Мерное векторное пространство

Определение 1. Пусть векторы принадлежат множеству . Множество называется векторным пространством, если на нем определены бинарная операция, обозначаемая знаком “ + “, и операция умножения элементов множества на действительные числа обозначаемая символом ““, удовлетворяющие следующим аксиомам:

-3-

1. ;

2. ;

3. ;

4. Имеется нуль-вектор

такой, что

,

;

5. ;

6. ;

7. ;

8. ;

9. , .

Аксиома 1 является определением суммы двух векторов, обладающей свойством ассоциативности (аксиома 2) и симметрии относительно перестановки слагаемых векторов (аксиома 3). Аксиома 5 определяет умножение векторов на действительные числа, обладающее свойством ассоциативности (аксиомы 68).

Определение 2. Векторы называются линейнонезависимыми, если равенство

(1.1)

выполняется тогда и только тогда, когда

-4-

Поэтому

Подставляя полученные значения и в (6.19), находим искомую формулу для угловой скорости вращения подвижного базиса Френе

(6.20)

Из этой формулы следует еще один геометрический смысл кривизны и кручения кривой: кривизна равна угловой скорости вращения подвижного базиса в соприкасающейся плоскости , направление вращения всегда совпадает с бинормалью ; кручение кривой также равно угловой скорости вращения, но уже в нормальной плоскости , а направление вращения параллельно вектору и зависит от знака .