ЭФ, НГУ. «Эконометрия» – апрель 1998 года.

 

Задача 1.

Как посчитать медианный коэффициент вариации?

▼

▲

 

Задача 2.

Медиана больше моды, где лежит среднее?

▼

▲

 

Задача 3.

Величина х нормально распределена со средним 100 и с односторонним 95-процентным квантилем 198. Чему равна дисперсия?

▼

Величина (х-100)/S – имеет стандартное нормальное распределениеÞ Р(х>198)=0.95= Р((х-100)/S>(198-100)/S)= Р((х-100)/S>1.65), где 1,65 – 95-процентный квантиль стандартного нормального распределения (смотри таблицу). Þ 98/S=1.65 Þ S=98/1.65≈59,4 Þ S²≈3527,6

▲

 

 

Задача 4.

Известно, что в городе Урюпинске средняя зарплата равна 600 т.р, стандартное отклонение – 100 т.р., оценить какой процент работающих получает зарплату больше либо равно 800 т.р. (распределение нормальное).

▼

Величина (х-600)/100 – имеет стандартное нормальное распределениеÞ Р(х>800) = Р((х-600)/100>(800-600)/100)= Р((х-600)/100>2)=0.0228 Þ ≈2,3 процента работающих в Урюпинске получают зарплату ≥ 800 т.р.

▲

 

Задача 5.

Какие квантили F распределения можно узнать из таблицы t распределения?

▼

t²_{q% , N} = F _{q% , 1, N}

▲

 

Задача 6.

Случайная величина измерена 3 раза в неизменных условиях. Получены значения: 99, 100, 101. Дать оценку истинного значения этой величины и стандартную ошибку этой оценки.

▼

Оценка истинного значения b= Х_ср = 100.

Стандартная ошибка этой оценки σ²_b=σ²_х / N = ∑(х_i-х_ср)² / (N-1)*N , где σ²_х – несмещённая оценка дисперсии единичного наблюдения. σ²_b = √(2/2*3)=1/√3

▲

 

Задача 7.

Наблюдённое значение некоторой величины в предыдущий и данный момент времени одинаково и равно 10. Ошибки наблюдений нескоррелированы и имеют одинаковую дисперсию. Во сколько раз дисперсия ошибки темпа роста больше дисперсии первичных ошибок.

▼

Х₁ – наблюдение в первый момент времени, Х₂ – наблюдение во второй момент времени,

Темп роста = Т=Х₂/Х₁

По формуле σ²_Т = ▼Т′ * Ω * ▼Т, где Ω – матрица ковариаций величин Х₁ и Х₂, а ▼Т – градиент функции Т.

▼Т′ = [1 / Х₂; -Х₁/Х₂²]

 

Ω	σ2Х1	соν (Х2,Х1)=0
соν (Х1,Х2)=0	σ2Х2

[1 / Х₂ * σ²_Х1 ] *[1 / Х₂]

σ²_Т =▼Т′*Ω*▼Т= [-Х₁/Х²₂* σ²_Х2] *[-Х₁/Х₂] = 1 / Х²₂ * σ²_Х1 + (Х₁/Х²₂)² * σ²_Х2 = (σ²_Х1 + σ²_Х2 )/100

Так как ошибки наблюдений имеют одинаковую дисперсию Þ σ²_Х1 = σ²_Х2 =σ²Þ σ²_Т=2σ²/100=σ²/50

Получили что дисперсия ошибки темпа роста больше дисперсии первичных ошибок в 1/50 или 0.02 раза.

▲

 

Задача 8.

В каком случае средняя за ряд лет склонность населения к сбережению будет несмещенной оценкой истинного значения склонности к сбережению?

▼

3. Мат. ожидание ошибок измерения в каждый год равно нулю

4. Истинное значение склонности к сбережению не менялось в течении всех лет по которым проводилось наблюдение.

▲

Задача 9.

Дисперсия выпуска продукции (Q) и количества занятых (L) по предприятиям равны 10 и 20, их ковариация равна 12. Чему равен коэффициент детерминации в регрессии выпуска по занятым, коэффициент зависимости выпуска от занятых по прямой, обратной и ортогональной регрессии.

▼

m_QQ=10, m_LL=20, m_QL=12.

R²= m²_QL/ m_{QQ *} m_{LL =}12*12/10*20=18/25=0.72

Коэффициент в прямой регрессии = m_QL/ m_LL = 12/20=3/5=0.6

Коэффициент в обратной регрессии = m_QQ/ m_QL = 10/12=5/6≈0,83

Коэффициент в ортогональной регрессии = [m_QQ-m_LL + √{(m_LL-m_QQ)² + 4m²_QL}]/2 m_QL=

={10-20 + √(100 + 4*144)}/24=(-10 + √676)/24 = (26-10)/24≈0,67

▲

Задача 10.

Дисперсия выпуска продукции (Q) и количества занятых (L) по предприятиям равны 10 и 20, их ковариация равна 12. Чему равны доли объяснённой дисперсии по простой регрессии.

▼

m_QQ=10, m_LL=20, m_QL=12.

R²= m²_QL/ m_{QQ *} m_{LL =}12*12/10*20=18/25=0.72 – доля объяснённой дисперсии по простой регрессии.

▲

 

 

Экзамен гр. 771. (Сдавали пятые)

Задача 1.

Дана функция распределения F(х)=1/(1 + е^х). найти медиану и моду данного распределения.

Задача 2.

Доля бюджетного дефицита в ВВП вычисляется по формуле (R – Е) / У, где R = 600 у.е. – доходы бюджета,

Е = 500 у.е. – расходы, У = 1000 у.е. – ВВП. Известно, что дисперсии R и Е равны 100, дисперсия У равна 25 и их ошибки некоррелированы. Оценить сверху дисперсию доли дефицита.

 

Задача 3.

Коэффициент детерминации для обратной регрессии равен единице. Чему может быть равна остаточная дисперсия в прямой и обратной регрессии.

 

Задача 4.

Перечислите гипотезы основной модели регрессионного анализа.

 

Задача 5.

В регрессии Х=αZ + β + ε по 5-ти наблюдениям коэффициент детерминации равен 0.5. Проверьте гипотезу α=0, если таблица 95% двухсторонних квантилей распределения стьюдента имеет вид

Ст. свободы
Квантиль	12.7	4.3	3.2	2.8

 

Задача 6.

В регрессию Х=α₀ + α₁Z + ε добавили переменную Z₂. Переменная оказалась совершенно незначимой. Как изменились обычный и скорректированный коэффициенты детерминации.

 

Задача 7.

Наблюдения для группы людей можно классифицировать по двум признакам: "пол" и "наличие судимости". из скольких переменных состоит полный набор фиктивных переменных с учётом взаимодействия факторов до и после устранения их линейной зависимости?

 

Задача 8.

Приведите пример неидентифицированной системы одновременных уравнений (с объяснением обозначений).

 

Экзамен гр. 772. (Сдавали вторые)

Задача 1.

Пусть случайная величина Х распределена как F Фишера с 1 и 5 степенями свободы. Как получить из неё величину, распределённую как t Стьюдента. Сколько будет степеней свободы у полученной сл. величины.

Задача 2.

Реальные расходы населения вычисляются по формуле Е/Р, где Е = 1000 – номинальные расходы, Р = 100 индекс цен. Известно что дисперсия Е равна 100, дисперсия Р равна 25 и их ошибки некоррелированы. Оценить дисперсию реальных расходов.

 

Задача 3.

В регрессии у=ах + b + ε, где у=(5,3,7,1) коэффициент детерминации оказался равным 50 %. Найдите сумму квадратов остатков.

 

Задача 4.

Какая из двух оценок зависимости цены квартиры от количества комнат больше другой: по прямой или обратной регрессии.

 

Задача 5.

Какие свойства МНК оценок теряются, если ошибки в регрессии гетероскедастичны.

Задача 6.

В регрессии Х = α₀ + α₁Z + ε остатки равны (-1,0,1). Оценивается регрессия Х = α₀ + α₁Z₁ + α₂Z₂ + ε. привести пример переменной Z₂, чтобы коэффициенты детерминации в обеих регрессиях совпадали.

Задача 7.

d_с – фактическое значение статистики Дарбина-Уотсона , d_L, d_U – нижний и верхний уровень её табличных значений. В каком случае гипотеза об отсутствии автокорреляции остатков по наблюдениям принимается.

 

Задача 8.

Приведите пример сверхидентифицированной системы одновременных уравнений (с объяснением обозначений).

 

Экзамен гр. 773. (Сдавали четвёртые)

Задача 1.

Задан ряд наблюдений за переменной Х: 3; 0; 4; 2; 1. подсчитать основные статистики данного ряда. (Среднее арифметическое, медиану, дисперсию (смещённую и несмещённую), показатели ассиметрии и куртозиса, размах выборки).

Задача 2.

Собственные числа ковариационной матрицы переменных Х₁ и Х₂ равны 0 и 16. Чему равен коэффициент детерминации в прямой регрессии.

 

Задача 3.

В регрессии Х = αZ + β + ε переменная Z равна (1,2,3). Сумма квадратов остатков равна 6. Найдите ковариационную матрицу оценок параметров регрессии.

 

Задача 4.

В регрессии Х = α₁Z₁ + α₂Z₂ + β + ε по 5-ти наблюдениям смещённая оценка остаточной дисперсии равна 1, а дисперсия зависимой переменной равна 2. Значима ли эта зависимость? Границы распределения Фишера для 5% равны

Ст. свободы	(1,1)	(2,1)	(1,2)	(2,2)
Квантиль	161.5	199.5	18.5	19.0

 

 

Задача 5.

Оценивается регрессия по 10 наблюдениям. Известно, что дисперсия ошибок для первых 5 наблюдений ровно в 2 раза больше, чем дисперсия ошибок остальных 5 наблюдений. Опишите процедуру оценивания этой регрессии.

Задача 6.

Какие из перечисленных факторов учитываются в регрессии с помощью фиктивных переменных: 1) профессия 2) курс доллара 3) численность населения 4) размер среднемесячных потребительских расходов.

Задача 7.

Приведите пример точно идентифицированной системы одновременных уравнений (с объяснением обозначений).

 

Задача 8.

Что общего между трёхшаговым и двухшаговым МНК?

 

Экзамен гр. 774. (Сдавали первые)

Задача 1.

Даны три независимые нормально распределённые случайные величины х₁, х₂, х₃, с параметрами

(х_ср,σ²) = (2,4), (-1,1), (3,9) соответственно. Составьте из них случайную величину, которая имеет распределение Фишера с 1 и 2 степенями свободы.

Задача 2.

Случайная величина измерена три раза в неизменных условиях. Получена оценка истинного значения этой величины (5) и стандартная ошибка этой оценки (1/√3). Каким мог быть исходный ряд?

 

Задача 3.

В регрессии У = aX + b + ε переменная X равна (1,3,7,1). Могут ли остатки быть равными (1,-2,2,-1) Обосновать.

 

Задача 4.

Записать прямую и обратную регрессию в метрике Ω^-1. (Запишите матрицу Ω.)

Задача 5.

В регрессии Х = αZ + β + ε матрица вторых начальных моментов регрессоров равна

│9 2│

│2 1│

Найти матрицу вторых начальных моментов.

Задача 6.

Была оценена регрессия Х = α₀ + α₁Z + ε по 50 наблюдениям. Делается прогноз Х в точке Z₅₁. При каком значении Z₅₁ доверительный интервал прогноза будет самым узким? Ответ обосновать.

Задача 7.

Что будет, если в регрессию включить константу и полный набор фиктивных переменных для некоторого качественного фактора?

 

Задача 8.

Какая гипотеза МНК нарушается, если МНК используется для оценки системы одновременных уравнений.

 

Экзамен гр. 776. (Сдавали третьи)

Задача 1.

Когда оценки косвенного МНК совпадают с оценками двухшагового МНК?

Задача 2.

Статистика Дарбина-Уотсона в регрессии равна 0,5. Что это означает? какое преобразование следует применить к этой модели следует применить (запишите формулу)?

 

Задача 3.

Регрессия Х = α₀ + α₁Z₁ + α₂Z₂ + ε оценивается по трём наблюдениям. Чему равен коэффициент детерминации (Ответ обосновать).

Задача 4.

При каком условии на матрицу L линейные оценки (а=LХ) в регрессии Х = Zα + ε будут смещёнными (Запишите уравнение).

Задача 5.

Может ли приведённая ниже матрица являться ковариационной матрицей переменных, для которой строится уравнение регрессии? (Ответ обосновать).

│4 3│

│2 3│

Задача 6.

????????

Задача 7.

Что будет, если в регрессию включить константу и полный набор фиктивных переменных для некоторого качественного фактора?

 

Задача 8.

Какая гипотеза МНК нарушается, если МНК используется для оценки системы одновременных уравнений.