Экзамен гр. 674

Задача 1.

Известно эмпирическое распределение:

Границы интервалов	Частота попадания в полуинтервал
10-15
15-20
20-25
25-30

Найти значение 30 % - ного квантиля.

▼

Формула квантиля:

Х_а = Х_l-1 + ∆*(а-F_l-1)/w_l, где l-тый интервал квантильный, то есть F_l-1 < а < F_l

∆ - длина интервала (5)

F_l-1 – значение эмпирической функции распределения на левой границе l-того полуинтервала, равна сумме всех частот до l-того полуинтервала (не включительно) делённой на число элементов в выборке.

w_l – частота попадания в l-тый полуинтервал, делённая на число элементов в выборке, доля наблюдений, попавших в l – тый полуинтервал в общем числе наблюдений

30 % -тный квантиль значит отделяющий ≈ треть выборки. Вся выборка = 10 (∑ всех частот) Þ квантиль отделяет ≈ 3 числа выборки Þ квантильный полуинтервал второй (15-20).

F_l-1 = 1/10 = 0.1; а=0.3; Х_l-1 = 15; w_l = 3/10 = 0.3

Подставив в формулу получим: Ха = 15 + 5*(0.3-0.1)/0.3 = 15 + 10/3 ≈ 18.33

▲

 

Задача 2.

Случайная величина измерена три раза в неизменных условиях. полученные значения: 45,50,55. Найти интервальную оценку истинного значения этой величины с уровнем доверия 95%, если известны значения квантилей распределения Стьюдента.

Степени свободы
Квантили	12.7	4.3	3.18

▼

Цель: построить доверительный интервал.

Оценка истинного значения b= Х_ср = 50. σ²_b=σ²_х / N = ∑(х_i-х_ср)² / (N-1)*N , где σ²_х – несмещённая оценка дисперсии единичного наблюдения.

σ²_х = 5² + 5² /3-1 = 25; σ²_b = 25/3

Интервал: b ± t_N-n-1,q √σ²_b = b ± t_N-n-1,q √σ²_х / N, где t_N-n-1,q – двух сторонний q-процентный квантиль распределения Стьюдента.

Имеем: 50 ± 5*4.3√3 = 50 ± 21.5/√3

(37.59; 62.41)

▲

 

Задача 3.

Стандартная ошибка измерения труда и капитала составляет 1%, ошибки измерений не скоррелированы. Найти относительную ошибку объёма продукции, рассчитанного по производственной функции Кобба-Дугласа: У=СК^αL^β.

▼

Относительная ошибка = коэфициент вариации = σ/х_ср.

Значит нам надо найти σу/у_ср = σу/у (так как у нас одно измерение Þ у_ср = у)

По формуле σ²_у = ▼У′ * Ω * ▼У, где Ω – матрица ковариаций величин К и L, а ▼У – градиент функции У.

▼У′ = [αСК^α-1L^β; βС К^αL^β-1]

 

Ω	σ2К	соν (К,L)=0
соν (L,К)=0	σ2L

[αСК^α-1L^β * σ²_К] *[αСК^α-1L^β]

σ²_у =▼У′*Ω*▼У= [βСК^αL^β-1 * σ²_L] *[βСК^αL^β-1] = α²С²К^2α-2L^2β * σ²_К + β²С²L^2β-2К^2α * σ²_L

Поделим σ²_у на у² = С²К^2αL^2β Þ получим σ²_у / у² = α² σ²_К /К² + β²σ²_L / L² . Учитывая что стандартная ошибка измерения труда и капитала – это коэффициент вариации и учитывая что К_ср =К и L_ср =L (так как только одно измерение) Þ σ²_К /К² = (σ_К /К)² = (0.01)² =(σ_L /L)² = σ²_L /L² Þ

σ²_у / у² = α²*(0.01)² + β²*(0.01)² Þ σ_у / у = 0.01√α² + β²

▲

 

Задача 4.

Дисперсии двух переменных совпадают, корреляция отсутствует. изобразить на графике в пространстве переменных линии прямой, обратной и ортогональной регрессии. Ответ обосновать.

У=аХ + b – прямая регрессия

а=m_ху/m_хх, где m_ху –ковариация случайных величин х и у; m_хх –дисперсия случайной величины х

а=0/m_хх=0, все линии регрессий проходят через точку (х_ср,у_ср) Þ b=х_ср.

а=0=tg угла наклона линии прямой регрессии Þ угол наклона равен 0 градусов.

Х=сУ + d –обратная регрессия

с = m_ху/m_уу, где m_уу –дисперсия случайной величины у

с = 0/ m_уу=0

Преобразуем уравнение обратной регрессии: У=Х/с –d/с

1/с = ∞ =tg угла наклона Þ угол наклона равен 90 градусов

а₂У + а₁Х = B – ортогональная регрессия

преобразуем: У = -(а₁/а₂)*Х + B/а₂

По формуле -(а₁/а₂) = {m_уу – m_хх + √[(m_хх-m_уу)² + 4m²_ху] } / 2m_ху

Учитывая что m_уу = m_хх & m_ху = 0. Получим -(а₁/а₂) = 0/0 – то есть угол наклона линии ортогональной регрессии неопределён Þ ортогональная регрессия – это любая прямая, проходящая через точку (х_ср,у_ср).

обратная

ортогональные

у_ср прямая

 

х_ср

 

 

▲

 

Задача 5.

Может ли матрица Ω =			являться ковариационной матрицей переменных, для которых строится уравнение регрессии. Ответ обосновать.

▼

Из данных следует что m_ху=3, m_хх=2, m_уу=4.

Найдём коэффициент детерминации по формуле: R² = m²_ху/m_хх*m_уу = 9/8 > 1 – невозможно так как R² Î[0;1]

▲

 

Задача 6.

Что показывает уровень значимости оценок коэффициентов регрессии.

▼

Уровень значимости –ошибка первого рода - это вероятность с которой наш критерий отвергнет гипотезу о незначимости фактора, при условии, что в действительности фактор был незначим (т.е. гипотеза была верна).

▲

Задача 7.

В каком случае применяется обобщённый метод наименьших квадратов.

▼

В случае когда матрица ковариаций остатков имеет вид σ²Ω, где Ω – отлична от I (единичной матрицы) и Ω – известна.

▲

 

Задача 8.

Пятифакторное уравнение линейной регрессии для переменной У оценено по 31 наблюдению. при этом объяснённая и остаточная дисперсия равны соответственно 8 и 2. Вычислить коэффициент детерминации и расчетное значение F статистики.

▼

По формуле R² = 1 – σ²_Е/ σ²_х, где σ²_Е - остаточная дисперсия σ²_х – сумма остаточной и объясненной дисперсии (суммарная дисперсия).

 

R² =1 –2/(8+2)= 0.8

▲

 

Задача 9.

В регрессионное уравнение, объясняющее оценки, полученный студентами на экзамене, введено 2 качественных фактора: пол (м,ж) и группа (I,II). Полученные оценки параметров при соответствующих фиктивных переменных 0.3 и -0.3 – для первого фактора и 0.1 и –0.1 для второго фактора. Взаимодействие факторов оказалось несущественным, кто наиболее успешно сдаст экзамен.

▼

Учитывая что качественные переменные входят в свободный член, получаем: наличие положительного коэффициента перед фиктивной переменной увеличивает свободный член а следовательно и объясняемую переменную (оценки) по сравнению с отрицательным коэффициентом, значит лучше всех сдадут парни первой группы.

▲