Тест, проведённый на семинарах у Талышевой Л.П

в 1997 или 1998 году.

 

Задача 1.

Дать определение 5 % - ного квантиля и написать интерполяционную формулу расчёта 5 % - ного квантиля для эмпирического распределения. Привести графическое обоснование формулы.

▼

ОПР: Значение случайной величины , которое не превышается с вероятностью 0.05.

ФОРМУЛА: Х_0.05 = Х_l-1 + ∆*(0.05-F_l-1)/w_l, где l-тый интервал квантильный, то есть F_l-1 < 0.05 < F_l

∆ - длина интервала

F_l-1 – значение эмпирической функции распределения на левой границе l-того полуинтервала, равна сумме всех частот до l-того полуинтервала (не включительно) делённой на число элементов в выборке.

w_l – частота попадания в l-тый полуинтервал, делённая на число элементов в выборке доля наблюдений, попавших в l – тый полуинтервал в общем числе наблюдений

 

ОБОСНОВАНИЕ:

F(х)

 

 

F_l C

L

0.05

F_l-1 A K B

 

 

Х_l-1 Х_0.05 Х_l Х

 

Из подобия треугольников ∆АКL и ∆АВС Þ

АК ₌ КL

АВ ВС

 

Х_0.05 – Х_{l-1 =} 0.05 – F_l-1 Þ Х_0.05 – Х_{l-1 =} 0.05 – F_l-1 Þ Х_0.05 = Х_l-1 + ∆*(0.05-F_l-1)/w_l – что

Х_l – Х_l-1 F_l – F_l-1 ∆ w_l

▲

 

Задача 2.

Допустим, в НГУ обучается 3000 студентов, средний доход студента составляет 100 у.е. при среднем квадратичном отклонении 20 у.е., распределение носит нормальный характер. а) сколько студентов имеют доход не более 50 у.е. б) сколько студентов имеют доход от 120 у.е. до 150 у.е.?

▼

Доход студента – это случайная величина. Х_i ÎN_100,400 i=1,…,3000

Центрируем и нормируем эту величину: У_i = (Х_i –100)/20, У_iÎN_0,1

А) Р(Х_i ≤ 50) = Р(У_i ≤ (50-100)/20) = Р(У_i ≤ -2.5) = Р(У_i ≥ 2.5)= ищем по таблице = 0,0062

Следовательно 0.0062*3000≈19 студентов или 0,62 % имеют доход не выше 50 у.е.

Б) Р(120≤Х_i ≤ 150) = Р((120-100)/20≤У_i ≤ (150-100)/20))= Р(1≤У_i ≤ 2.5) = Р(У_i ≤ 2.5) - Р(У_i ≤ 1) = 1- Р(У_i ≥ 2.5) –

- (1- Р(У_i ≥ 1) = Р(У_i ≥ 1) - Р(У_i ≥ 2.5) = по таблице = 0.1587 – 0.0062 = 0.1525

0.1525*3000≈458 студентов или 15.25 % имеют доход от 120 до 150 рублей.

▲

 

Задача 3.

Объём продукции фирмы N составил в 1991 году 10 млн рублей, в течении ближайших двух лет возрастал в среднем за год на 1.5 млн рублей, последующие 5 лет в среднем в год увеличивался на 2 млн рублей. Определить: а) средний абсолютный прирост продукции за весь период, б) средний темп прироста продукции за 7 лет.

▼

а) (1.5*2 + 2*5)/7 = 13/7 ≈ 1.86

б) Посчитаем через среднее геометрическое:

Здесь корень это расчет среднего темпа роста за семь лет, а темп роста минус единица равен темпу прироста.

▲

 

Задача 4.

Как посчитать квартильный коэффициент вариации?

▼

▲

 

Задача 5.

Испытание четырёх автомобилей определённой марки показало, что расход бензина на 100 км составил соответственно, 10, 9, 10,11 литров. Найти точечную и интервальную оценку среднего расхода бензина для автомобилей изучаемой марки (использовать 95 % - ный уровень доверия).

▼

Точечная оценка b=Х_ср=10

Интервальная оценка: b ± t_N-n-1,q √σ²_b = b ± t_N-n-1,q √σ²_х / N, где t_N-n-1,q – двух сторонний q-процентный квантиль распределения Стьюдента, σ²_х = ∑(х_i-х_ср)²/N-1. Имеем: 10 ± t_2,95%*√(1² + 1²)/3*4 = 10 ± 3.182/√6 = (8.7; 11.3)

▲

 

Задача 6.

F(х₁, х₂) = х₁⁴ х₂³. Известно, что х₁ и х₂ не скоррелированы и измерены с ошибкой в один процент. Чему равна ошибка F(х₁, х₂).

▼

Относительная ошибка = коэфициент вариации = σ/х_ср.

Значит нам надо найти σ_F/F_ср = σ_F/F (так как у нас одно измерение Þ F_ср = F)

По формуле σ²_F = ▼F′ * Ω * ▼F, где Ω – матрица ковариаций величин Х₁ и Х₂, а ▼F – градиент функции F.

▼F′ = [ 4Х₁³Х₂³ ; 3Х₁⁴Х₂²]

 

Ω	σ2Х1	соν (Х2,Х1)=0
соν (Х1,Х2)=0	σ2Х2

[4Х₁³Х₂³ * σ²_К] *[4Х₁³Х₂³]

σ²_F =▼F′*Ω*▼F= [3Х₁⁴Х₂² * σ²_L] *[3Х₁⁴Х₂²] = 16Х₁⁶Х₂⁶ * σ²_К + 9Х₁⁸Х₂⁴ * σ²_L

Поделим σ²_F на F² = (х₁⁴ х₂³)² Þ получим σ²_F / F² = 16 σ²_Х1 /Х²₁ + 9σ²_Х2 /Х²₂ . Учитывая, что стандартная ошибка измерения объемов производства – это коэффициент вариации и учитывая что Х_{1 ср}=Х₁ и Х_{2 ср}=Х₂ (так как только одно измерение) Þ σ²_К /Х²₁ = (σ_Х1 /Х₁)² = (0.01)² =(σ_Х2 /Х₂)² = σ²_Х2 /Х²₂ Þ

σ²_F / F² = 16(0.01)² + 9(0.01)² =0.01²*25 Þ σ_F / F = 0.01*5=0.05

▲

 

Задача 7.

Т(х₁, х₂) = х₁² /х₂². Известно, что х₁ и х₂ не скоррелированы и измерены с ошибкой в один процент. Чему равна ошибка Т(х₁, х₂).

▼

Относительная ошибка = коэфициент вариации = σ/х_ср.

Значит нам надо найти σ_Т/Т_ср = σ_Т/Т (так как у нас одно измерение Þ Т_ср = Т)

По формуле σ²_Т = ▼Т′ * Ω * ▼Т, где Ω – матрица ковариаций величин Х₁ и Х₂, а ▼Т – градиент функции Т.

▼Т′ = [2Х₁ / Х₂²; -2Х₁²/Х₂³]

 

Ω	σ2Х1	соν (Х2,Х1)=0
соν (Х1,Х2)=0	σ2Х2

[2Х₁ / Х₂² * σ²_К] *[2Х₁ / Х₂²]

σ²_Т =▼Т′*Ω*▼Т= [-2Х₁²/Х₂³* σ²_L] *[-2Х₁²/Х₂³] = 4Х₁² / Х₂⁴ * σ²_К + 4Х₁⁴/Х₂⁶ * σ²_L

Поделим σ²_Т на Т² = (Х₁²/Х₂²)² Þ получим σ²_Т / Т² = 4σ²_Х1 /Х²₁ + 4σ²_Х2 /Х²₂ . Учитывая что стандартная ошибка измерения объемов производства – это коэффициент вариации и учитывая что Х_{1 ср}=Х₁ и Х_{2 ср}=Х₂ (так как только одно измерение) Þ σ²_К /Х²₁ = (σ_Х1 /Х₁)² = (0.01)² =(σ_Х2 /Х₂)² = σ²_Х2 /Х²₂ Þ

σ²_Т / Т² = 4(0.01)² + 4(0.01)² Þ σ_Т / Т = 0.01*2=0.02

▲

 

Задача 8.

Как изменится ошибка измерения сальдо экспорта и импорта, если ковариация ошибок измерения экспорта и импорта уменьшится.

▼

N_х=Е-I

Ω	σ2Е	соν (Е,I)=0
соν (I,Е)=0	σ2I

▼N_х′=[1; -1]

σ²_Nх =▼N_х′*Ω*▼ N_х = [1; -1]*Ω*[1; -1]′= [σ²_Е – соν (Е,I); соν (Е,I) – σ²_I]* [1; -1]′ = σ⁴_Е - 2 соν (Е,I) + σ⁴_I Þ при уменьшении ковариации абсолютная ошибка измерения сальдо экспорта и импорта увеличивается.

▲

Задача 9.

Угловой коэффициент прямой регрессии равен 0.6 обратной 1.2. Чему равен парный коэффициент корреляции.

▼

m_ху/m_хх=0.6; m_ху/m_уу =1.2. R²= m_ху² / m_хх * m_уу = (m_ху/m_хх )*( m_ху/m_уу) =0.6*1.2=0.72 Þ R=√0.72

▲

 

Задача 10.

Используя ковариационную матрицу переменных Х,У: , определить коэффициенты зависимости У от Х по прямой, обратной и ортогональной регрессии. Найти коэффициент детерминации по простой и ортогональной регрессии.

▼

У=аХ + b – прямая, а=m_ху/m_хх=4/6=2/3

Х=сУ + d (У=Х/с - d/с) – обратная с= m_ху/m_уу=4/5, 1/с=5/4

а₁Х + а₂У=В (У=-а₁Х/а₂ + В/а₂) - ортогональная -а₁/а₂={m_уу – m_хх + √[(m_хх-m_уу)² + 4m²_ху] } / 2m_ху = (-1 + √65)/8

По простой регрессии R²= m_ху² /m_хх m_уу = а*с=5/6

По ортогональной: R² = 1 - λ_min / λ_min + λ_mах

λ_min, λ_mах – корни уравнения

λ/1 = ½ * (6 + 5-√{(6-5)² + 4*4²}=(11±√65)/2 Þ λ_min = 1.47; λ_mах = 9.53.

R²=1-1.47/1.47 + 9.53 = 1 – 0.13 = 0.87

▲

 

Задача 11.

Какой вид имеет уравнение ортогональной регрессии для переменных с нулевыми средними, если дисперсия второй переменной в три раза превышает дисперсию первой переменной, которая в свою очередь совпадает с их ковариацией.

▼

Х_ср=У_ср=0; 3m_хх=m_уу=3m_ху

У=Х * -а₁/а₂ + В/а₂ , Х_ср=У_ср=0 Þ 0=0 * -а₁/а₂ + В/а₂ Þ В/а₂=0

-а₁/а₂={m_уу – m_хх + √[(m_хх-m_уу)² + 4m²_ху] } / 2m_ху = 3 m_хх – m_хх + √[(m_хх -3m_хх)² + 4m²_хх] } / 2 m_хх =

=1 + 2√2 m_хх/2m_хх = 1 + √2

У=(1 + √2)Х

▲

Задача 12.

Какие свойства МНК оценок теряются, если а) ошибки скоррелированы с объясняющими переменными б) ошибки имеют ненулевое мат. ожидание.

▼

а) состоятельность, несмещённость

б) эффективность, несмещённость

▲

 

Задача 13.

По 10 наблюдениям оценено 2–х факторное уравнение регрессии, доля объяснённой дисперсии составляет 90%. При каком уровне значимости это уравнение статистически значимо.

▼

Выдвигаем гипотезу о незначимости всех факторов (α_i=0).

Проверим до какого уровня значимости гипотеза остаётся неверна. Для этого используем критерий Фишера, рассчитаем F статистику по формуле: , учитывая, что доля объяснённой дисперсии это R², получаем F^с=(0.9/2)*(10-2-1)/(1-0.9)=31,5

F^с>13>F_2,7,99% Þ уравнение статистически значимо для любого уровня значимости.

▲

 

Задача 14.

Параметры 3-х факторного уравнения регрессии оцениваются по 20 наблюдениям. D₁ и D₂ остаточные дисперсии по первой и второй половине временного периода. В каком случае гипотезу о гомоскедастичности следует отвергнуть?

▼

Когда D₂/D₁ – не имеет распределение Фишера. То есть когда D₂/D₁ > F_{95%, N/2 – n – 1, N/2 – n – 1}

▲

 

Задача 15.

Коэффициент детерминации в регрессии У по Х₁ и Х₂. оцененной по 12 наблюдениям, равен 0.8. после введения в регрессию дополнительного фактора Х₃ он вырос до 0.819. имело ли смысл вводить этот дополнительный фактор? Ответ обосновать без применения статистических критериев.

▼

Рассчитаем несмещенные оценки детерминации (оценки с поправкой на число степеней свободы) для первого и второго случая.

 

 

▲

 

Задача 16.

Почему ошибки прогнозирования по линейной регрессии увеличиваются с ростом горизонта прогноза.

▼

Запишем формулу дисперсии разницы между точечной оценкой прогноза и реально получившимся прогнозируемым значением. νаr(х^*_{N + 1} – х_{N + 1}) =. Очевидно что с ростом горизонта ошибка прогноза увеличивается.

▲

ЗАМЕЧАНИЕ: НЕ ОЧЕВИДНО (так как под корнем знаменатели второго и третьего слагаемого увеличиваются причем у третьего слагаемого рост одного порядка с ростом числителя этого слагаемого. При этом больше нет растущих элементов под корнем и вне его).

Задача 17.

По множеству наблюдений за переменными Х и У построено уравнение ортогональной регрессии: Х=У. Чему равны элементы вектора – первой главной компоненты множества наблюдений величин Х и У.

▼

Вектор [f₁,f₂] первой главной компоненты показывает направление максимальной вытянутости облака наблюдений (т.е. по этому направлению существует максимальная дисперсия). А вектор [а₁,а₂] – вектор коэффициентов ортогональной регрессии показывает направление минимальной вытянутость (он минимизирует дисперсию переменных). Следовательно вектор [f₁,f₂] ортогонален вектору [а₁,а₂], получили:

Скалярное произведение [f₁,f₂] * [а₁,а₂] =0 Þ f₁ а_{1 +} f₂а₂=0 Þ f₂=а₁, f₁=-а₂ Найдём а₁ и а₂, из заданного уравнения ортогональной регрессии следует, что – а₁/а₂ = 1, учитывая что а₁² + а₂²=1 получаем: а₁=1/√2, а₂=-1/√2 Þ

Þ [f₁,f₂]=[1/√2; 1/√2]

▲

ЗАМЕЧАНИЕ: решение задачи 17 на экзамене должно начинаться просто с выписывания соотношения между компонентами вектора главной компоненты и коэффициентами ортогональной регрессии, предыдущие рассуждения насчёт скалярного произведения указывать необязательно

 

Задача 18.

По наблюдениям за переменными Х и У строятся прямая, обратная и ортогональная регрессии. Допустим. единицы измерения У уменьшились в 2 раза. Как изменятся уравнения прямой, обратной и ортогональной регрессии. Что произойдет с коэффициентами детерминации рассчитанными по простой регрессии.

▼

Имели а=m_ху/m_хх, 1/с = m_уу/m_ху, -а₁/а₂={m_уу – m_хх + √[(m_хх-m_уу)² + 4m²_ху] } / 2m_ху; R²=m_ху/m_ххm_уу

Теперь m′_хх=m_хх; m′_уу=∑( ½у_i – ½ у_ср)² = ¼∑ (у_i –у_ср)²= ¼ m_уу; m′_ху=∑(х_i–х_ср)(½у_i–½ у_ср)= ½∑(х_i –х_ср)( у_i–у_ср)= ½m_ху

а′= m′_ху/m′_хх =½m_ху/m_хх = ½ а

1/с′ = m′_уу/m′_ху = ¼ m_уу / ½m_ху =½ 1/с

-а₁/а₂ = {m′_уу – m′_хх + √[(m′_хх-m′_уу)² + 4m′²_ху] } / 2m′_ху = ¼m_уу – m_хх + √[(m_хх – ¼m_уу)² + m²_ху] } / m_ху

R^2′=m′²_ху/m′_ххm′_уу = ¼ m²_ху/m_хх ¼m_уу = m²_ху/m_ххm_уу =R²

▲

ЗАМЕЧАНИЕ: Разобраться как изменится коэффициент ортогональной регрессии так и не смог.

Задача 19.

На основе данных за 10 лет с помощью МНК оценены параметры производствевнной функции Кобба-Дугласа. Чему равна несмещённая оценка дисперсии ошибки если вектор остатков равен е.

▼

По формуле σ²_{несмещённая} = N*σ²_{смещённая}/N-n-1=N*(е′е/N)/N-n-1= е′е / N-n-1 = е′е/10-2-1= е′е/7

▲

 

Задача 20.

Какая задача решается 2-м шагом 3-х шагового МНК.

▼

Нахождение оценок ошибок и оценки матрицы σ²Ω.

▲

 

Задача 21.

Какое преобразование матрицы исходных данных полезно сделать, если стандартные ошибки по наблюдениям пропорциональны какому либо фактору [z¹]? Записать матрицу преобразования указать её размерность.

▼

1/√z11		…
	1/√z12		…
…	…	…	…	…
		…		1/√z1N

Размерность N*N

▲

Задача 22.

Для оценки параметров какого из следующих уравнений системы можно применить косвенный МНК. Ответ обосновать.

▼

Х₁=β₁₂Х₂ + α₁₁Z₁ + α₁₂Z₂ + γ₁ + ε₁

Х₂=β₂₁Х₁ + γ₂ + ε₂

Используем следующие обозначения: r_l – число исключенных из уравнения факторов регрессоров, k –число уравнений в модели.

Критерий идентификации: r_l > k –1 – сверхидентификация, r_l = k –1 – точная идентификация.

Первое уравнение: 0<2-1 Þ неидентифицировано

Второе уравнение: 2 (Z₁ и Z₂) >2-1 Þ сверхидентифицировано.

КМНК применяется только для точно идентифицированных уравнений Þ ни для одного КМНК применить нельзя.

▲

 

Задача 23.

Угловые коэффициенты в прямой и обратной регрессии соответственно равны 0.5 и 3.0. Возможна ли такая ситуация и почему?

▼

Нет.

m_ху/m_хх=0.5; m_ху/m_уу =3. R²= m_ху² / m_хх * m_уу = (m_ху/m_хх )*( m_ху/m_уу) =0.5*3=1.5 > 1 – невозможно так как R² Î[0;1]

▲

 

Задача 24.

Существенна ли связь между зарплатой и производительностью труда по выборке из 12 наблюдений. если матрица ковариаций для этих показателей имеет вид .

▼

По сути нужно выяснить статистическую значимость уравнения регрессии зарплаты на производительность труда. З - зарплата, П –производительность труда.

З =αП + ε

Вычислим расчётное значение F статистики для проверки гипотезы α=0.

Из условия m_ЗП = 6, m_З=9, m_П=16 Þ R²= m²_ЗП/ m_Зm_П = 36/9*16=1/4=0.25

ÞF^с = (0.25/1)/[(1-0.25)/12-1-1]=0.25/0.075=3,(3)≈3,3

По таблице F_{95%, N-n-1, N-n-1 =} F_{95%, 1, 10}= 4.96

F^с< F_{99%, n, N-n-1} Þ гипотезу принимаем Þ связь несущественна

▲

 

Задача 25.

Система уравнений имеет вид:

Х₁=а₁₂Х₂ + b₁₁Z₁

Х₂=а₂₁Х₁

Какое из уравнений неидентифицировано, почему.

▼

Используем следующие обозначения: r_l – число исключенных из уравнения факторов регрессоров, k –число уравнений в модели.

Критерий идентификации: r_l > k –1 – сверхидентификация, r_l = k –1 – точная идентификация.

Первое уравнение: 0<2-1 Þ неидентифицировано

Второе уравнение: 1 (Z₁) = 2-1 Þ точно идентифицировано.

▲

 

Задача 26.

Почему двухшаговый МНК не применим для оценивания неидентифицированных уравнений.

▼

Матрица оператора двухшагового процесса в случае, если уравнение неидентифицировано вырождена (невозможно найти к ней обратную) Þ оценки параметров системы получить невозможно.

▲

 

Задача 27.

МНК оценка параметра регрессии равна 4, оценка его ошибки равна 1. Наблюдений 16. Можно ли утверждать с вероятностью ошибки не более 5%, что истинное значение параметра равно 5.93? Объяснить почему.

▼

Оценка b = 4

σ²_b=σ²_х / N , где σ²_х – оценка ошибки параметра,

Интервал: b ± t_N-1,q √σ²_b = b ± t_N-n-1,q √σ²_х / N, где t_N-1,q – двух сторонний q-процентный квантиль распределения Стьюдента.

Имеем: 4 ± √(1/16) * t_{15, 95%} = 4 ± (¼) * 2.131 = 4 ± 0.53275 Þ (3.47; 4,53), 5.93 не принадлежит интервалу в который с 95 % вероятностью попадает значение параметра Þ Ответ: нет, так утверждать нельзя.

▲

 

Задача 28.

В каком случае средняя за ряд лет склонность населения к сбережению будет несмещенной оценкой истинного значения склонности к сбережению?

▼

1. Мат. ожидание ошибок измерения в каждый год равно нулю

2. Истинное значение склонности к сбережению не менялось в течении всех лет по которым проводилось наблюдение.

▲

 

Задача 29.

Денежная масса измерена с ошибкой. Как смещён коэффициент зависимости цен от динамики денежной массы относительного его истинного значения?

▼

α - истинное значение, а – оценка коэффициента α, σ²_ε – дисперсия ошибки с которой измерена денежная масса

Очевидно что оценка преуменьшена по сравнению с истинным значением.

▲

ЗАМЕЧАНИЕ: Вывод формулы: