В однородной безграничной среде

где – произвольная функция координат (скалярный потенциал). Из (2.43) следует, что магнитное поле содержит как вихревую, так и потенциальную части.

Возьмем ротацию от уравнения (2.42) и учтем уравнение (2.41а):

В силу произвольности функции положим

Это условие называется нормировкой скалярного потенциала. С учетом этой нормировки получаем для вектор-потенциала уравнение Гельмгольца:

где – квадрат волнового числа.

Из физических соображений следует, что вектор-потенциал, во-первых, должен быть функцией только радиуса и не зависеть от угловых координат, во-вторых, он должен иметь только одну компоненту – вдоль оси OZ. Таким образом,

В сферических координатах тогда от оператора Лапласа останется только радиальная производная:

Последнее выражение легко преобразовать к виду:

Решением этого уравнения является функция

В силу того, что должно выполнятся условие нормировки потенциала на бесконечности

коэффициент . Обозначим далее

Далее выразим компоненты вектор-потенциала в сферических координатах:

Эти компоненты (проекции вектора ) используем для вычисления проекций в сферической системе координат векторов электрической и магнитной составляющих поля.

Электрическое поле магнитного диполя имеет только азимутальную составляющую.

Согласно (2.43) и (2.44)

Выполнив необходимые вычисления, получаем

Магнитное поле магнитного диполя имеет радиальную и меридиональную составляющие. При ( ) имеем

Сравнивая с выражениями для компонент магнитного поля постоянного диполя, получаем

Итак, выражения для компонент электромагнитного поля, создаваемого переменным магнитным диполем, имеют вид:

В общем случае полученное решение довольно замысловато. В таких случаях принято рассматривать некоторые предельные ситуации. Если , то эту ситуацию называют ближней зоной диполя. Нетрудно убедиться, что в выражениях для компонент электромагнитного поля зависимость от электропроводности среды при этом исчезает.

Больший практический интерес представляет другой предельный случай: . Эту ситуацию называют дальней зоной диполя. Из определения волнового числа следует, что дальняя зона соответствует условиям

В этом случае выражения для компонент электромагнитного поля принимают вид:

На больших расстояниях радиальной составляющей магнитного поля можно пренебречь – она убывает пропорционально . Отношение же к будет зависеть только от частоты и от электромагнитных свойств среды и будет давать импеданс среды:

Если токами смещения пренебречь, то

и выражение для импеданса будет точно такое же, как и в случае плоской волны:

Аналогичные рассуждения можно провести и для гармонического электрического диполя с электрическим моментом . В результате получатся совершенно такие же формулы для электромагнитного поля, в которых вместо будет стоять , вместо – и т.д.

Для диполей, генерирующих электромагнитное поле на поверхности раздела «воздух – нижнее полупространство» все расчеты гораздо сложнее, более громоздкие, с использованием специальных функций (функций Бесселя). Однако в результате все равно в дальней зоне получается выражение для импеданса как отношение ортогональных компонент электромагнитного поля.