Случайные величины. Основные законы распределения случайных величин.

10.1. Определить вероятность попадания непрерывной СВ Х в данный промежуток [б; в], если:

1) равномерно распределенная СВ Х задана на промежутке [1; 5]; б = 0, в = 3.

Ответ: a) – 2/3; б) 3/4; в) 4/3; г) 3/5.

2) равномерно распределенная СВ Х задана на промежутке [0; 2]; б = 0, в = 4.

Ответ: a) – 1/2; б) 2; в)1/2; г) 1.

3) СВ Х, распределенная нормально, имеет М(Х) = 5 и D(X) = 16; б = 5, в = 25.

Ответ: a) 4/5; б) 1/2; в) 1/4; г) 3/5.

4) СВ Х, распределенная нормально, имеет М(Х) = 2 и D(X) = 9; б = 2, в = 17.

Ответ: a) 1/2; б) 1/3; в) 3; г) 7/15.

5) СВ Х распределена по показательному закону с М(Х) = 2; б = 0, в = 2.

Ответ: a) 1; б) ; в) ; г) 0.

6) СВ Х распределена по показательному закону с М(Х) = 0,25; б = -2, в = 0.

Ответ: a) 0; б) ; в) ; г) .

7) равномерно распределенная СВ Х задана на промежутке [1; 5]; б = 2, в = 4.

Ответ: a) 2; б) 1/2; в) 4/5; г) 1.

8) СВ Х, распределенная нормально, имеет М(Х) = 1 и D(X) = 4; б = -19, в = 1.

Ответ: a) 0; б) 1/2; в) – 1/2; г) 1.

10.2. СВ Х задана своей плотностью распределения . Найти математическое ожидание М(Х) этой СВ Х.

1) .

Ответ: а) 16; б) 5; в) 512; г) 4.

2) .

Ответ: а) 1,5; б) 2,88; в) 1,2; г) 12.

3) , .

Ответ: а) 3; б) – 2/3; в) 3/2; г) 2/3.

4) , .

Ответ: а) 2; б) – 2; в) 1/4; г) – 4.

5)

Ответ: а) 4; б) 1/4; в) – 4; г) – 1/4.

 

6)

Ответ: а) 1/3; б) 0; в) 1,5; г) 3.

7) , .

Ответ: а) 0,2; б) 5; в) –0,2; г) 2.

8) .

Ответ: а) 3; б) 2; в) 8; г) 4.

10.3. Дискретная СВ Х, распределенная по биномиальному закону, принимает возможные значения 0, 1, …, 10. Найти математическое ожидание М(Х) этой СВ Х, если вероятность p = 0,1.

Ответ: а) 0,9; б) 10; в) 1; г) 9.

10.4. Дискретная СВ Х, распределенная по биномиальному закону, принимает возможные значения 0, 1, …, 10. Найти дисперсию D(Х) этой СВ Х, если вероятность p = 0,7.

Ответ: а) 7; б) 2,1; в) 3; г) 0,21.

10.5. Дискретная СВ Х, распределенная по закону Пуассона, принимает возможные значения 0, 1, …, 10. Найти математическое ожидание М(Х) этой СВ Х, если параметр распределения л = 0,8.

Ответ: а) 0,8; б) 8; в) 5/2; г) 12,5.

10.6. Дискретная СВ Х, распределенная по биномиальному закону, принимает возможные значения 0, 1, …, 10. Найти дисперсию D(Х) этой СВ Х, если параметр распределения л = 0,6.

Ответ: а) 0,06; б) 2,4; в) 5/3; г) 50/3.

10.7. Дискретная СВ Х, распределенная равномерно, принимает возможные значения 1, 2, …, 10. Найти математическое ожидание М(Х) этой СВ Х.

Ответ: а) 0,5; б) 0,1; в) 5; г) 5,5.

10.8. Дискретная СВ Х, распределенная равномерно, принимает возможные значения 1, 2, …, 5. Найти дисперсию D(Х) этой СВ Х.

Ответ: а) 0,4; б) 0,1; в) 2; г) 0,2.

10.9. Дискретная СВ Х, распределенная по биномиальному закону, принимает возможные значения 0, 1, …, 10. Найти математическое ожидание М(Х) этой СВ Х, если вероятность p = 0,6.

Ответ: а) 1; б) 0,6; в) 6; г) 0,06.

10.10. Дискретная СВ Х, распределенная по биномиальному закону, принимает возможные значения 0, 1, …, 10. Найти дисперсию D(Х) этой СВ Х, если вероятность p = 0,4.

Ответ: а) 2,4; б) 0,24; в) 4; г) 6.

10.11. Какова вероятность того, что точка, брошенная в круг радиусом 1 и центром (0; 0), примет координаты (1/2; 1/2)?

Ответ: а) 0; б) 1/(2р); в) 1/2; г) 1.

10.12. Какова вероятность того, что точка, брошенная на отрезок [-1; 2], будет иметь координату 0?

Ответ: а) 1; б) 1/2; в) 1/3; г) 0.

10.13. Сравните числовые характеристики изображенных на рисунке распределений.

X1

1)

X2

Ответ: а) M(X₁) = M(X₂), D(X₁) = D(X₂); б) M(X₁) < M(X₂), D(X₁) < D(X₂); в) M(X₁) > M(X₂), D(X₁) = D(X₂); г) M(X₁) < M(X₂), D(X₁) = D(X₂).

2)

X2

X1

Ответ: а) M(X₁) = M(X₂), D(X₁) > D(X₂); б) M(X₁) = M(X₂), D(X₁) < D(X₂); в) M(X₁) > M(X₂), D(X₁) < D(X₂); г) M(X₁) < M(X₂), D(X₁) = D(X₂).

3)

X1

X2

Ответ: а) M(X₁) > M(X₂), D(X₁) = D(X₂); б) M(X₁) < M(X₂), D(X₁) > D(X₂); в) M(X₁) = M(X₂), D(X₁) > D(X₂); г) M(X₁) = M(X₂), D(X₁) < D(X₂).

4)

X1

X2

Ответ: а) M(X₁) > M(X₂), D(X₁) > D(X₂); б) M(X₁) < M(X₂), D(X₁) < D(X₂); в) M(X₁) = M(X₂), D(X₁) < D(X₂); г) M(X₁) > M(X₂), D(X₁) < D(X₂).

5)

X2

X1

Ответ: а) M(X₁) < M(X₂), D(X₁) = D(X₂); б) M(X₁) = M(X₂), D(X₁) < D(X₂); в) M(X₁) > M(X₂), D(X₁) >D(X₂); г) M(X₁) < M(X₂), D(X₁) > D(X₂).

6)

X1

X2

Ответ: а) M(X₁) > M(X₂), D(X₁) = D(X₂); б) M(X₁) = M(X₂), D(X₁) > D(X₂); в) M(X₁) < M(X₂), D(X₁) < D(X₂); г) M(X₁) = M(X₂), D(X₁) = D(X₂).

7)

X2

X1

Ответ: а) M(X₁) <M(X₂), D(X₁) < D(X₂); б) M(X₁) < M(X₂), D(X₁) > D(X₂); в) M(X₁) > M(X₂), D(X₁) = D(X₂); г) M(X₁) = M(X₂), D(X₁) > D(X₂).

8)

X1

X2

Ответ: а) M(X₁) = M(X₂), D(X₁) = D(X₂); б) M(X₁) < M(X₂), D(X₁) > D(X₂); в) M(X₁) > M(X₂), D(X₁) = D(X₂); г) M(X₁) < M(X₂), D(X₁) < D(X₂).

9)

X2

X1

Ответ: а) M(X₁) > M(X₂), D(X₁) = D(X₂); б) M(X₁) = M(X₂), D(X₁) < D(X₂); в) M(X₁) < M(X₂), D(X₁) = D(X₂); г) M(X₁) = M(X₂), D(X₁) > D(X₂).