Метод кінетостатики

Інший спосіб вирішення вищесформульованої задачі пов'язаний з необхідністю складання диференціальних рівнянь руху кожного тіла окремо і подальшого вирішення цих рівнянь як системи.

Кожне з тіл подумки укладемо в замкнутий об’єм (рис. 6). До зовнішніх сил в цьому випадку додаються також сили натягу ниток (i=1,2,3).

Дуже важливим питанням при вирішені задачі цим методом є правильний вибір напрямків осей, в яких досліджується рух тіл. Для кожного з тіл покажемо додатній напрямок осей х, вздовж яких тіла рухаються поступально та прискорено (осі ) і додатній напрямок осей z, навколо яких тіла прискорено обертаються (осі

Як відомо диференціальне рівняння поступального руху тіла записується як , а обертального - . Рівняння плоскопараллельного руху – сукупність двох вищенаведених рівнянь.

Отже, диференціальне рівняння поступального руху тіла 1 вздовж осі х₁ має вигляд:

. (5.1)

Диференціальне рівняння обертального руху диска 2 навколо осі z₂ має вигляд:

. (5.2)

Диференціальне рівняння плоско паралельного руху тіла 3 складається з диференціального рівняння поступального руху центра мас вздовж осі х₃ та диференціального рівняння обертального руху навколо осі z₃, що проходить через центр мас

, (5.3)

. (5.4)

 

 

Диференціальне рівняння поступального руху тіла 4 вздовж осі х₄ виглядає так:

. (5.5)

Розглядаючи рівняння (5.1-5.5) як систему рівнянь з урахуванням , отримаємо:

(5.6)

Лінійні W_i та кутові ε_i прискорення пов’язані між собою. Їх взаємозв’язок можна отримати, взявши похідну за часом від співвідношень (1.16)

; ; ; . (5.7)

З урахуванням (5.7) систему (5.6) перепишемо у вигляді:

(5.8)

Система з п’яти рівнянь являє собою систему лінійних алгебраїчних рівнянь з п’ятьма невідомими – чотирма силами (T₁, T₂, T₃, T₄) та прискоренням W₁ поступального руху тіла 1.

Нескладно побачити, що виключаючи з третього та четвертого рівнянь системи (5.8) силу тертя F_тр3 , отримаємо рівняння

. (5.9)

З урахуванням того, що – момент інерції східчастого диску 3 відносно миттєвої осі обертання, а кутове прискорення тіла 3, можна стверджувати, що (5.9) – рівняння обертального руху диска 3 навколо миттєвої осі обертання.

 

Виключаючи з перших двох рівнянь (5.8) силу натягу T₁, отримаємо:

(5.10)

Вирішуючи спільно рівняння (5.9) та п’яте рівняння з системи (5.8) з метою виключення сил натягу T₃, маємо:

=

 

Виражаючи з (5.10) силу :

 

 

та підставляючи (5.12) в (5.11), з урахуванням того, що ;

отримаємо:

 

. (5.13)

 

Поділяючи чисельник та знаменик (5.13) на 2 , отримаємо вираз для , тотожний (1.23).

В разі необхідності знаходження будь-якого іншого кінематичного параметру, наприклад , треба в (2.7) всі інші параметри виразити через :

;

Тоді система рівнянь (5.6) буде мати вигляд:

 

 

 

(5.15)
Вирішуючи систему рівнянь (5.15) відносно , отримаємо вираз, тотожний (1.30).

Продемонстроване розв’язання задачі з дослідження динаміки системи чотирма методами дає можливість проаналізувати переваги кожного з них.