Значение аксиоматического метода для развития математики

Аксиоматический метод является как методом обоснования, так и методом развития содержания математики. Действительно, когда доказана непротиворечивость системы аксиом и их взаим­ная независимость, аксиоматика возвращается к исходному пункту, т.е. к фактическому содержанию теорий, давших толчок к ее за­рождению. При этом аксиоматика становится методом раз­вития содержания как породивших ее, так и новых, обязанных ей своим зарождением теорий.

Допустим, что А_i и А ₂ - две какие-либо изоморфные интер­претации некоторой, заданной формально системы аксиом В. Каждая теорема, доказанная только с помощью В относительно объектов интерпретации A₁, в тех же терминах, но с иным, в зави­симости от явно выраженных элементов, содержанием, справедлива относительно соответственных объектов интерпретации А₂, и обратно. Иначе говоря, доказываемые теоремы обладают всеобщ­ностью, благодаря чему нет необходимости передоказывать их для объектов каждой интерпретации отдельно. Проективное пространство может быть изоморфно отображено на самого себя с превращением точек в плоскости и обратно. Благодаря этому имеет место принцип двойственности, творческое значение кото­рого хорошо знакомо всякому изучавшему проективную гео­метрию.

При аксиоматическом изучении объектов и отношений между ними существенную роль играет разработка регулярных методов - алгоритмов (как иногда говорят - конструктивных ме­тодов), позволяющих по определенным правилам решать во­просы, относящиеся к изучаемым объектам и отношениям. Современный аксиоматиче­ский метод позволяет переносить алгоритмы одной теории в другие теории и тем способствовать их развитию. Например, в геометрии точки не индивидуализированы, благодаря чему чрезвычайно затруднительна разработка алго­ритмов, с помощью которых можно решать вопросы, относящиеся к свойствам множеств точек прямой. Напротив, каждое действи­тельное число индивидуализировано. Зная, что множество точек прямой (в их обычном расположении) изоморфно множеству всех действительных чисел, мы можем - так постоянно и поступают - заменить вопросы, относящиеся к свойствам множеств точек, вопросами, относящимися к свойствам соответственных множеств действительных чисел, и решать их с помощью алгоритмов учения о действительных числах. В этом факте заключена основная при­чина, обусловливающая способность аналитической геометрии решать такие проблемы, решение которых не под силу элементар­ной геометрии.

Если из непротиворечивой системы аксиом исключить, а потом добавить, некоторые новые аксиомы, то полученные системы аксиом, в случае их непротиворечивости, определяют новые теории, изу­чение которых очень часто освещает с новой стороны положения ис­ходной теории. Если непротиворе­чивая система А содержит п взаимно независимых аксиом, то все теоремы, которые можно доказать с помощью n-k этих аксиом, спра­ведливы во всякой теории, содержащей эти п- k аксиом. Так, ког­да Гильберт показал, что для обоснования учения о площадях нет необходимости привлекать аксиому Архимеда, тем самым было до­казано, что учение о площадях одинаково как для Евклидовой, так и для неархимедовой геометрий. Если непротиворечивые системы А и В содержат по n-1 одинаковых аксиом, а их п-е аксиомы противоположны, то и доказанные в А и В с n-ми аксиомами теоремы будут противоположны.

Это весь­ма важный факт. Зная, что теорема о сумме углов треугольника, утверждение существования подобных треугольников и т.п. экви­валентны аксиоме параллельных, и зная, что гиперболическая геометрия отличается от Евклидовой только аксиомой о параллель­ных, мы сразу можем сказать, что в гиперболическом пространстве нет подобных фигур и что сумма углов треугольника не рав­на 2d.

Таким образом, действенная сила аксиомати­ческого метода заключается в том, что, во-первых, он расширяет число и объем матема­тических дисциплин и, во-вторых, связывает воедино такие теории, которые первоначаль­но казались совершенно обособленными.