Лекция 6. Применение производных к исследованию функций
Лекция 6. Применение производных к исследованию функций
Если функция f(x) имеет производную в каждой точке отрезка [а, b], то ее поведение можно исследовать с помощью производной f'(х).
Рассмотрим основные теоремы дифференциального исчисления, лежащие в основе приложений производной.
Теорема(Ферма) (о равенстве нулю производной). Если функция f(x), дифференцируема на интервале (a, b) и достигает наибольшего или наименьшего…
Рис. 1
Доказательство. Так как f(x) непрерывна на отрезке [a, b], то она, в силу 2-й теоремы Вейерштрасса, достигает на нем своего наибольшего М и… 1. Если М = т, то f(x) постоянна на отрезке [a, b] => f'(x) = 0 в любой… 2. Если М > т, то f(x) достигает хотя бы одно из значений М или т во внутренней точке с интервала (a, b), так как…
Доказательство. Отметим, что φ(b) – φ(a) ≠ 0, так как в противном случае по теореме Ролля нашлась бы точка с такая, что φ'(с) =… Рассмотрим вспомогательную функцию
f(b) – f(a) = f'(с) (b – a) – формула Лагранжа (о конечном приращении).
Доказательство. Теорему Лагранжа можно рассматривать как частный случай… φ(b) – φ(a) = b – a, φ'(x) = 1, φ'(с) = 1.
Теорема (правило Лопиталя о раскрытии неопределенностей вида и ).Предел отношения двух бесконечно малых или бесконечно больших функций равен… Доказательство рассмотрим для случая, когда функции f(х) и φ(х)… Применим к функциям f(x) и φ(x) теорему Коши для отрезка [х0, х], лежащего в окрестности точки х0. Тогда , где…
1. Пусть и . Тогда
или .
Пример 1.
.
2. Пусть и . Тогда
.
Пример 2.
.
3. Пусть и , или и , или и .
Для нахождения предела удобно сначала прологарифмировать выражение .
Пример 3..
Логарифмируем выражение , получим . Затем находим предел:
,
т.е. . Отсюда .
Решение будет короче, если воспользоваться основным логарифмическим тождеством :
.
Пример 4.
.