Гармонічна хвиля

Гармонійної хвилею називається лінійна монохроматична хвиля, що поширюється в нескінченній динамічній системі. У розподілених системах загальний вигляд хвилі описується виразом, є аналітичним рішенням лінійного хвильового рівняння

де A - Деяка постійна амплітуда хвильового процесу, що визначається параметрами системи, частотою коливань і амплітудою обурює сили; ω = 2π / T = 2π f - Кругова частота хвильового процесу, T - Період гармонійної хвилі, f - Частота; k = 2π / λ = ω / c - Хвильове число, λ - Довжина хвилі, c - Швидкість розповсюдження хвилі; φ ₀ - Початкова фаза хвильового процесу, що визначається в гармонійної хвилі закономірністю впливу зовнішнього обурення.

Якщо шукати рішення для гармонійної хвилі шляхом граничного переходу від відповідних рішень для динамічних систем з зосередженими параметрами, то зазначене вираз істотно уточниться, виявивши зв'язок, закладену в амплітуду A . Це рішення для амплітуди має вигляд

де, F ₀ - Амплітуда впливає сили, ρ - Щільність розподіленої пружної системи, T - В даному випадку, жорсткість лінії з розподіленими параметрами

53 2. Рівняння біжучої хвилі. Фазова швидкість. Сферична хвиля

 

Якщо хвилі, поширюючись в пружному середовищі з кінцевою швидкістю, переносять енергію, то вони називаються біжучими. Перенос енергії в хвильовому русі кількісно характеризується вектором густини потоку енергії. Вектор потоку енергії вперше для механічних пружних хвиль був введений російським фізиком Умовим і називається вектором Умова. Напрямок вектора Умова збігається з напрямком переносу енергії, а його модуль дорівнює енергії, яка переноситься хвилею через одиничну площадку, розташовану перпендикулярно до напрямку поширення хвилі, за одиницю часу.

Для одержання рівняння біжучої хвилі ─ залежності зміщення коливної точки пружного середовища від координати і часу ─ розглянемо плоску синусоїдальну хвилю, допустивши, що вісь х збігається з напрямком поширення хвилі (рис. 21). У даному випадку хвильові поверхні, тобто поверхні однакової фази, перпендикулярні до осі х, а тому всі точки пружного середовища на цих поверхнях коливаються однаково.

54 Фазова швидкість — одна із характеристик хвилі, що характеризує поширення збурення в будь якої фізичної природи. Поняття фазової швидкості може використовуватись при розповсюдженні збурень будь якої форми, якщо в впроцесі розповсюдження ця форма не змінюється. На рисунку проілюстровано визначення фазової швидкості збурень в струні.^[1]

⁵⁵Хвильове́ рівня́ння — рівняння, яке описує розповсюдження хвиль у просторі.

Хвильове рівняння є зазвичай рівняння другого порядку у часткових похідних гіперболічного типу, хоча існують хвильові рівняння інших порядків та інших типів.

У одномірному випадку хвильове рівняння записується.

,

де u — невідома функція, яка описує хвилю, x — просторова координата, t — час, s — фазова швидкість поширення хвилі.

56 Различные формулировки принципа суперпозиции

Принцип суперпозиции — один из самых общих законов во многих разделах физики. В самой простой формулировке принцип суперпозиции гласит:

* результат воздействия на частицу нескольких внешних сил есть просто сумма результатов воздействия каждой из сил.

Наиболее известен принцип суперпозиции в электростатике, в которой он утверждает, что электростатический потенциал, создаваемый в данной точке системой зарядов, есть сумма потенциалов отдельных зарядов.

57 Групова швидкість — швидкість розповсюдження хвильового пакету.

Групова швидкість визначається формулю

,

де ω - частота, а k — модуль хвильового вектора.

58 Інтерфере́нція хвиль (від лат. inter — взаємно, між собою; лат. ferio — вдаряю, вражаю) — явище накладання двох або більшекогерентних світлових хвиль в результаті чого в одних місцях спостерігається підсилення результуючої хвилі (інтерференційний максимум), а в інших місцях послаблення (інтерференційний мінімум).

59 Стоя́ча (стійна) хви́ля ( рос. волна стоячая ; англ. coincident wave, conjunctional wave, standing wave, stationary wave ) — такахвиля, в якій будь-яка фаза коливань не поширюється в просторі. Характерною особливістю х. с. є наявність у ній вузлів, у якихамплітуда хвилі дорівнює нулю, та пучностей, у яких амплітуда максимальна, причому положення вузлів і пучностей лишається незмінним у просторі. Х. с. утворюється в результаті накладання двох біжних (рухомих) хвиль, які поширюються назустріч одна одній і мають деякий зсув фаз. У біжній хвилі відбувається перенесення енергії, а в х. с. через площини, в яких розташовані вузли, енергія не перетікає. Для оптимальної передачі енергії лініями передач необхідне їхнє узгодження, тобто одержання всередині лінії режиму рухомої хвилі, коли коефіцієнт відбивання Г= 0, а коефіцієнт стійності (нерухомості) хвилі КСХ (КНХ) = 1.

У випадку гармонічних коливань в одновимірному середовищі стояча хвиля описується формулою.

,

де u — збурення в точці х в момент часу t, — амплітуда стоячої хвилі, — частота, k — хвильовий вектор, — фаза.

Стоячі хвилі є розв'язками тих же хвильових рівнянь. Їх можна уявити собі, як суперпозицію хвиль, що розповсюджуються в протилежних напрямках.

При існуванні в середовищі стоячої хвилі, існують точки, амплітуда коливань у яких дорівнює нулю. Ці точки називаються вузлами стоячої хвилі. Точки, в яких коливання мають максимальну амплітуду називаються пучностями.

60 Звуковые волны (звук) — это упругие продольные волны, которые, воздействуя на слуховой аппарат человека, вызывают определенные (слуховые) ощущения.

Человеческое ухо воспринимает в виде звука упругие колебания, частота которых находится в пределах от 16 до 20000 Гц. Такие колебания называютсяакустическими. Акустика — раздел физики, в котором рассматриваются свойства звуковых волн, закономерности их возбуждения, распространения и действия на встречные препятствия.

Звуковые колебания с частотами, меньшими 16 Гц, называются инфразвуками, а с частотами, большими 20000 Гц, — ультразвуками. Любое тело (твердое, жидкое или газообразное), колеблющееся со звуковой частотой, создает в окружающей среде звуковую волну.

В вакууме звуковые волны распространяться не могут. Для доказательства этого электрический звонок нужно поместить под колокол воздушного насоса (рис. 15.9). По мере того как давление воздуха под колоколом уменьшается, звук ослабевает, пока не прекращается совсем, хотя колебания звонка происходят.

61 Эффектом Доплера* называется изменение частоты колебаний, воспринимаемой приемником, при движении источника этих колебаний и приемника друг относительно друга. Например, из опыта известно, что тон гудка поезда повышается по мере его приближения к платформе и понижается при удалении, т. е. движение источника колебаний (гудка) относительно приемника (уха) изменяет частоту принимаемых колебаний.

* X. Доплер (1803—1853) — австрийский физик, математик и астроном.

 

Для рассмотрения эффекта Доплера предположим, что источник и приемник звука движутся вдоль соединяющей их прямой; v_ист и v_пр — соответственно скорости движения источника и приемника, причем они положительны, если источник (приемник) приближается к приемнику (источнику), и отрицательны, если удаляется. Частота колебаний источника равна v₀.

1. Источник и приемник покоятся относительно среды, т. е. v_ист = v_пр=0. Если v — скорость распространения звуковой волны в рассматриваемой среде, то длина волны =vT=v/v₀. Распространяясь в среде, волна достигнет приемника и вызовет колебания его звукочувствительного элемента с частотой

Следовательно, частота v звука, которую зарегистрирует приемник, равна частоте v₀, с которой звуковая волна излучается источником.

2. Приемник приближается к источнику, а источник покоится, т. е. v_пр>0, v_ист=0. В данном случае скорость распространения волны относительно приемника станет равной v + v_пр. Так как длина волны при этом не меняется, то

т. е. частота колебаний, воспринимаемых приемником, в (v+v_пр)/v раз больше частоты колебаний источника.

3. Источник приближается к преемнику, а приемник покоится, т. е. v_ист >0, v_пр=0.

Скорость распространения колебаний зависит лишь от свойств среды, поэтому за время, равное периоду колебаний источника, излученная им волна пройдет в направле­нии к приемнику расстояние vT (равное длине волны ) независимо от того, движется ли источник или покоится. За это же время источник пройдет в направлении волны расстояние v_истT (рис. 224), т. е. длина волны в направлении движения сократится и станет равной '=—v_истТ=(v—v_ист)T, тогда

т. е. частота  колебаний, воспринимаемых приемником, увеличится в v/(v – v_ист) раз. В случаях 2 и 3, если v_ист<0 и v_пр<0, знак будет обратным.

4. Источник и приемник движутся относительно друг друга.Используя результаты, полученные для случаев 2 и 3, можно записать выражение для частоты колебаний, воспринимаемых приемником:

(159.1)

причем верхний знак берется, если при движении источника или приемника происходит их сближение, нижний знак — в случае их взаимного удаления.

Из приведенных формул следует, что эффект Доплера различен в зависимости от того, движется ли источник или приемник. Если направления скоростей v_пр иv_ист не совпадают с проходящей через источник и приемник прямой, то вместо этих скоростей в формуле (159.1) надо брать их проекции на направление этой прямой.