НЕ ЛЕЖАЩИХ В ОДНОЙ ПЛОСКОСТИ

Задание С.6. Приведение системы сил к простейшему виду

 

Определить главный вектор * и главный момент _O заданной системы сил относительно центра О и установить, к какому простейшему виду приводится эта система. Размеры параллелепипеда (рис. 24), а также модули и направления сил указаны в табл. 10.

 

Табл 10

№ вар

Размеры прямоуголь- ного параллеле-пипеда, см

Силы системы

1

2

3

4

A

b

c

Мо-дуль, Н

То- чка прил

Нап-равл.

Мо-дуль, Н

То- чка прил

Нап-равл.

Мо-дуль, Н

То- чка прил

Нап-равл.

Мо-дуль, Н

То- чка прил

Нап-равл.

F

FK

A

AE

B

BA

D

D K

A

AC

O

OD

K

K B

-

-

-

B

BA

C

CK

E

ED

-

-

-

A

AB

K

KC

-

-

-

-

-

-

O

OD

D

DF

K

KC

B

B O

A

AO

E

E F

F

F B

D

DF

B

BK

C

C O

D

DF

-

-

-

O

OA

B

B F

D

D K

-

-

-

A

AC

K

K B

-

-

-

-

-

-

A

AC

O

OD

K

K E

E

EA

A

AE

C

CB

O

O K

K

K D

A

AE

E

E A

C

CK

D

D K

O

OB

C

CD

E

E K

-

-

-

B

BA

O

OD

-

-

-

-

-

-

E

AE

F

F E

B

B F

D

D K

O

OC

B

B K

K

K O

-

-

-

E

EB

B

B K

O

OC

D

D O

A

AB

K

K C

D

D E

-

-

-

C

CA

D

DF

-

-

-

-

-

-

A

AD

B

B O

K

K B

D

DF

O

OD

B

B A

K

K F

D

D K

O

OA

E

EB

C

CD

D

D K

O

OA

F

F B

K

K D

-

-

-

A

AD

K

K E

-

-

-

-

-

-

A

AC

B

BA

K

K E

D

D K

E

EA

O

O C

C

CK

K

K F

O

OD

C

CB

D

D K

-

-

-

O

OA

F

F E

C

CK

-

-

-

B

BK

D

D C

-

-

-

-

A

AD

B

B O

K

K B

D

DF

 

 

 

Рис. 24

 

При выполнении задания необходимо сделать следующее.

1. Изобразить заданную систему сил, выполнив построение параллелепипеда в масштабе, показав хОу на чертеже равным 135°; сокращение размеров по оси Ох принять равным 1 : 2.

2. Выбрав систему координатных осей, опре­делить модуль и направление главного вектора заданной системы сил по его проекциям на координатные оси и изобразить * на чертеже.

3. Вычислить главный момент заданной системы сил относительно центра О по его проекциям на координатные оси и изобразить _O на чертеже.

 

 

Рис. 25

 

4. Вычислить наименьший главный момент заданной системы сил.

5. На основании результатов вычислений глав­ного вектора и наименьшего главного момен­та * установить, к какому простейшему виду приводится заданная система сил. При этом не­обходимо сделать следующее:

а) если заданная система сил приводится к паре сил, то показать момент этой пары, при­ложив его к точке О:

б) если заданная система сил приводится к равнодействующей, то найти уравнение линии действия равнодействующей, определить точ­ки пересечения этой линией координатных плоскостей и изобразить на чертеже;

в) если заданная система сил приводится к динаме (силовому винту), то найти уравнения центральной оси, определить точки пере­сечения этой осью координатных плоскостей и изобразить * и * на чертеже.

 

Пример выполнения задания. Дана система сил ₁ , ₂ , ₃ , ₄;

; модули, точки приложения и направления этих сил указаны в табл. 11.

 

Табл.11

Размеры прямоуголь- ного параллеле-пипеда, см

Силы системы

1

2

3

4

а

B

c

Мо-дуль, Н

То- чка прил

Нап-равл.

Мо-дуль, Н

То- чка прил

Нап-равл.

Мо-дуль, Н

То- чка прил

Нап-равл.

Мо-дуль, Н

То- чка прил

Нап-равл.

10

O

O C

4

F

F B

C

CB

D

DА

 

Решение. 1. Определение главного вектора заданной системы сил. Заданная система сил показана на рис. 25.

Предварительно определяем

cos α = а / ; sin α = c / .

В данном случае cos α = 0,6; sin α = 0,8.

Проекции главного вектора на оси координат:

Х = Рз + Р₄ cos α; У = P₁; Z = - Р₂ - Р₄ sin α.

 

 

Рис. 26

Модуль главного вектора

R* = .

Направляющие косинусы:

cos (*, ) = Х / R* ;

cos (*, ) = Y / R* ;

cos ( *, ) = Z /R* .

В соответствии с исходными данны­ми получаем: Х = 10,6 H; Y = 10,0 H;

Z = -12,8 H; R* = 19,4 H;

cos (*, ) = 0,547; cos (*, ) = 0,515; cos ( *, ) = -0,660.

Главный вектор показан на рис.26.

2. Определение главного момента заданной системы, сил относи­тельно центра О.

Главные моменты заданной системы сил относительно координат­ных осей:

М_х = - Р₂ b; M_y = Р₂ а + Р₄ cos α с; М _z = -Рз b.

Модуль главного момента

М_о =

Направляющие косинусы:

cos(_o, ) = М_х / М_о; cos(_o, ) = М_у / М_о; cos(_o, ) = М_z / М_о.

В результате вычислений имеем:

М_х = -200 Н • см; М_у = 384 Н • см;

М_z = -200 Н • см; М_о = 477 Н • см;

Cos(_o, ) = - 0,419; cos(_o, ) = 0,805; cos (_o, ) = - 0,419.

Главный момент _o показан на рис. 26.

 

Табл. 12

Точки	Координаты, см
Х	Y	Z
А1		5,1	25,5
А2	- 5,4		32,0
А3	21,1	25,0

 

3. Вычисление наименьшего главного момента заданной системы сил:

М* = (XМ_х+ Y М_у + Z М_z) / R*

По этой формуле получаем

М*=221 Н • см.

4. Так как R* ≠ О, М* ≠ 0, то заданная система сил приводится к динаме (силовому винту).

Уравнение центральной оси таково:

[М_х - (yZ - zY)] / X = [M_y - (zX - xZ)] / Y = [М_z -(xY - yX) )/Z = М* / R*.

Из этих трех уравнений независимыми являются только два. Под­ставляя в два из этих уравнений найденные числовые значения ве­личин, находим:

[М_х - (yZ - zY)] / X = М* / R*; 6,4у + 5z = 160;

[M_y - (zX - xZ)] / Y = М* / R*; 5,3z + 6,4х = 135.

Значения координат точек пересечения центральной осью коорди­натных плоскостей, определенные с помощью этих уравнений, поме­щены в табл. 12.

Центральная ось системы сил показана на рис. 26.

Примечание. Если силы приводятся к равнодействующей, т. е.

М* = 0, а * = * ≠ 0, то уравнения линии действия равнодействую­щей:

М_х = yZ - zY ; M_y = zX - xZ ; М_z = xY - yX ,

где X, Y, Z — проекции равнодействующей силы на координат­ные оси; М_х, M_y, М_z — главные моменты заданной системы сил относительно координатных осей.

Из этих трех уравнений независимыми также являются только два.

 

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ № 3 (2.3.3.)