Выпуклость (вогнутость) функции. Перегибы.

Пусть функция y=f(x) дифференцируема на интервале (a, b). Тогда существует касательная к графику функции y=f(x) в любой точке M(x; f(x)) этого графика (a<x<b), причем касательная не параллельна оси Оу, поскольку её угловой коэффициент, равный f¢(x), конечен.

Определение 1: Будем говорить, что график функции у=f(x) имеет на (a, b) выпуклость, направленную вниз – вогнутость (выпуклость, направленную вверх – выпуклость), если он расположен не ниже (не выше) любой касательной к графику функции на (а, b).

Замечание: на участке выпуклости касательные к графику функции не пересекаются с самим графиком и имеют с ним лишь точки касания.

Теорема 1 (признак выпуклости (вогнутости)): Если функция f(х) дважды дифференцируема на интервале (a, b) и f²(х)≥0 (f²(х)≤0) на (a, b), то функция f(x) вогнута (выпукла) на (a, b).

Определение 2: Точка М(х₀; f(х₀)) называется точкой перегиба графика функции y=f(x), если в точке М график имеет касательную, и существует такая окрестность точки х₀, в пределах которой график функции y=f(x) слева и справа от точки х₀ имеет разные направления выпуклости.

Теорема 2 (необходимое условие точки перегиба): Если функция f(х) имеет в точке х₀ перегиб и дважды дифференцируема в этой точке, то f²(х₀)=0.

Замечание: Если в точке х₀ f²(х₀)=0, то она может и не быть точкой перегиба.

Теорема 3 (достаточное условие перегиба): Пусть функция f(х) дважды дифференцируема в некоторой d-окрестности точки х₀. Тогда, если f²(x)<f²(х₀) (f²(x)>f²(х₀)) для всех х из (х₀-d, х₀), а f²(x)>f²(х₀) (f²(x)<f²(х₀)) для всех х из (х₀, х₀+d), то в точке х₀ функция f(х) имеет перегиб, если же f²(х) во всей d-окрестности точки х₀ имеет один и тот же знак, то в точке х₀ перегиба нет.

Другими словами, если f²(x) при переходе через точку х₀ меняет знак с «+» на «-», или с «-» на «+», то х₀ — точка перегиба, если же знак f²(x) в точке х₀ не изменяется, то в точке х₀ перегиба не существует.