Принцип Д’Аламбера-Лагранжа

Принцип Д’Аламбера-Лагранжа, або загальне рівняння динаміки, стверджує, що при русі механічної системи, на яку накладаються ідеальні стаціонарні в’язі, сума робіт активних сил і сил інерції на будь-якому можливому переміщенні точок системи дорівнює нулю:

У виразі (3.1) - активні сили та моменти, що прикладені до точок матеріальної системи ( до них також відносяться неідеальні складові реакціх в’язей, наприклад, сили тертя). В цьому виразі - сили інерції, які за Д’Аламбером обраховуються як для поступального руху ( - маса тіла, що рухається поступально, - поступальне прискорення), та ; для обертального руху ( – осьовий момент інерції, - кутове прискорення). Акцентуємо увагу на те, що сили інерції спрямовані (про це свідчить знак “-“ мінус) проти відповідного прискорення.

Покажемо на рис.5 активні сили та момент реакції неідеальних в’язей та , а також сили інерції поступального та обертального рухів (напрямки лінійних прискорень збігаються з напрямками елементарних переміщень , а напрямки кутових прискорень збігаються з напрямками елементарних кутів повороту (див. рис. 2).

Уявно надамо матеріальній системі можливих переміщень та (див. рис. 5) і запишемо суму можливих робіт зовнішніх сил у відповідності до (3.1)

(3.2)

З урахуванням того, що

,

співвідношень між кутовими прискореннями тіл та прискоренням центра мас тіла 3:

(3.3)

та співвідношень між можливими переміщеннями всіх тіл системи

вираз (3.2) прийме вигляд:

(3.5)

Скорочуючи (3.5) на ,а також переносячи складові з в одну частину рівняння, а складові без - в іншу, отримаємо для :

Вираз (3.6) є тотожним виразу (1.23).

При необхідності знайти інший кінематичний параметр, наприклад , необхідно у вираз (3.2) підставити замість співвідношень (3.3) аналогічні вирази кінематичних параметрів через , а саме

; (3.7)