Пряма кутова засічка

1.Загальний випадок прямої кутової засічки

Вимірюються кути і на двох пунктах з відомими координатами, кожен від свого напряму з відомим дирекційним кутом (рис. 5 ).

Початкові дані: ;

Вимірювані величини: і (обидва кути - ліві);

Визначувані величини: координати точки Р .

Якщо або не задані явно, потрібно вирішити зворотну геодезичну задачу спочатку між пунктами А і С і потім між пунктами B і D .

 

а) загальний випадок б) окремий випадок

Рисунок 5 - Пряма кутова засічка

 

Послідовність рішення прямої кутової засічки:

- обчислити дирекційні кути ліній АР () і BP ():

; ;

- скласти рівняння прямих ліній АР і ВР:

,

;

- вирішити систему рівнянь і обчислити невідомі координати

,

 

.

 

2. Окремий випадок прямої кутової засічки

Кути і зміряні від напрямів AB і BA. При цьому кут - правий, а кут - лівий (рис. ).

Послідовність рішення прямої кутової засічки методом трикутника (окремий випадок засічки):

- вирішити зворотну задачу між пунктами А і B і визначити дирекційний кут і довжину лінії AB,

- обчислити кут при вершині P ;

- для трикутника APB по теоремі синусів обчислити довжини сторін АР () і BP ():

,

- обчислити дирекційні кути і

, ;

 

- вирішити пряму задачу від пункту А на точку P.

- для контролю - вирішити пряму задачу від пункту B до точки P ;

Контроль: обидва рішення повинні співпасти.

У окремому випадку прямої кутової засічки для обчислення координат можна використовувати формули Юнга:

,

 

 

Для переходу від загального випадку прямої кутової засічки до окремого випадку потрібно:

- вирішити зворотну геодезичну задачу між пунктами А і B і одержати дирекційний кут лінії AB.

- обчислити кути в трикутнику APB при вершинах А і B:

;

.

При комп'ютерному рішенні:

1) обчислити дирекційні кути і ,

2) ввести місцеву системи координат з початком в пункті А і з віссю, направленою по лінії АР.

3) виконати перерахунок координат пунктів А і B і дирекційних кутів і з системи в систему (рис. )

; ; ; ;

 

;

 

 

Рисунок 6 - Пряма кутова засічка в системі координат

 

4) представити рівняння ліній АР і BP в системі

, ;

5) сумісне рішення цих рівнянь

, ; ( 2)

6) перевести координати із системи в систему

,

.

Оскільки і кут засічки завжди більше, то рішення (2) завжди існує!.

1.3.4 Лінійна засічка

 

Початкові дані: координати пунктів А і В, (відносна похибка вимірювання відстаней );

Вимірювані величини: відстані і ;

Визначувані величини - координати точки P.

 

 

Рисунок 7 - Лінійна засічка

 

Можливі варіанти рішення лінійної засічки.

Варіант 1 (при рішенні на ЕОМ).

1. Виконується рішення системи рівнянь двох зміряних відстаней:

,

.

2. Оскільки ця системи рівнянь не має простого рішення в системі координат , застосовують систему координат з початком в точці А і віссю. Ця вісь направлена від точки А уздовж лінії АВ. Координати точок А і В в новій системі:

3. Рішенням зворотної геодезичної задачі між точками А і В знаходять довжину лінії АВ = .

4. Обчислюють дирекційний кут лінії АВ також з рішення зворотної геодезичної задачі.

5. Задають і спільно вирішують рівняння двох кіл в новій системі координат:

;

.

6. Визначувані координати:

, .

 

Якщо шукана точка знаходиться зліва від лінії АВ, то у формулі для потрібно брати знак "мінус", якщо справа, то - знак "плюс".

7. Виконують перерахунок координат з системи в систему :

 

Варіант 2 (для "ручного обрахунку")

1. Обчислюють кути β₁ і β₂ рішенням трикутника АВР по теоремі косинусів:

,

;

2. Обчислюють кут γ цього ж трикутника ;

3. Обчислюють дирекційні кути сторін АР і BР:

- точка Р праворуч від лінії AB:

,

.

- точка Р ліворуч від лінії AB:

,

4. З рішення зворотної геодезичної задачі між точками А і B визначають дирекційний кут α_AB AB лінії АВ.

Дирекційний кут лінії ВА: ;

5. Вирішують прямі геодезичні задачі:

- з пункту А на точку P:

,

.

- з пункту B на точку P:

,

 

6. Контроль: розбіжність координаті по двох рішеннях не повинна перевищувати 0,02 м;

 

7. Похибку положення точки P по обчислюють формулі:

,

де- середні квадратичні похибки вимірювання відповідних відстаней

- кут засічки.

.

1.3.5 Зворотна кутова засічка

Зворотною кутовою засічкою називають спосіб визначення координат точки по двох кутах і , зміряним на визначуваній точці між напрямами на три пункти з відомими координатами (рис. 5).

Початкові дані: ;

Вимірювані величини: ;

Невідомі величини: координати точки Р - .

У колі, що проходить через три точки, кут з вершиною на колі вимірюється половиною дуги АВ, на яку він спирається. Центральний кут, що спирається на ту ж дугу, вимірюється всією дугою, отже, він буде дорівнювати (рис. ).

 

а) до обчислення R і координат Ц

 

Рисунок 8 - Зворотна кутова засічка

 

Відстань між пунктами А і В вважається відомою. Радіус кола знаходять і з прямокутного трикутника:

(3)

Рівняння кола має вигляд:

, (4)

Координати центру кола можна обчислити, вирішивши пряму кутову, або лінійну засічку з пунктів А і В на точку Ц.

У рівнянні ( 4) - координати будь-якої точки кола, у тому числі і точки, але для знаходження двох координат точки одного такого рівняння недостатньо.

Рішення зворотної кутової засічки передбачає її розкладання на простіші задачі. Це можуть бути дві прямі кутові засічки і одна лінійна, або три лінійні засічки і т.д. Відомо більше десяти способів аналітичного рішення зворотної кутової засічки.

 

1.3.6 Рішення зворотної кутової засічки через послідовне рішення трьох лінійних засічок.

 

Приймаючи, що положення точки Р відоме, можна провести два кола: одну радіусом через точки і інше - радіусом через точки (рис. ).

 

Радіуси цих кіл :

; .

Якщо координати центрів кіл (точок і) будуть відомі, то:

- координати точки Р можна визначити по формулах лінійної засічки:

з точки по відстані і з точки - по відстані.

- координати центру можна знайти по формулах лінійної засічки з точок А і В по відстанях.

При цьому, з двох рішень приймають відповідне величині кута :

- якщо , то точка знаходиться праворуч від лінії АВ;

- якщо, то точка знаходиться ліворуч від лінії АВ.

- координати центра визначають по формулах лінійної засічки з точок В і С по відстанях.

Одне з можливих рішень з двох вибирається за правилом:

- якщо, то точка знаходиться праворуч від лінії ВС ;

- якщо , то точка знаходиться зліва від лінії ВС .

Задача не має рішення, якщо всі чотири точки і Р знаходяться на одному колі, оскільки обидва кола зливаються в одну, і точку їх перетину вказати неможливо.

1.3.7 Комбіновані засічки

У розглянутих способах рішення засічок кількість вимірювань приймалася теоретично мінімальною (два вимірювання). Вона забезпечує отримання результату, але при цьому немає контролю правильності вимірювань.

На практиці для знаходження координат і однієї точки, як правило, виконують не два, а три і більш вимірювань. В цьому випадку з'являється можливість контролю вимірювань, і, крім того, підвищується точність рішення задачі. Кожне вимірювання, що вводиться в задачу понад теоретично мінімальну кількість, називають надлишковим. Воно створює одне додаткове рішення.

Геодезичні засічки без надлишкових вимірювань прийнято називати одноразовими.

Засічки з надлишковими вимірюваннями називають багаторазовими.

Наявність надмірних вимірювань дозволяють виконати їх математичну обробку - зрівнювання. Строге зрівнювання вимірювань в різних геодезичних побудовах виконується на ЕОМ;

Для ручного рахунку звичайно застосовують нестрогі (спрощені) способи зрівнювання.

Спрощений спосіб зрівнювання якої-небудь багатократної засічки ( вимірювань) передбачає:

- формування і рішення всіх можливих варіантів незалежних одноразових засічок (їх число рівне );

- обчислення середніх значень координат точки зі всіх одержаних результатів, якщо вони розрізняються між собою на допустиму величину.

 

1.4 Оцінка точності вимірювань

 

1.4.1 Похибка положення точки в одноразових засічок

 

Положення точки на площині по двох вимірюваннях виходить в перетині двох ліній положення.

Для зміряної відстані лінією положення є коло радіусу з центром в початковому пункті А (рис. а).

Для зміряного кута з вершиною в початковому пункті А - пряма лінія, проведена під кутом до початкової лінії АВ (рис. б).

Унаслідок помилок вимірювань вводиться поняття "смуга положення".

Для відстані, зміряної з середньою квадратичною помилкою - це круговий пояс (кільце) завширшки між двома колами радіусами і ;

 

 

а) для зміряної відстані, б) для зміряного кута.

 

Рисунок 9 - Лінія положення і "смуга положення" точки Р:

Для кута, зміряного з помилкою - це вузький трикутник з вершиною в точці А і кутом при вершині.

Лінія положення точки є віссю симетрії смуги положення (рис. 9б).

Вводиться так само поняття "вектор похибки вимірювання".

Він позначений його через .

Для зміряної відстані вектор направлений уздовж лінії (прямо або назад) і має модуль .

Для зміряного кута вектор направлений перпендикулярно лінії АР (вліво або вправо від неї) і має модуль :

,

де .

Точка Р, знаходячись на перетині двох ліній положення, є центром чотирикутника положення, що утворюється в перетині двох смуг положення (рис. 7). Цей елементарний чотирикутник можна вважати паралелограмом. В межах його дуги кіл можна замінити відрізками дотичних, а сторони кута, що розходяться, - відрізками прямих, паралельних лінії положення. Відстані від точки Р до меж чотирикутника неоднакові, що говорить про відмінність помилок положення точки Р по різних напрямах.

 

а) у лінійній засічці, б) у прямій кутовій засічці.

 

Рисунок 10 - Чотирикутник положення

 

Лінії положення ділять чотирикутник положення на 4 рівні частини (Рис. 10 ), які називають паралелограмами похибок з кутами при вершинах

і. Кут між векторами помилок і, .

 

 

 

 

Рисунок 11 - Паралелограми похибок

 

Висоти паралелограмів помилок чисельно рівні модулям векторів і , сторони паралелограмів одержують по :

; . (5)

Найбільше ухилення від точки мають дві протилежні вершини паралелограма положення; дві інші вершини мають якнайменше ухилення.

У будь-якій геодезичній побудові існує так зване "найслабкіше місце". У цьому місці помилка якого-небудь елементу має найбільше значення. Як правило, для узагальненої характеристики точності даної побудови береться значення помилки саме в цьому найслабкішому місці.

Відповідно до цього принципу за помилку положення точки Р можна прийняти довжину великої діагоналі паралелограма похибок

або з урахуванням (5)

.

 

Похибка положення точки Р - це скалярна величина, що показує середнє квадратичне відхилення по різних напрямах обчисленого положення точки від її істинного положення

З цієї формули одержано формули для оцінки точності будь-якої одноразової засічки:

 

- полярна засічка:

; ; ;

;

- пряма кутова засічка:

; ;

- лінійна засічка :

; ;

- зворотна кутова засічка:

У цій засічка і права частина формули похибки положення точки Р повинна містити три складові:

- від похибки лінійної засічки точки Ц₁ з початкових пунктів А і В ,

- від похибки лінійної засічки точки Ц₂ и з початкових пунктів В і С ,

- від похибки лінійної засічки точки Р з точок Ц₁ і Ц₂.

 

У практиці часто достатньо прийняти, що істинне положення точки Р знаходиться усередині кола радіусу з центром в точці Р .

У строгій теорії розглянутий критерій називається радіальною похибкою. Крім того, в цій теорії застосовуються і складніші критерії, такі як "еліпс помилок" (крива 2-го порядку), "подера еліпса помилок" (крива 4-го порядку) і ін.

При кількості вимірювань (багатократні засічки точка виходить в перетині ліній положення, відповідних зрівняним значенням вимірювань. Смуги положення, перетинаючись, утворюють -кутник. Похибка положення точки Р визначатиметься відстанню від точки до найвіддаленішої від неї вершини цього багатокутника.

 

 

2. СТВОРЕННЯ геодезичної знімальної мережі засічками

 

2. 1 Визначення положення точки методом

просторової засічки

Просторову засічку за схемою, що розглядається (рис.1), використовують для визначення координат і висот знімальної основи при щільно забудованій території та на будівельних майданчиках . При цьому можливе застосування умовної системи координат у плані. Кінцева мета- від репера на майданчику із заданою висотою передати висоту на точки знімальної основи.

 

Рисунок 1 - Схема визначення планового положення точки Р методом прямої кутової засічки з базиса

Похідні дані : висота репера .

Вимірювані величини: базис , горизонтальні кути ,, вертикальні кути ,, відліки по рейках із станцій 1 та 2 ,та

Визначувані величини: координати Х_р, Y_p і висота точки Р

 

 

Послідовність виконання роботи