Экзамен гр. 671.

 

Задача 1.

Известна гистограмма бимодального ряда наблюдений. На каком отрезке лежит медиана?

▼

На медианном. Т.е. там где F_l-1<0.5<F_l. и рассчитывается по формуле:

Х_0.5 = Х_l-1 + ∆*(0.5 - F_l-1)/w_l, где l-тый интервал медианный.

▲

 

Задача 2.

Случайная величина измерена 3 раза в неизменных условиях. Получены значения: 98, 100, 102. Дать оценку истинного значения этой величины и стандартную ошибку этой оценки.

▼

Оценка истинного значения b= Х_ср = 100.

Стандартная ошибка этой оценки σ²_b=σ²_х / N = ∑(х_i-х_ср)² / (N-1)*N , где σ²_х – несмещённая оценка дисперсии единичного наблюдения. σ²_b = √(8/2*3)=2/√3

▲

 

Задача 3.

Возможна ли ситуация, когда угловые коэффициенты в уравнениях прямой и обратной регрессии соответственно равны 0.6 и 5.0. Почему?

▼

Нет.

m_ху/m_хх=0.6; m_ху/m_уу =5. R²= m_ху² / m_хх * m_уу = (m_ху/m_хх )*( m_ху/m_уу) =0.6*5=3 > 1 – невозможно так как R² Î[0;1]

▲

 

Задача 4.

Существенна ли связь между денежной массой и индексом инфляции по выборке из 12 наблюдений. если матрица ковариаций для этих показателей имеет вид .

Требуемый кванитль t распределения = 2.23

▼

По сути нужно выяснить статистическую значимость уравнения регрессии денежной массы (М) на индекс инфляции (π).

М =απ + ε

Вычислим расчётное значение F статистики для проверки гипотезы α=0.

Из условия m_ЗП = 6, m_З=9, m_П=16 Þ R²= m²_Мπ/ m_Мm_π = 25/2*25=1/2=0.5

ÞF^с = (0.5/1)/[(1-0.5)/12-1-1]=0.5/0.05=10

Квантиль распределения фишера равен квадрату квантиля Стьюдента Þ F_{табличное} = 4.9729

F^с> F_{табличное} Þ гипотезу отвергаем принимаем Þ связь существенна

▲

 

Задача 5.

По какой причине растут ошибки прогнозирования с ростом горизонта прогноза.

▼

Запишем формулу дисперсии разницы между точечной оценкой прогноза и реально получившимся прогнозируемым значением. νаr(х^*_{N + 1} – х_{N + 1}) =. Очевидно что с ростом горизонта ошибка прогноза увеличивается.

▲

ЗАМЕЧАНИЕ: НЕ ОЧЕВИДНО (так как под корнем знаменатели второго и третьего слагаемого увеличиваются причем у третьего слагаемого рост одного порядка с ростом числителя этого слагаемого. При этом больше нет растущих элементов под корнем и вне его).

 

 

Задача 6.

Что обеспечивает гипотеза о нормальности распределения ошибок при построении уравнения регрессии? Ответ обосновать.

▼

1) Гипотеза позволяет строить доверительные интервалы для оценок коэффициентов (параметров) регрессии.

2) Гипотеза позволяет проверять полученное уравнение регрессии критериями Стьюдента (на значимость фактора) и Фишера (на статистическую значимость уравнения).

Обоснование.

1)

2) а= α + Lε, L=M^-1Z′Х/N=N(Z′Z)^-1 Z′Х/N=(Z′Z)^-1 Z′Х

 

 

Задача 7.

Что можно сказать, если значение DW – статистики равно нулю?

▼

Существует положительная автокорреляция.

▲

 

Задача 8.

Известны МНК-оценки параметров регрессии (угловые коэффициенты) агрегированного объёма продаж продовольственных товаров и цены на них от индекса погодных условий 0.3 и -0.6. Определить коэффициент эластичности спроса и предложения от цене.

▼

Так как от индекса погодных условий зависит предложение Þ (смотри лекции) Þ эластичность предложения по цене неопределена. Эластичность =(∂Q/∂Р)*Q/Р = в случае линейных функций спроса и предложения= ∂Q/∂Р

▲

 

Задача 9.

Для оценки параметров какого из следующих уравнений системы можно применить косвенный МНК. Ответ обосновать.

▼

Х₁=β₁₂Х₂ + α₁₁Z₁ + α₁₂Z₂ + с₁ + ε₁

Х₂=β₂₁Х₁ + ε₂

Используем следующие обозначения: r_l – число исключенных из уравнения факторов регрессоров, k –число уравнений в модели.

Критерий идентификации: r_l > k –1 – сверхидентификация, r_l = k –1 – точная идентификация.

Первое уравнение: 0<2-1 Þ неидентифицировано

Второе уравнение: 3 (Z₁ и Z₂ и С₁) >2-1 Þ сверхидентифицировано.

КМНК применяется только для точно идентифицированных уравнений Þ ни для одного КМНК применить нельзя.

▲