КИНЕМАТИКА ТОЧКИ

Задание K.I. Определение скорости и ускорения точки по заданным уравнениям ее движения.

 

По заданным уравнениям движения точки М установить вид ее траектории и для момента времени t = t₁ (с) найти положение точ­ки на траектории, ее скорость, полное, касательное и нормальное ускорения, а также радиус кривизны траектории.

Необходимые для решения данные приведены в табл. 3.

Пример выполнения задания. Исходные данные:

х = 4t; у = 16 t² - 1; (1)

t₁ = 0,5 (х и у — в см, t и t₁ — в с.

Решение. Уравнения движения (1) можно рассматривать как па­раметрические уравнения траектории точки. Чтобы получить урав­нения траектории в координатной форме, исключим время t из урав­нений (1).

Получаем у = х² — 1, т. е. траекторией точки является парабола, показанная на рис. 1.

Вектор скорости точки

= _x + _y . (2)

Вектор ускорения

= a _x + a _y .

Здесь ,— орты осей х и у; v_x, v_y, a_x, a_y — проекции скорости и ускорения точки на оси координат.

Найдем их, дифференцируя по времени уравнения движения (1):

v_x = х’ = 4 см/с; a_x = х”= 0;

v_y = у’ = 32t; a_y= y” = 32 см/с².

По найденным проекциям определяются мо­дуль скорости:

v = (4)

и модуль ускорения точки:

а = (5)

Модуль касательного ускорения точки

a_r =‌ ‌‌ ׀ dv/dt ׀, (6)

или

a_r = ׀ • /v ׀; (6')

a_r =‌ ׀ (v_x a_x + v_ya_y) / v ׀; (б")

dv/dt выражает проекцию ускорения точки на направление ее скоро­сти. Знак «+» при dv/dt означает, что движение точки ускоренное, направления и совпадают; знак «—», — что движение замедлен­ное.

Модуль нормального ускорения точки

а_n = v² / р. (7)

Если радиус кривизны траектории р в рассматриваемой точке неиз­вестен, то а_n можно определить по формуле

а_n = ‌׀ x ׀ ‌ / v . (8)

При движении точки в плоскости формула (8) принимает вид

а_n = ‌׀ v_x a_y + v_y a_x ׀/ v . ( 8')

Модуль нормального ускорения можно определить и следующим образом:

а_n = . (9)

После того, как найдено нормальное ускорение по формулам (8) или (9), радиус кривизны траектории в рассматриваемой точке опре­деляется из выражения

р = v²/ а_n . (10)

Результаты вычислений по формулам (3) - (6), (8) и (10) для заданного момента времени t₁ = 0,5 с приведены в табл. 1

 

Табл.1

Координаты, см	Скорость, см / с	Ускорение, см / с2	Радиус кривизны, см
x	Y	vx	vy	V	ax	ay	а	ar	аn	р
				16,5					7,8

 

 

На рис. 1 показано положение точки М в заданный момент вре­мени. Вектор строим по составляющим _х и _y, причем этот вектор должен по направлению совпадать с касательной к траектории. Век­тор строим по составляющим _x и _y и затем раскладываем на составляющие _n и _r. Совпадение величин a_r и a_n, найденных из чертежа, с их значениями, полученными аналитически, служит контролем правильности решения.

 

Рис. 1

 

Дополнение к заданию K.I. Данное задание может быть использовано для определения скорости и ускорения точки при ее движении по пространственной траектории. Для этого к двум уравнениям движения (см. табл. 3) добавляется третье уравнение (табл. 2).

Общий порядок выполнения задания в этом случае такой же, как и в приведенном выше примере.

 

Табл.2

Номер варианта	z = z (t), см	Номер варианта	z = z (t), см	Номер варианта	z = z (t), см	Номер варианта	z = z (t), см	Номер варианта	z = z (t), см
	3t		2,5t		1,5t		6t		5t
	2t		5t		2t + 2		2t		6t
	1,5t		4t + 8		3t		4t		3,5t
	4t +4		T		1,5t		t		4t
	T		2t		5t		1,5t		5t
	3t		3t		3,5t		2t		1,5t

 

 

Табл. 3

Номер Варианта	Уравнения движения	t1 c
х = x (t)	y = y (t)
	-2 t2 + 3	-5t	½
	4 cos2 (πt/3) + 2	4 sin2 (πt/3)
	- cos (πt 2/3) + 3	sin (πt 2/3) – 1
	4t + 4	- 4 / (t + 1)
	2 sin (πt /3)	-3 cos (πt/3) + 4
	3 t2 + 2	- 14 t	½
	3 t2 - t + 1	5 t2 + 5t / 3 – 2
	7 sin (πt 2/6) + 3	2 – 7 cos (πt 2/6)
	- 3 / (t + 2)	3 t + 6
	- 4 cos (πt/3)	- 2 sin (πt/3) – 3
	- 4 t2 + 1	8 – 3t	½
	5 sin2 (πt /6)	– 5 cos2 (πt /6) – 3
	5 cos (πt2 /3)	- 5 sin (πt2 /3)
	- 2t - 2	- 2 / (t + 1)
	4 cos (πt/3)	- 3sin (πt/3)
	3t	4t2 + 1	½
	7 sin2 (πt /6) - 5	- 7 cos2 (πt /6)
	1 + 3 cos (πt 2/3)	3 sin (πt2 /3) + 3
	- 5 t2 - 4	3t
	2 – 3t – 6t2	3 – 3t / 2 – 3t2
	6 sin (πt 2/6) - 2	6 cos (πt 2/6) + 3
	7 t2 - 3	5 t	¼
	3 – 3 t2 + t	4 - 5 t2 + 5t / 3
	- 4 cos (πt/3) -1	- 4 sin (πt/3)
	- 6t	- 2t 2 – 4
	8 cos2 (πt /6) + 2	- 8 sin2 (πt /6) – 7
	- 3 – 9 sin (πt 2/6)	- 9 cos (πt 2/6) + 5
	- 4 t2 + 1	- 3t
	5 t2 + 5t / 3 – 3	3 t2 + t + 3
	2 cos (πt2 /3) – 2	- 2 sin (πt2 /3) + 3

 

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ № 4 (2.3.4.)