Лекция 6. Применение производных к исследованию функций

Лекция 6. Применение производных к исследованию функций

Если функция f(x) имеет производную в каждой точке отрезка [а, b], то ее поведение можно исследовать с помощью производной f'(х).

Рассмотрим основные теоремы дифференциального исчисления, лежащие в основе приложений производной.

 

Теорема Ферма

Теорема(Ферма) (о равенстве нулю производной). Если функция f(x), дифференцируема на интервале (a, b) и достигает наибольшего или наименьшего… Рис. 1

Теорема Ролля

Доказательство. Так как f(x) непрерывна на отрезке [a, b], то она, в силу 2-й теоремы Вейерштрасса, достигает на нем своего наибольшего М и… 1. Если М = т, то f(x) постоянна на отрезке [a, b] => f'(x) = 0 в любой… 2. Если М > т, то f(x) достигает хотя бы одно из значений М или т во внутренней точке с интервала (a, b), так как…

Теорема Коши

Доказательство. Отметим, что φ(b) – φ(a) ≠ 0, так как в противном случае по теореме Ролля нашлась бы точка с такая, что φ'(с) =… Рассмотрим вспомогательную функцию

Теорема Лагранжа и ее следствия

f(b) – f(a) = f'(с) (b – a) – формула Лагранжа (о конечном приращении). Доказательство. Теорему Лагранжа можно рассматривать как частный случай… φ(b) – φ(a) = b – a, φ'(x) = 1, φ'(с) = 1.

Правило Лопиталя

Теорема (правило Лопиталя о раскрытии неопределенностей вида и ).Предел отношения двух бесконечно малых или бесконечно больших функций равен… Доказательство рассмотрим для случая, когда функции f(х) и φ(х)… Применим к функциям f(x) и φ(x) теорему Коши для отрезка [х0, х], лежащего в окрестности точки х0. Тогда , где…

Раскрытие неопределенностей различных видов

1. Пусть и . Тогда или .

Пример 1.

.

2. Пусть и . Тогда

.

Пример 2.

.

3. Пусть и , или и , или и .

Для нахождения предела удобно сначала прологарифмировать выражение .

Пример 3..

Логарифмируем выражение , получим . Затем находим предел:

,

т.е. . Отсюда .

Решение будет короче, если воспользоваться основным логарифмическим тождеством :

.

Пример 4.

 

.