рефераты конспекты курсовые дипломные лекции шпоры
- Раздел Менеджмент
- /
- Понятие устойчивости по Ляпунову.
Реферат Курсовая Конспект
Понятие устойчивости по Ляпунову.
Понятие устойчивости по Ляпунову. - раздел Менеджмент, ТЕОРИЯ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ Пусть Сау Описывается С Помощью Системы Уравнений При Заданных Начальных Усло...
Пусть САУ описывается с помощью системы уравнений при заданных начальных условиях:
Решением данного уравнения является 
как функция начальных значений (уравнение невозмущенного движения). Здесь xi0 – установившееся движение.
К системе приложено внешнее воздействие, которое привело к отклонению движения от установившегося
.
Для данных отклонений можно записать систему уравнений:
Уравнение 
- является уравнением возмущенного движения.
Невозмущенное движение (
) называется устойчивым по отношению к переменным xi, если для любого положительного числа А2, как бы мало оно ни было, найдется другое положительное число l2, которое удовлетворяет условию для всех возмущений:
,
а возмущенное движение удовлетворяет условию
,
где mi – весовые коэффициенты.
Движение будет устойчивым, если при небольших изменениях начальных условий, вызванных внешними воздействиями, невозмущенное движение будет отличаться от возмущенного движения мало.
Данное определение справедливо как для линейных, так и для нелинейных систем.
Свободное движение линейной или линеаризованной системы описывается однородным дифференциальным уравнением
где 
- свободная составляющая выходной величины системы.
Система является устойчивой, если свободная составляющая xc(t) переходного процесса с течением времени стремится к нулю, т.е. если
.
Такая устойчивость называется асимптотической.
Если свободная составляющая неограниченно возрастает, т.е. если
,
то система неустойчива.
Наконец, если свободная составляющая не стремится ни к нулю, ни к бесконечности, то система находится на границе устойчивости.
Найдем общее условие, при котором система, описываемая уравнением (*), устойчива. Решение уравнения (*) равно сумме
где Ck – постоянные, зависящие от начальных условий; pk – корни характеристического уравнения
.
Корни данного уравнения могут быть действительными (pk=ak), мнимыми (pk=jbk) и комплексными (pk=ak± jbk).
Переходная составляющая (**) при t®¥ стремится к нулю лишь в том случае, если каждое слагаемое вида 
. Характер этой функции времени зависит от вида корня pk. Рассмотрим все возможные случаи расположения корней pk на комплексной плоскости (см. рис.) и соответствующие им функции xk(t), которые показаны внутри кругов (как на экране осциллографа).
 |
1. Каждому действительному корню pk=ak в решении (**) соответствует слагаемое вида
Если ak<0 (корень р1), то функция (***) при t®¥ стремится к нулю. Если ak>0 (корень р3), то функция (***) неограниченно возрастает. Если ak=0 (корень р2), то функция (***) остается постоянной.
2. Каждой паре сопряженных комплексных корней pk=ak± jbk в решении (**) соответствуют два слагаемых, объединенных в одно
Эта функция представляет собой синусоиду с частотой bk и амплитудой, изменяющейся во времени по экспоненте. Если действительная часть двух комплексных корней ak<0 (корни р4 и р5), то колебательная составляющая (****) будет затухать. Если ak>0 (корни р8 и р9), то амплитуда колебаний будет неограниченно возрастать. Наконец, если ak=0 (корни р6 и р7), т.е. если оба сопряженных корня – мнимые (pk=+ jbk, pk+1=- jbk), то xk(t) представляет собой незатухающую синусоиду с частотой bk.
Общее условие устойчивости:
Для устойчивости линейной автоматической системы управления необходимо и достаточно, чтобы действительные части всех корней характеристического уравнения системы были отрицательны.
При этом действительные корни рассматриваются как частный случай комплексных корней, у которых мнимая часть равна нулю. Если хотя бы один корень имеет положительную действительную часть, то система будет неустойчивой.
Устойчивость системы зависит только от вида корней характеристического уравнения и не зависит от характера внешних воздействий на систему. Устойчивость есть внутренне свойство системы, присущее ей вне зависимости от внешних условий.
Используя геометрическое представление корней на комплексной плоскости (см. рис.) в виде векторов или точек, можно дать вторую формулировку общего условия устойчивости (эквивалентную основной):
Для устойчивости линейной системы необходимо и достаточно, чтобы все корни характеристического уравнения находились в левой полуплоскости. Если хотя бы один корень находится в правой полуплоскости, то система будет неустойчивой.
Мнимая ось jb является границей устойчивости в плоскости корней. Если характеристическое уравнение имеет одну пару чисто мнимых корней (pk=+jbk, pk+1=-jbk), а все остальные корни находятся в левой полуплоскости, то в системе устанавливаются незатухающие гармонические колебания с круговой частотой 
. В этом случае говорят, что система находится на колебательной границе устойчивости.
Точка b =0 на мнимой оси соответствует так называемому нулевому корню. Если уравнение имеет один нулевой корень, то система находится на апериодической границе устойчивости. Если таких корня два, то система неустойчива.
– Конец работы –
Эта тема принадлежит разделу:
ТЕОРИЯ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ
Пермский государственный технический университет... Андриевская Н В...
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Понятие устойчивости по Ляпунову.
Что будем делать с полученным материалом:
Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
| Твитнуть |
Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Подпишитесь на Нашу рассылку
Реклама
Информация в виде рефератов, конспектов, лекций, курсовых и дипломных работ имеют своего автора, которому принадлежат права. Поэтому, прежде чем использовать какую либо информацию с этого сайта, убедитесь, что этим Вы не нарушаете чье либо право.
© copyright 1999 - 2024 allRefs.net. Все права защищены. Страница сгенерирована за: 0.021 сек.
Новости и инфо для студентов