Наращение процентов, налоги и инфляция. - раздел Финансы, КУРС ЛЕКЦИЙ ПО ДИСЦИПЛИНЕ ФИНАНСОВАЯ МАТЕМАТИКА Раздел 1. Операции начисления процентов В Рассмотренных Выше Методах Определения Наращенной Суммы Не Учитывались Таки...
В рассмотренных выше методах определения наращенной суммы не учитывались такие важные моменты, как налоги и инфляция.
Налог на полученные проценты.В ряде стран полученные (юридическими, а иногда и физическими лицами) проценты облагаются налогом, что, естественно, уменьшает реальную наращенную сумму. Нельзя не учитывать и то, что частый пересмотр налоговых правил вносит существенный элемент неопределенности в конечные результаты наращения для владельца денег.
Обозначим, как и выше, наращенную сумму до выплаты налогов через S, а с учетом выплаты как S’’. Пусть ставка налога на проценты равна g.
При начислении простых процентов находим:
S’’ = S – (S – P) g = S(1-g) + Pg = P[1 + n(1-g)i].
Таким образом, учет налога сводится к соответствующему сокращению процентной ставки: вместо ставки i фактически применяется ставка (1-g)i.
В долгосрочных операциях при начислении налога на сложные проценты возможны следующие варианты: налог начисляется за весь срок сразу, т.е. на всю сумму процентов, или последовательно, например, в конце каждого года. В первом случае сумма налога равна
P[(1+i)n – 1]g,
а наращенная сумма после выплаты долга
S’’ = S – (S – P) g = S(1-g) + Pg = P[(1-g)(1+i)n + g].
Во втором случае сумма налога определяется за каждый истекший год. Очевидно, что она является переменной величиной, так как сумма процентов увеличивается во времени. Соответственно увеличивается и годовая сумма налогов. Сумма налогов за весь срок, очевидно, не зависит от метода начисления.
Налог за год t (обозначим его как Gt) можно найти с помощью следующего выражения:
Gt = Itg = (St-St-1)g = P[(1+i)t– (1+i)t-1]g.
Инфляция.В рассмотренных выше методах наращения все денежные величины измерялись по номиналу. Иначе говоря, не принималось во внимание снижение реальной покупательской способности денег за период, охватываемый финансовой операцией. Однако, в современных, особенно российских, условиях инфляция часто играет решающую роль, и без ее учета конечные результаты представляют собой весьма и весьма условную величину.
Инфляцию необходимо учитывать, по крайней мере, в двух случаях: при расчете наращенной суммы денег и при измерении реальной эффективности (доходности) финансовой операции. Остановимся на этих проблемах.
Прежде всего, напомним, что изменение покупательской способности денег за некоторый период измеряется с помощью соответствующего индекса Jnc. Пусть S – наращенная сумма денег, измеренная по номиналу. Эта же сумма, но с учетом ее обесценения составит:
C = S* Jnc
Индекс покупательной способности денег, как известно, равен обратной величине индекса цен:
Jnc = 1/Jp
Разумеется, указанные индексы должны относится к одним и тем же временным интервалам. Пусть, например, сегодня получено 180 тыс. руб., известно, что за два предшествующих года цены увеличились в три раза, т.е. Jp = 3. В этом случае индекс покупательной способности денег равен 1/3. Следовательно, реальная покупательная способность 180 тыс. руб. составит в момент получения всего 180*(1/3) = 60тыс. руб. в деньгах двухлетней давности.
Нетрудно связать индекс цен и темп инфляции. Предварительно напомним некоторые понятия. Под темпом инфляции обычно понимается относительный прирост цен за период; обозначим его как H; измеряется в процентах. Темп инфляции и индекс цен связаны следующим образом:
H = 100(Jp -1)
В свою очередь
Jp = (1 + H/100)
Например, если темп инфляции равен 130%, то цены за этот период выросли в 2,3 раза.
Вернемся к проблеме обесценения денег при их наращении. В общем случае теперь можно записать:
С = S / Jp
Если наращение производится по простой ставке, имеем:
С = Р[(1 + ni)/ Jp] = Р[(1 + ni)/(1 + h/100)n
Как видим, увеличение наращенной суммы с учетом сохранения покупательной способности денег имеет место только тогда, когда 1 + ni > Jp.
Наращение по сложным процентам:
C = P[(1 +i) n/ Jp] = P[(1 +i)/( 1 + h/100)] n
Рис. 4
На рис. 4 видно, как влияют ставка процента i и темп инфляции h на величину С. Очевидно, что если среднегодовой темп инфляции равен ставке процентов, то роста реальной суммы не произойдет: наращение будет поглощаться инфляцией и, следовательно, С = Р. Если же h/100>i, то наблюдается «эрозия капитала», его реальная сумма будет меньше первоначальной. Только в ситуации, когда h /100<i, происходит реальный рост.
Процентная ставка, при которой наращение будет только компенсировать инфляцию:
для простых процентов
i* = (Jp -1)/n
для сложных процентов
i* = h
Ставку, превышающую i*, называют положительной ставкой процента.
Владельцы денег, разумеется, предпринимают различные попытки для компенсации обесценения денег. Наиболее распространенной является корректировка ставки процентов, по которой осуществляется наращение, т.е. увеличение ставки на величину так называемой инфляционной премии, иначе говоря, производится индексация ставки. Итоговую величину можно назвать брутто – ставкой:
r = [(1 + ni)Jp - 1]/n
Величина брутто – ставки для наращения по сложной ставке процента:
r = i + h/100 + (h/100)i
Разумеется, что при высоких темпах инфляции корректировка (индексация) ставки имеет смысл только для кратко- или в крайнем случае для среднесрочных операций.
Перейдем теперь к решению обратной задачи – к измерению реальной ставки процента, т.е. доходности с учетом инфляции – определению i по заданному значению брутто – ставки. Если r – объявленная норма доходности (брутто - ставка), то искомый показатель доходности в виде готовой процентной ставки i можно определить при начислении простых процентов как
i = 1/n [(1 +nr)/ Jp - 1]
Реальная доходность, как видим, здесь зависит от срока наращения процентов. Напомним, что фигурирующий в этой формуле индекс цен охватывает весь период начисления процентов.
Аналогичный по содержанию показатель, но при наращении по сложным процентам найдем:
i = [(1 + r)/ (1 + h/100)] – 1
Таким образом, реальная процентная ставка – это ставка, скорректированная на процент инфляции. Реальная ставка говорит о приросте покупательной способности средств инвестора.
Все темы данного раздела:
Дисконтирование и учет по простым процентным ставкам
Рекомендуемая литература:
1. Буренин А.Н. Рынок ценных бумаг и производных финансовых инструментов. – М.: 1 Федеративная Книготорговая Компания, 1998. С.36-38.
2.
Время как фактор в финансовых расчетах
Любая финансовая, кредитная или коммерческая операция предполагает совокупность согласованных ее участниками условий, а именно: сумму кредита (займа, I), цену товара, сроки, способы начисления проц
Понятие процента, виды процентных ставок
Под процентными деньгами или процентами понимают абсолютную величину дохода от предоставления денег в долг в любой его форме: выдача ссуды, продажа в кредит, помещение денег на депозитный счет, уче
Наращение по простой процентной ставке
Под наращенной суммой ссуды понимают первоначальную сумму долга с начисленными процентами к концу срока.
Наращенная сумма определяется умножением первоначальной суммы долга на множитель на
Погашение задолженности по частям
Необходимым условием финансовой операции в любой ее форме является сбалансированность вложений и отдачи. Понятие сбалансированности поясним на графике.
Дисконтирование и учет по простым ставкам
В финансовых расчетах возникает необходимость сравнивать между собой различные суммы денег в разные моменты времени. Например, какая величина больше: 100 тыс. руб. сегодня или 1 млн. руб. через пят
Начисление сложных годовых процентов
В средне и долгосрочных финансовых операциях при присоединении процентов к основной сумме долга используются сложные проценты. База для начисления сложных процентов не постоянна и увеличивается во
Номинальная и эффективная ставки
В современных условиях проценты капитализируются обычно не один, а несколько раз в году – по полугодиям, кварталам (некоторые зарубежные банки практикуют ежедневное начисление процентов). На практи
Дисконтирование по сложной ставке процента
При изучении простых процентов мы обсуждали дисконтирование по простой ставке процентов.
Математическое дисконтирование по сложной ставке:
P = S / (1+i)n = S*V
Тема 3. Производные процентные расчеты. Кривые доходности (4 часа)
1. Финансовая эквивалентность обязательств.
2. Консолидирование задолженности. Определение суммы и срока консолидированного платежа.
3. Эквивалентность процентных ставок.
Финансовая эквивалентность обязательств.
Финансовая эквивалентность обязательств предполагает неизменность финансовых отношений сторон до, и после изменения контракта (замена одного обязательства другим, отсрочка платежа). При этом эквива
Консолидирование задолженности. Определение суммы и срока консолидированного платежа.
Одним из распространенных случаев изменения условий является консолидация или объединение платежей. В данном случае несколько платежей с разными сроками заменяются одной суммой, выплачиваемой в опр
Эквивалентность простых процентных ставок.
При выводе соотношений между ставкой наращения и учетной ставкой следует иметь ввиду, что при применении используются временные базы К=360 или К=365 дней. Если временные базы одинаковы, то:
Эквивалентность простых и сложных процентных ставок.
;
Средние процентные ставки.
Если речь идет об одной финансовой операции, в которой размер ставки изменяется во времени, то все значения ставки можно обобщить с помощью средней ставки. При этом результаты наращения или дисконт
Кривые доходности.
Любая ссудная или кредитная операция предполагает использование некоторого значения процентной ставки, с которым согласились обе стороны, участвующие в операции. Как уже говорилось выше, значение с
Определение параметров постоянных рент постнумерандо.
Рекомендуемая литература:
1. Буренин А.Н. Рынок ценных бумаг и производных финансовых инструментов. – М.: 1 Федеративная Книготорговая Компания, 1998. С.41-43.
2.
Наращенная сумма постоянной ренты постнумерандо.
Годовая рента.
где S –наращенная сумма ренты;
R –
Современная стоимость постоянной ренты постнумерандо.
Годовая рента.
где A –современная стоимость ренты;
Определение параметров постоянных рент постнумерандо.
Иногда при разработке контракта возникает необходимость в определении срока ренты и соответственно числа членов ренты. Формулы для расчета срока различных видов рент представлены в табл….
Рента пренумерандо.
Рента пренумерандо – рента с платежами в начале периодов. Различие между рентами постнумерандо и пренумерандо – в числе периодов начисления процентов. Каждый член ренты пренумерандо работает
Ренты с выплатами в середине периодов.
Рента с платежами в середине периодов – частный случай годовой ренты. Применяется в случаях, когда поступления от производственных инвестиций распределяются более или менее равномерно, приме
Отложенные ренты.
Отложенная рента – начало выплат ренты сдвинуто вперед относительно некоторого момента времени. При этом сдвиг во времени никак не отражается на величине наращенной суммы. А вот современная
Вечная рента.
Вечная рента – ряд платежей, количество которых не ограничено, теоретически она выплачивается в течение бесконечного числа лет. В практике иногда сталкиваются со случаями, когда прибегают к
Взаимоувязанные, последовательные потоки платежей.
Взаимоувязанные, последовательные потоки платежей. Долгосрочные финансовые операции часто предполагают наличие двух последовательных потоков платежей. Первый характеризует вложения (затраты)
Конвертирование условий аннуитета.
Конвертирование условий аннуитета происходит, если необходимо по какой-то причине изменить условия выплаты ренты. Простейшими случаями конвертирования являются: выкуп ренты, рассрочка платежей. Бол
Изменение параметров ренты.
Замена немедленной ренты на отсроченную –немедленная рента постнумерандо откладывается на t лет (t не входит в срок ренты). Приравняв их современные стоимости, получим:
Основные параметры планирования погашения долгосрочной задолженности.
Можно сформулировать три основные цели количественного анализа долгосрочной задолженности (долг или займ).
· разработка плана погашения займа, адекватного принятым условиям финансового сог
Планирование погасительного фонда
Если по условиям займа заемщик обязуется вернуть сумму долга в конце срока в виде разового платежа, то он должен предпринять меры для обеспечения этой операции. При значительной сумме долга формиру
Погашение долга в рассрочку
Погашение долга в рассрочку предполагает выплату задолженности по частям в течение определенного периода времени.
Может осуществляться двумя способами:
· погашение основного долга
Льготные кредиты и займы
В ряде случаев долгосрочные кредиты и займы выдаются по тем или иным причинам под льготные для заемщика условия. Низкая (относительно ставки на рынке кредитов) процентная ставка в сочетании с больш
Беспроцентный займ
Беспроцентный займ – это предельный случай льготного займа, выдача которого связана с потерями, которые определяют, полагая, что соответствующие средства можно было бы разместить на рынке по
Реструктурирование займа
Реструктуризация займа представляет собой пересмотр условий действующего обязательства из-за ухудшения финансового состояния заемщика (лучше потерять кое-что, чем все).
Варианты рес
Определение потребительского кредита. Наращение и выплата процентов в потребительском кредите.
Рекомендуемая литература:
1. Четыркин Е.М. Методы финансовых и коммерческих расчетов. – М.: Дело, 1995. С.23-24, 190-194, 208-209.
2. Финансы, денежное обращение
Виды ипотечных ссуд.
Ипотека – ссуда под залог недвижимости. В такой сделке владелец имущества получает ссуду у залогодержателя и в качестве обеспечения возврата долга передает последнему право на преимущественное удов
Расчеты по ипотечным ссудам.
Основной задачей при анализе ипотек является разработка планов погашения долга, определение суммы остатка задолженности на любой момент процесса погашения.
Наиболее распространенной являет
Определение потребительского кредита. Наращение и выплата процентов в потребительском кредите.
Потребительский кредит - займ, предоставляемый банком, финансовой компанией или розничным торговцем отдельному индивидууму на потребительские цели.
Существуют различные способы погашения п
Стоимость страхового аннуитета.
Если вероятность наступления страхового события q заранее известна (на основании прошлого опыта, по аналогии и т.д.), то теоретически, без учета всех прочих факторов, премия Р определ
Страхование жизни.
При осуществлении финансовых операций по страхованию жизни опираются на статистические данные дожития до того или иного возраста. Эти данные представлены в так называемых таблицах смертности
Фрагмент таблицы смертности
x
lx
qx
dx
100 000
0,00149
Измерение доходности облигаций с учетом специфики потока процентных платежей.
Поскольку номиналы у разных облигаций существенно различаются между собой, то возникает необходимость в сопоставимом измерителе рыночных цен. Таким показателем является курс – цена одной облигации
Новости и инфо для студентов