Теорема про зміну кінетичної енергії матеріальної системи

Згідно цієї теореми приріст кінетичної енергії матеріальної системи за певний проміжок часу дорівнює сумі робіт зовнішніх та внутрішніх сил, що діють на точки матеріальної системи

 

 

 

У виразі (1.1) кінетична енергія =0 , тому що в початковий момент часу система знаходилась в стані спокою. Робота внутрішніх сил також дорівнює нулю, оскільки ми вважаємо, що тіла 1,2,3 та 4 в процесі руху не деформуються, а отже ми маємо справу з незмінною системою абсолютно твердих тіл. Тоді (1.1) має вигляд

 

Почнемо з правої частини виразу (1.2), тобто з суми робіт зовнішніх сил, що діють на точки матеріальної системи:

 

Проаналізуємо всі зовнішні сили. Для цього треба подумки укласти матеріальну систему в замкнутий об’єм. Зовнішні сили – це сили взаємодії між тілами всередині цього замкнутого об’єму та тілами, що знаходяться поза ним. Отже, по-перше, зовнішні сили – це сили ваги . По-друге, це – реакції в’язей, які деяким чином обмежують рух цих тіл. Для тіла 2 це реакції циліндричного шарніру та .

Для того, щоб вказати напрямок дії реакцій в’язей для тіл 3 і 4, треба припустити, що система рухається в одному з можливих напрямків. Якщо припустити, що тіло 1 рухається донизу, то диск 2 – обертається проти стрілки годинника, східчастий диск 3 переміщується вправо догори та обертається за стрілкою годинника, а тіло 4 рухається вправо вгору по нерухомій площині (покажемо напрямки руху стрілками).

Відповідно до вказаних напрямків руху реакція нерухомої поверхні при русі по ній східчастого диску 3 складається [2] з сили тертя кочення , прикладеної в миттєвому центрі швидкостей і спрямованої проти напрямку руху, та нормальної складової , зміщеної в напрямку руху на величину ( коефіцієнт тертя кочення).

Сила реакції поверхні при русі тіла 4 складається з нормальної складової та сили тертя ковзання, спрямованої проти напрямку руху, модуль якої за законом Кулона дорівнює: F_тр4=fN₄.

 

Величини сил нормальних реакцій та отримаємо, спроєцювавши всі сили, прикладені до тіл 3 та 4, включаючи і сили натягу ниток, на ось, перпендикулярну напрямку її руху. Враховуючи те, що рух у цьому напрямку відсутній, отримаємо:

 

та .

 

Елементарна робота сил, прикладених до твердого тіла, дорівнює:

, (1.3)

 

де та - головний вектор та головний момент відносно центра зведення сил, що діють на тверде тіло; та - елементарні поступальне та обертальне переміщення центра зведення сил.

Елементарна робота сил, що діють на матеріальну систему, що розглядається, дорівнює:

 

(1.4)

Позначивши елементарне переміщення тіла 1, що здійснюється у напрямку стрілки, як , маємо = , Тіло 2 здійснює обертальний рух проти стрілки годинника. Коли воно повернеться на елементарний кут , момент, прикладений до нього, виконає роботу:

 

.

 

( роботи сил та дорівнюють нулю, оскільки сили прикладені до нерухомої точки).

Для того, щоб визначити елементарну роботу сил, прикладених до тіла 3, зведемо цю систему сил до миттєвого центру швидкостей (точка ). Тоді, знаючи, що миттєвий центр швидкостей – нерухомий, отримаємо у вигляді роботи головного моменту сил при обертанні навколо точки на елементарний кут :

 

(1.5)

 

(сила тертя кочення проходить через нерухому точку та роботи не виконує). Елементарна робота сил, що діють на тіло 4, на переміщенні дорівнює

. (1.6)

 

Отже, елементарна робота сил, що діють на матеріальну систему, дорівнює

 

.

(1.7)

 

Матеріальна система, що розглядається, має один степінь вільності, отже – переміщення, які здійснюють елементи цієї системи, є однозначно взаємозалежними. Ця взаємозалежність має вигляд наступних рівностей:

 

= . (1.8)

 

Тоді, підставивши співвідношення (1.8) в вираз (1.7), маємо:

 

=

.

(1.9)

Вважаючи, що тіло 1 з початкового до кінцевого моменту часу пройшло відстань , повна робота зовнішніх сил, прикладених до точок матеріальної системи буде дорівнювати:

 

 

 

 

Тепер обчислимо кінетичну енергію системи T, яку вона набула за цей же проміжок часу. Кінетична енергія системи складається з

- кінетичної енергії поступального руху тіл 1 і 4

 

, (1.11)

 

де та - лінійні швидкості цих тіл;

- кінетичної енергії обертального руху диску 2

 

(1.12)

 

де осьовий момент інерції диска 2 відносно осі, що проходить через центр мас та збігається з віссю обертання, - кутова швидкість обертання диска 2;

- кінетичної енергії плоскопаралельного руху східчастого диска 3, яка за теоремою Кеніга обчисляється як сума кінетичної енергії поступального руху тіла разом з центром мас та кінетичної енергії обертального руху тіла навколо центра мас:

 

(1.13)

 

де - лінійна швидкість центра мас диска 3,

- кутова швидкість обертання диска 3,

- момент інерції східчастого диска 3 відносно його центра мас,

- радіус інерції східчастого диска 3.

Неважко побачити ( пересвідчитись в цьому рекомендуємо студентам самостійно), що, розглядаючи плоскопаралельний рух диска 3 як миттєво-обертальний навколо миттєвої осі обертання, яка проходить через миттєвий центр швидкостей (точка ), кінетична енергія тіла 3 може бути записана у вигляді

 

, (1.14)

 

де за теоремою Штейнера .

Отже, кінетична енергія матеріальної системи дорівнює:

=

. (1.15)

Вище було зазначено, що оскільки система має один степінь вільності, то лінійні і кутові швидкості її складових взаємозалежні. Ця залежність може бути отримана зі співвідношень (1.8). Дійсно, маючи на увазі, що елементарні поступальні і обертальні переміщення тіл, здійснені за елементарний проміжок часу , є ніщо інше, як поступальні і обертальні швидкості, маємо:

 

; ; (1.16)

 

З урахуванням (1.16) вираз (1.15) отримає вигляд:

 

 

(1.17)

Прирівнюючи вирази (1.10) та (1.17), отримаємо:

 

=

= (1.18)

 

Пам’ятаючи, що матеріальна система, рух якої розглядається, є незмінною, стверджуємо що вирази в квадратних дужках в (1.18) є константами. Позначивши коефіцієнт при через , а коефіцієнт при через , перепишемо (1.18) так:

 

. (1.19)

 

Візьмемо похідну за часом від виразу (1.19)

(1.20)

Оскільки

(1.21)

 

то остаточно прискорення дорівнює:

 

(1.22)

Або

 

 

 

(1.23)

 

Перевіряючи розмірність складових в чисельнику і знаменнику (1.23), бачимо, що всі складові в чисельнику мають розмірність сили [H], а в знаменнику – розмірність маси [кг]. Отже, розмірність виразу в правій частині (1.23) – лінійне прискорення [ ].

Для варіантів, де треба знайти будь-який інший кінематичний параметр, кінетичну енергію і роботу треба виражати через відповідні змінні. Якщо в прикладі, який розглядається, треба знайти кутове прискорення східчастого диску 3, то:

- співвідношення між переміщеннями тіл аналогічно виразу (1.8) треба виразити через :

 

= , (1.24)

 

тоді елементарна робота згідно виразу (1.7) буде з урахуванням (1.24) виглядати так:

 

 

=

(1.25)

а повна робота зовнішніх сил, прикладених до точок матеріальної системи, за аналогією з (1.10), на кутовому переміщенні тіла 3 буде дорівнювати

 

 

(1.26)

 

- співвідношення між кутовими і лінійними швидкостями тіл, аналогічно виразу (1.16), повинні бути виражені через :

 

(1.27)

 

тоді кінетична енергія матеріальної системи, за аналогією з (1.17), буде мати вигляд:

 

 

 

= (1.28)

 

 

- позначаючи коефіцієнт при в виразі (1.28) як, а коефіцієнт при в виразі (1.26) як , маємо

(1.29)

І остаточно тобто:

 

 

=

 

 

Звідки очевидно, що

(1.31)

Рівність (1.31) збігається з рівністю, яку можна отримати, якщо взяти похідну за часом від першого з рівнянь (1.27).