Вращения

Подвижный базис Френе, как и координатный базис декартовой системы координат, является ортонормированным. Но между ними есть и различие. Декартовые базисы во всех точках пространства имеют одинаковую ориентацию, они всюду параллельны между собой. Базис же Френе, оставаясь ортонормированным, меняет свою ориентацию в пространстве, следуя изгибам линии. Сравним с этой точки зрения координатные базисы декартовой и, например, цилиндрической систем координат. При смещении точки вдоль линии базис цилиндрической системы поворачивается на некоторый угол вокруг оси , сохраняя неизменными как модули, так и направления векторов базиса относительно друг к другу. В этом случае говорят, что при движении вдоль координатной линии, соответствующей азимутальному углу, координатный базис цилиндрической системы координат вращается как целое около оси с некоторой угловой скоростью. При движении по двум другим координатным линиям базис остается параллельным самому себе, вращение отсутствует. Координатные же базисы декартовой системы координат не испытывают изменений при движении вдоль любой из трех координатных линий.

Заметим, что цилиндрический координатный базис является ортогональным, как и декартовый, но, в отличии от последнего, не является нормированным. Однако это различие не имеет значения, когда говорят о вращении базиса. Понятие “вращение базиса” , как

-36-

После умножения последнего равенства последовательно на слева, затем на и, наконец, на справа, получим искомую формулу

(3.17)

Преобразование дополняющего базиса в дополняющий базис осуществляется обратной матрицей согласно формуле

(3.18)

Ее легко получить из (3.15), используя определяющую формулу (3.5 a) и равенство (3.17).

Для произвольного вектора теперь получаем

(3.19)

Следовательно, компоненты вектора в основном базисе (контравариантные компоненты) преобразуются по закону преобразования дополняющего базиса, а компоненты вектора в дополняющем базисе (ковариантные компоненты) преобразуются по закону преобразования основного базиса:

Этим объясняются принятые для компонент вектора

-13-

названия: ковариантный преобразующийся так же,

как и основной базис, контравариантный преобразующийся не так, как основной базис, но как дополняющий.