Логическое строение «Начал» Евклида

Открываются «начала» определением основных понятий и формулировками некоторых основных положений геометрии - постулатов и ак­сиом, принимаемых без доказательства (их все­го 14) и являющихся основой всякого доказа­тельства, причем, чертежи и рисунки, по замыслу Евклида, должны были играть исключительно вспомогательную роль. Вопрос решает не чер­теж, а логика дедуктивного доказательства. Вся­кое геометрическое предложение, как бы оно просто ни выглядело, должно быть доказано, т.е. выведено дедуктивным путем как следствие из ранее предпосланного списка аксиом и постула­тов. Все они составля­ют систему аксиом«Начал» Евклида (аксиома­тику Евклида).

Остановимся более подробно на первой книге. Она начинается с определений. У Евклида явно не выделены неопределяемые понятия, что, с нашей точ­ки зрения, является недостатком. Они приводятся в общем списке вместе с определениями других фигур. Перечислим определения первой книги.

ОПРЕДЕЛЕНИЯ

1. Точка есть то, что не имеет частей.

2. Линия же - длина без ширины.

3. Концы же линии - точки.

4. Прямая линия есть та, которая равно расположена по отношению к

точкам на ней.

5. Поверхность есть то, что имеет только длину и ширину.

6. Концы же поверхности - линии.

7. Плоская поверхность есть та, которая равно расположена по отноше­нию к прямым на ней.

8. Плоский же угол есть наклонение друг к другу двух линий, в плоскости встречающихся друг с другом, но не расположенных по прямой.

9. Когда же линии, содержащие угол, прямые, то угол называется прямо­линейным.

10. Когда же прямая, восставленная на прямой, образует рядом углы, равные между собой, то каждый из равных углов есть прямой, а восставленная прямая называется перпендикуляром к той, на которой она восставлена.

11. Тупой угол - больший прямого.

12. Острый же - меньший прямого.

13. Граница есть то, что является оконечностью чего-либо.

14. Фигура есть то, что содержится внутри какой-нибудь или каких-нибудь границ.

15. Круг есть плоская фигура, содержащаяся внутри одной линии (которая называется окружностью), на которую все из одной точки внутри фигуры падающие прямые равны между собой.

16. Центром же круга является эта точка.

17. Диаметр же круга есть какая угодно прямая, проведенная через центр и ограничиваемая с обеих сторон окружностью круга, она же и рассе­кает круг пополам.

18. Полукруг же есть фигура, содержащаяся между диаметром и отсекае­мой им частью окружности. Центр же полукруга - то же самое, что и у круга.

19. 11рямолинейные фигуры суть те, которые содержатся между пря­мыми, трехсторонние - между тремя, четырехсторонние же - четырьмя, многосторонние же которые содержатся между более чем четырьмя прямыми.

20. Из трехсторонних фигур равносторонний треугольник есть фигура, имеющая три равные стороны, равнобедренный же - имеющая только две равные стороны, разносторонний же - имеющий три неравные сто­роны.

21. Кроме того, из трехсторонних фигур прямоугольный треугольник есть имеющий прямой угол, тупоугольный же - имеющий тупой угол, а остроугольный - имеющий три острых угла.

22. Из четырехсторонних фигур квадрат есть та, которая и равносторон­няя и прямоугольная, разносторонний же - прямоугольная, но не рав­носторонняя, - равносторонняя, но не прямоугольная, ромбоид (параллелограмм) - имеющая противоположные стороны и углы, рав­ные между собой, но не являющаяся ни равносторонней ни прямо­угольной. Остальные же четырехсторонники будем называть трапе­циями.

23. Параллельные суть прямые, которые, находясь в одной плоскости и будучи продолжены в обе стороны неограниченно, ни с той ни с дру­гой стороны между собой не встречаются.

В определениях используются понятия границы, длины, ширины и т.п., которые сами нуждаются в определениях. Первые определения не использу­ются в дальнейшем. В них делается попытка наглядно описать основные гео­метрические объекты. Интересно сравнить определения Евклида с определе­ниями тех же фигур, которые мы встречаем в наших учебниках.

ПОСТУЛАТЫ Допустим:

1. Что от всякой точки до всякой точки можно провести прямую линию.

2. И что ограниченную прямую можно непрерывно продолжить по прямой.

3. И что из всякого центра и всяким раствором может быть описан круг.

4. И что все прямые углы равны между собой.

5. И если прямая, падающая на две прямые, образует внутренние и по одну сторону углы, меньшие двух прямых, то продолженные эти две прямые не­ограниченно встретятся с той стороны, где углы меньше двух прямых.

ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ (АКСИОМЫ)

1. Равные одному и тому же равны и между собой.

2. И если к равным прибавляются равные, то и целые будут равны.

3. И если от равных отнимаются равные, то и остатки равны.

4. И если к неравным прибавляются равные, то целые будут не равны.

5. И удвоенные одного и того же равны между собой.

6. И половины одного и того же равны между собой.

7. И совмещающиеся друг, с другом равны между собой.

8. И целое больше части.

9. И две прямые не содержат пространства.

Из сопоставления постулатов и аксиом можно сделать заключение, что постулаты - это те же аксиомы, но только геометрического содержа­ния, и обслуживают только геометрию, тогда как большинство аксиом выходит за пределы геометрии и имеет приложение в других областях математики и даже вне ее (например, физика). Действительно, аксиома «Целое больше своей части» одинаково применима и в геометрии и в других областях знаний.

Во времена Евклида разница между посту­латами и аксиомами ощущалась значительней. С современной точки зрения существенной разницы между понятиями «посту­лат» и «аксиома» нет. Между теми и другими можно смело поста­вить знак тождества, так как постулаты и аксио­мы - суть геометрические предложения, прини­маемые без доказательства. Несущественную разницу можно обнаружить, если внимательно рассмотреть те и другие.

Недостатки «Начал» Евклида с точки зрения современного аксиоматического метода.

Строгость дедуктивного дока­зательства, реализованного в «Началах» Евкли­да, значительно уступает той неукоснительной строгости, которой пользуется современный аксиоматический метод.

Самым слабым местом в «Началах» являются определения геометрических понятий, списком которых начинается каждая из тринадцати книг. Сразу же бросается в глаза, что Евклид не выделяет основных понятий, как это требуется современным аксиоматическим методом. Поэто­му создается впечатление, что он пытается опре­делить буквально все геометрические понятия, с которыми ему приходится иметь дело в первой книге, даже «точку», «прямую» и «плоскость», что при аксиоматическом построении геометрии при­нято считать основными понятиями.

Евклидовы определения точки, прямой и пло­скости не являются логически правильными. Рассмотрим с этой стороны хотя бы определение точки: «Точка есть то, что не имеет частей». Здесь имеется видимость (подчеркиваем,— толь­ко видимость!) прямого определения. Логика правильных определений требует, чтобы геомет­рическое понятие определялось через ближай­шее геометрическое родовое понятие. Геомет­рическое понятие «точка» Евклид старается опре­делить через очень широкое понятие «то», выходя­щее далеко за пределы геометрии, так как под словом «то» можно понимать все, что угодно, на­пример корову, телеграфный столб и проч. Сле­довательно, слово «то» никак нельзя считать родовым понятием слова «точка». Примерно то же можно сказать относительно видового при­знака «часть». Что это - основное понятие? Нет. Евклид, как мы знаем, вообще не выделял основ­ных понятий. Однако это слово «часть» Евклид и не определяет. Выходит, что Евклид неизвест­ное определяет через неизвестное, которое само требует для себя определения.

Примерно те же рассуждения о логической несостоятельности можно повторить и для ев­клидовых определений прямой и плоскости. От­носительно «определений» последних двух гео­метрических понятий надо еще добавить, что они двусмысленны, т.е. далеко не однозначны. На­пример, в определении прямой говорится: «Пря­мая есть линия, которая одинаково расположена относительно всех своих точек». Но разве окруж­ность не удовлетворяет этому условию? Вообще под это определение подходит любая линия по­стоянной кривизны. А логически правильное оп­ределение никак не может быть двусмысленным.

Вторым большим недостатком «Начал» Евк­лида является неполнота его аксиоматики. Ев­клид, как указывалось выше, сформулировал 14 аксиом (включая и постулаты). Этот список, как показывает анализ доказательства уже са­мой первой теоремы о сущест­вовании равносторонне­го треугольника, кото­рый можно построить на данном отрезке первой книги «Начал», да­леко не полный.

Например, с помощью евклидовой аксиоматики невозможно обосновать такие важнейшие понятия геометрии, как расположение точки прямой между двумя другими точками этой же прямой, распо­ложение точек по одну или по разные стороны от прямой (на это обратил внимание Гаусс). Фактически Евклид постоянно пользуется этими понятиями, но в списке его постулатов и аксиом нет утверждений, на которые он мог бы сослаться.

Для безупречного доказательства Евклиду также не хватает аксиомы непрерывности, которую заме­няет ему наглядность чертежа. И это у него на­блюдается довольно часто. Каждую нехватку в системе аксиом он старается пополнить молча­ливой ссылкой на наглядность чертежа, т.е. на нашу интуицию, что неминуемо ведет к логиче­ским изъянам.

Далее, равенство фигур (аксиома VII) опирается на понятие движения. Между тем в «Началах» об этом понятии ничего не сказано и свойства движения в аксиоматике Евклида отсут­ствуют. Наконец, в списке постулатов и аксиом Евклида пол­ностью отсутствуют утверждения, которые бы обосновывали, например, тот факт, что если прямая проходит через точку внутри окружности, то она пересекает окружность в двух точках (на это обратил внимание Лейбниц). Таким образом, с современной точки зрения «Начала» Евклида не дают безупреч­ного логического обоснования геометрии.

Многие ученые древности, жившие после Евклида, дополня­ли «Начала» комментариями, в которых не прекращались по­пытки уточнить аксиоматику Евклида. Так, Архимед расширил аксиоматику Евклида, добавив известную аксиому, обосновывающую процесс измерения длин. Было за­мечено, что IV постулат является лишним, так как его утверж­дение может быть доказано.

Однако на протяжении двадцати веков никто не прибавил к обоснованию геометрии чего-либо принципиально нового.