч. 2, § 1.5—8.5, 10.5—16.5, 18.5—21.5; (6], ч. 2, § 44—54; [8]; § ПО; [9], гл. 9, задачи 9.1—9.26; [10], § 10; [11], гл. 11; [13], § 9.

Методические указания

Разбирая вывод уравнений трех моментов, надо об­ратить внимание на исходную основную систему ипри­нятые направления неизвестных, без этого, при решении задач, нельзя будет правильно учесть знаки полу­ченных моментов. Надо уметь - записывать уравнения трех моментов для случаев заделки на крайней опоре и при наличии консоли.

Построение эпюр поперечных сил для неразрезных оалок производится обычно по эпюре моментов Про­верка полученных эпюр выполняется обычными спо­собами.

Для случаев загружения одного пролета, а также при расчете на временную нагрузку, большое значение имеет метод моментных фокусных отношений. Изучив вывод Формулы, надо запомнить значения исходных фо­кусных^ отношений (для разных видов крайних проле­тов). Полезно также запомнить формулы для опреде­ления опорных моментов на концах нагруженного пролета.

Большое значение для конструирования железобе­тонных и металлических балок имеют объемлющие эпюры моментов и поперечных сил. При изучении это­го вопроса надо обратить внимание на отличие объ­емлющей эпюры от обычной.

Кроме аналитического метода построения линий
влияния внутренних усилий для неразрезных балок
большой эффект дает использование кинематического
метода, дающего возможность быстро получить харак­
тер искомой линии влияния.

В заключение необходимо разобрать основы расче­
та неразрезных балок на упруги податливых опорах
сводящегося к решению системы и уравнений пяти мо-
ментов.

Вопросы для самопроверки

1. Какая основная система более рациональна при расчете неразрезных балок? Почему?

2. Постройте эпюры М и Q для балки пролетом l
с двумя защемленными концами при следующих воз­
действиях: а) равномерно распределенная нагрузка на
всем пролете; б) сосредоточенная сила посредине про­
лета; в) поворот одной заделки на угол, равный еди­
нице; г) смещение одной опоры вниз на единицу.

3. Почему на протяжении двух соседних пролетов неразрезной балки эпюра эпюра моментов не может быть однозначной?

4. Что такое фокусное отношение?

5. Что такое приведенная длина пролета?

6. Построите эпюры М и Q для балки, приведенной на рис. 14. (Используйте метод фокусов.)

Рисунок – 14

Тема 9. Статически неопределимые фермы*

Литература: [1], § 18.1-18.5; [2], § 8.12; [3], § 157—
158; (4], § 74-76; [5], ч. 2, § 1.7-4.7, 6.7-8 7 [6], ч. 2,
§ 37-43; [71, § 87-89; [8], § 101-103; [9], гл. 10, за­
дачи 10.46-10.50; [10], § 11, примеры 1146, 115; [11],
гл. 12, примеры 12.1, 12.2; [13], § 11.

Методические указания

Для определения степени статической неопределимо­сти фермы необходимо вспомнить формулу, выражаю­щую число степеней свободы фермы через число стерж­ней, узлов и опорных связей и воспользоваться соотно­шением Л =-W_o.

При узловой нагрузке на ферму в ее стержнях воз­никают лишь нормальные условия, что значительно упрощает определение коэффициентов и свободных чле­нов канонических уравнений.

При выборе основной системы надо стремиться к тому, чтобы возможно большее число усилий от неиз­вестных и заданных нагрузок обратилось в,нуль.

В том случае, когда за лишнее неизвестное принято усилие в стержне фермы, стержень разрезается, а не выбрасывается из состава фермы, поэтому при опреде­лении главных коэффициентов следует включать сла­гаемое, учитывающее усилие в разрезанном стержне.

Построение линий влияния связано с определением перемещений узлов фермы при действии на нее по на­правлению лишней связи единичной силы. Эпюру прогибов фермы удобно строить с помощью упругих гру­зов, которые можно определить по общей формуле. При большом числе лишних неизвестных эффективна матричная форма расчета.

Вопросы для самопроверки

1. Определите число лишних неизвестных в фермах, приведенных на рис. 15. Выберите основные системы.

Рисунок – 15

2. Запишите уравнение линии влияния лишнего не­известного для однажды статически неопределимой фермы.

Тема 10. Метод перемещений **

Литература: [1], § 20.1—20.8; [2], § 1.13—11.13; [3], § 187—202; [4], § 77—83; [5], ч. 2, § 1.10—12.10; [6], ч. 2, § 64-74; [7], § 68-71; [8], § 104-107; [9], гл. 11, за­дачи 11.3—11.16; [10], § 13; [11], гл. 14; [13], § 12.

Методические указания

Прежде всего необходимо твердо усвоить идею ме­тода перемещений, смысл основной системы -я правила определения степени угловой и линейной подвижности рам.

При построении единичных и грузовых эпюр по дан­ным таблиц большое значение имеет правильный учет погонной жесткости стержней, а при определении ко­эффициентов и свободных членов — правило знаков.

Надо разобрать метод получения данных, приведен­ных в таблицах реакций. Обратите внимание на спо собы проверки коэффициентов и свободных членов ка­нонических уравнений, а также на проверку получен­ных эпюр. Расчет симметричных рам сильно упрощает­ся, если применить группировку неизвестных. Темпе­ратурные воздействия также целесообразно приводить к симметричным и обратно симметричным.

Изучая вопрос построения линий влияния внутрен­них усилий * через линии влияния неизвестных, сле­дует ознакомиться со способом, основанном на прин­ципе взаимности.

Как и метод сил, метод перемещений можно пред­ставить в матричной форме. При изучении этого во­проса надо обратить внимание на компановку матрицы единичных перемещений.

Вопросы для самопроверки

1. Поясните смысл величин, входящих в канониче­ские уравнения метода перемещений, а также смысл самого уравнения.

Рисунок – 16

2. Выберите основные системы метода перемещений для рам, приведенных на рис. 16. Каким методом (сил или перемещений) целесообразно рассчитывать эти рамы?

3. Как проверить окончательную эпюру моментов при расчете методом перемещений?

4. Поясните смысл теоремы о взаимности реакций.

Тема 11. Смешанный метод. Комбинированный и приближенные способы*

Литература: [1], § 20.9—20.11; 22.1—22.4; [2], § 12.13—3.14; [3], § 203—209; [4], § 84—86; [5], ч. 2_; § 15.10-5.12; [6], ч. ,2, § 75-77; [7], § 73-80; [8], § 10», 109, 111 — 115; [9], гл. И, задачи 11.17— 11.19, гл. 12, задачи 12.16, 12.17; [10], §14, 15; [11], гл. 15, 16.

Методические указания

Смешанный и комбинированный методы расчета удачно используют преимущества метода сил при рас- . чете симметричных рам с кососимметричной нагрузкой и при расчете рам с ломаными стержнями, и наоборот, преимущества метода перемещений при расчете сим-метричцых рам с симметричной нагрузкой и рам с боль­шим числом узлов, соединяющих несколько стержней. Для лучшего усвоения этих методов рекомендуется разобрать задачи из пособий [9], [10], [11].

Из приближенных способов расчета следует обра­тить особое внимание на расчет многопролетных и многоэтажных рам на горизонтальную (ветровую) и вертикальную нагрузки. Большое применение находит также метод распределения. Усвоение приближенных методов расчета лучше всего достигается после раз­бора примеров, приведенных в пособиях и учебниках.

Вопросы, для самопроверки

1. Поясните закон взаимности коэффициентов

 

 

 

Рисунок – 17

2. Какими методами целесообразно рассчитывать рамы, приведенные на рис. 17? Почему?

3. Рассчитайте раму, приведенную на рис. 16, а, ме­тодом распределения и сравните результат с резуль­татом точного расчета (l = 6 м, q=2 Т/м, EI = const). Поясните, почему в данном случае результаты совпа­дают.

 

Тема 12. Пространственные системы*

Литература: [1], § 11.1—11.10* [2], § 1.5—5.5; [3], § 111—118, 222—225; [4], § 46—48; [5], ч. 1, гл. 14, § 1—3, ч. 2, гл. 13, § 1.13—6.13; [6], ч. 1, § 99—106; [7], § 97, 98; [8], § 52-55; {9], гл. 6, гл. 13; [10], § 7; [11], гл. 9, 18.

Методические указания

Прежде всего следует изучить анализ геометриче­ской неизменяемости и типы опор пространственных систем. Необходимо усвоить правила сложения сил в пространстве и разложение их на составляющие.

Основными способами определения усилий в стерж­нях пространственных статически определимых ферм являются: а) способ вырезания узлов, б) разложение системы на плоские фермы, в) способ замены стержней.

Изучение способов расчета пространственных ферм необходимо закрепить разбором примеров из пособий.

При изучении расчета пространственных рам мето­дом сил и методом перемещений следует обратить вни­мание на учет крутящих моментов. По этому вопросу также полезно разобрать примеры из пособий.

Вопросы для самопроверки

1. Перечислите типы опор пространственных систем и укажите возникающие в них реакции.

2. Опишите на примере порядок расчета простран­ственных ферм методом замены стержней.

3. Чему равны усилия в ненагруженном простран­ственном трехстержневом узле?

4. Определите усилия в стержнях фермы, приведен­ной
на рис. 18.

5. Разберите порядок расчета рамы, приведенной на
рис. 19.

Рисунок – 18

Тема 13. Расчет систем по несущей способности*

Литература: [1], § 25.1—25.7; [2], § 1.15—6.15; [3], § 212-221; [4], § 87-91; [5], ч. 2, § 1.17-4.17, 6.17; [6], ч. 2, § 85-88; [8], § 116-120; [9], гл. 14; [10], § 16; [11], гл. 17.

Методические указания

Прежде всего следует изучить условия работы стержней в пластической стадии при растяжении (сжа­тии) и изгибе. Затем надо разобрать несущую способ­ность статически определимых и статически неопреде­лимых систем, работающих на нормальные силы (фер­мы) и изгиб (неразрезные балки, рамы, арки).

В этой же теме надо ознакомиться с общим поряд­ком расчета на повторные нагрузки и с основами рас­чета по расчетным предельным состояниям. Необходи­мо разобрать решения задач по пособиям.

Вопросы для самопроверки

1. Определите пластический момент сопротивления для прямоугольного се­чения, работающего на изгиб.

2. Определите разрушающую нагрузку для фермы, приведенной на рис. 20. (Площадь сечения всех стержней равна 4 см².)

Рисунок - 19

3. В чем заключается метод рас­четных предельных состояний? Пере­числите предельные состояния.