Упражнения.

1. Докажите, что множество ортогональных

матриц образуют группу. Ее принято обозначать

2. Докажите, что множество унимодулярных

ортогональных матриц образуют группу.

Эту группу обозначают как . Покажите,

-45-

базисов , с которыми ассоциированы базисы . Вектор угловой скорости базисов является также вектором угловой скорости вращения координатных базисов, с которыми они ассоциированы.

Замечание. Следует помнить, что правая часть формулы (6.18) является только частью, а именно ротационной, полной производной по , если вектор не является постоянным во вращающемся координатном базисе.

Пример.Найдем угловую скорость подвижного базиса Френе. Представим для этого искомый вектор его компонентами в базисе Френе

(6.19)

Применим формулу (6.18) к вектору и воспользуемся уравнением (5.12 b) Френе. Получим

Отсюда следует, что

Теперь применим формулу (6.18) к вектору и воспользуемся уравнением Френе (5.12 d). Имеем

-44-

Определение 3. Максимальное число линейно независимых векторов называется размерностью векторного пространства.

Следствие 1. Если – размерность векторного пространства, то для любых векторов существуют не равные нулю числа такие, что

. (1.2)

Следствие 2. Если векторов являются линейнонезависимыми, то любой векторможет быть представлен в виде

, (1.3)

где хотя бы одно из чисел не равно нулю. В этом случае говорят, что равенство (1.3)

представляет собой “разложение” вектора по линейнонезависим векторам .

Следствие 3. Если существует один набор линейнонезависимых векторов, то существует неограниченное множество наборов из линейнонезависимых векторов.