Возрастание (убывание) функции. Экстремумы.

Теорема 1 (признак монотонности): Если функция f(х) дифференцируема на интервале (a, b) и f¢(х)≥0 (f¢(х)≤0) на (a, b), то функция f(x) не убывает (не возрастает) на (a, b).

Теорема 2 (признак возрастания (убывания)): Если функция f(х) дифференцируема на интервале (a, b) и f¢(х)>0 (f¢(х)<0) на (a, b), то функция f(x) возрастает (убывает) на (a, b).

Определение 1: Точка х₀ называется точкой строгого локального максимума (минимума) функции f(х), если для всех х из некоторой d-окрестности точки х₀ выполняется неравенство f(x)<f(х₀) (f(x)>f(х₀)) при, х≠х₀.

Локальный максимум (max) и локальный минимум (min) объединяются общим названием локальный экстремум.

Из определения следует, что понятие экстремума носит локальный характер в том смысле, что в случае экстремума неравенство f(x)<f(х₀) (f(x)>f(х₀)) не обязано выполняться для всех значении х в области определения функции, а должно выполняться лишь в некоторой окрестности точки х₀. Очевидно, функция может иметь несколько локальных максимумов и несколько локальных минимумов, причём может так случиться, что иной локальный максимум окажется меньше какого-то локального минимума.

Замечание: Если в определении знаки строгих равенств заменить на нестрогие, то получим точки нестрогого экстремума.

Теорема 3 (необходимое условие локального экстремума): Если функция f(х) имеет в точке х₀ локальный экстремум и дифференцируема в этой точке, то f¢(х₀)=0.

Замечание: Если х₁, х₂, и х₃ — точки локального экстремума и в соответствующих точках графика существуют касательные, то эти касательные параллельны оси Ох. Иногда такие точки называют стационарными (критическими); мы будем называть их точками возможного экстремума. Если точка х₀ — точка возможного экстремума, т. е. f¢(х₀)=0, то она может и не быть точкой локального максимума (минимума).

Теорема 4 (достаточное условие локального экстремума): Пусть функция f(х) дифференцируема в некоторой d-окрестности точки х₀. Тогда, если f¢(x)<f¢(х₀) (f¢(x)>f¢(х₀)) для всех х из (х₀-d, х₀), а f¢(x)>f¢(х₀) (f¢(x)<f¢(х₀)) для всех х из (х₀, х₀+d), то в точке х₀ функция f(х) имеет локальный максимум (минимум), если же f¢(х) во всей d-окрестности точки х₀ имеет один и тот же знак, то в точке х₀ локального экстремума нет.

Другими словами, если f¢(x) при переходе через точку х₀ меняет знак с «+» на «-», то х₀ — точка локального максимума, если f¢(x) в точке х₀ меняет знак с «-» на «+», то х₀ — точка локального минимума, если же знак f¢(x) в точке х₀ не изменяется, то в точке х₀ экстремума не существует.

Теорема 5 (достаточное условие локального экстремума): Если в точке х₀

первая производная функции равна нулю f¢(х₀)=0,

а вторая производная существует и отлична от нуля f²(x)¹0, то при

f²(x)>0 в точке х₀ – функция имеет минимум,

f²(x)<0 в точке х₀ – функция имеет максимум.