КИНЕМАТИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА

ПОСТУПАТЕЛЬНОЕ И ВРАЩАТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА

Задание К.2. Определение скоростей и ускорений точек твердого тела при поступательном и вращательном движениях

 

Движение груза 1 должно описываться уравнением

x= c ₂ t² + c ₁ t + c ₀ , (1)

где t — время, с; c ₀, c ₁, c ₂ — некоторые постоянные.

В начальный момент времени (t = 0) положение груза определяется координатой x₀ и он имеет скорость v₀. Учесть, что в момент времени t = t ₂ координата груза равна x_2.

Определить коэффициенты c₀, c₁, c₂, при которых осуществляется требуемое движение груза 1. Определить также в момент времени t = t₁ скорость и ускорение груза и точки М одного из колес механизма.

Схемы механизмов показаны на рис. 4 - 6, а необходимые данные приведены в табл. 4.

Пример выполнения задания. Дано: схема механизма (рис. 2);

R ₂ = 50 см, r ₂ = 25 см, R ₃ = 65 см, r ₃ = 40 см, x ₀ = 14 см, v ₀ = 5 см/с,

x ₂ = 168 см , t ₁ = 1 c, t ₂ = 2 c.

Найти уравнение движения груза, а также скорости и ускорения груза и точки М в момент времени t = t₁.

Решение. Уравнение движения груза 1 имеет вид

x= c ₂ t² + c ₁ t + c ₀ (1)

 

Коэффициенты c ₀, c ₁, c ₂ могут быть определены из следующих условий:

при t = 0 x ₀ = 14 см, x₀ ’ = 5 см/с, . (2)

при t ₂ = 2 с x ₂ = 168 см. (3)

Скорость груза 1

v = x’ = 2c₂ t+ c₁. (4)

Подставляя (2) и (3) в формулы (1) и (4), находим коэффициенты

c₀ = 14 см, c ₁ = 5 см/с, c ₂ = 36cм/c².

Таким образом, уравнение движения груза 1

х = 36 t² + 5 t + 14 (5)

Скорость груза 1

v = x’ = 72t+5. (6)

 

 

Ускорение груза 1

а = х ”= 72 см/с².

Для определения скорости и ускорения точки М запишем уравнения, связывающие ско­рость груза v и угловые ско­рости колес ω ₂ и ω ₃ .

В соответствии со схемой ме­ханизма

 

v = r ₂ ω ₂

R₂ ω ₂ = R₃ ω ₃

(7)

откуда

ω ₃ = vR₂ / (r₂ R₃)

 

или с учетом (6) после подста­новки данных

ω ₃ = 2,215 t + 0,154

 

 

Угловое ускорение колеса 3

ε₃ = ω ₃ ’ = 2,215 рад/с².

Скорость точки М, ее вращательное, центростремительное и полное ускорения определяются по формулам

v_m = r ₃ ω ₃;

a_M ^в = r ₃ ε₃; a_M ^ц = r ₃ ω ₃²;

a_м = ;

Результаты вычислений для заданного момента времени t₁ = 1 c приведены в табл. 5.

 

Табл. 5

v, см/с	a,см/с2	ω 3, рад/с	ε3, рад/с2	VM, см/с	aM ц , см/с2	aM в, см/с2	aM, см/с2
77	72	2,37	2,22	94,8	224	88,6	241

 

 

Скорости и ускорения тела 1 и точки М показаны на рис. 3.

 

 

Рис. 2

 

 

Рис. 3

 

 

Табл. 4

Номер варианта	Радиус, см	Координаты с скорости груза 1	Расчетные моменты времени, с
R2	r2	R3	r3	x 0, см	v 0, см/с	x 0, см	t2	t1
				-
		-
				-
				-
		-
				-
				-
				-
				-
		-
				-
				-
				-
				-
				-
				-
				-
				-
				-
				-
				-
				-
				-

 

 

 

Рис. 4

 

 

Рис. 5

 

Рис. 6

 

 

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ № 5 (2.3.5.)