ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ.

 

Задание Д.З. Исследование колебательного движения материальной точки

 

В задании рассматриваются колебания груза D или системы грузов D и Е. Во всех вариантах, представленных ниже, считать, что сила сопротивления движению R измеряется в Н, скорость движения v - в м/с, а величина ξ — в см.

 

 

Рис. 32

Варианты 1—5 (рис. 32). Найти уравнение движения груза Д массой т_D (варианты 2 и 4) или системы грузов D и Е массами т_D и т _E (варианты 1, 3, 5), отнеся их движение к оси х; начало отсчета совместить с положением покоя груза D или соответственно система грузов D и Е (при статической деформации пружин). Стержень, соединяющий грузы, считать невесомым и недеформируемым.

Вариант 1. Груз D (т_D = 2 кг) прикреплен к бруску АВ, подве­шенному к двум одинаковым параллельным пружинам, коэффициент жесткости каждой из которых с = 3 Н/см. Точка прикрепления груза D находится на равных расстояниях от осей пружин.

В некоторый момент времени к грузу D подвешивают груз Е (т_E = 1 кг). Сопротивление движению системы двух грузов пропор­ционально скорости: R = 12 v (Н), где v — скорость (м/с).

Массой абсолютно жесткого бруска АВ и массой части демпфера. прикрепленной к бруску, пренебречь.

Вариант 2. В момент, когда стержень, соединяющий грузы D (т_D = 1 кг) и Е (т_E = 2 кг), перерезают, точка В (верхний конец последовательно соединенных пружин) начинает совершать движение по закону ξ = 1,5 sin l8 t (см) (ось ξ направлена вертикально вниз). Коэффициенты жесткости пружин c₁ = 12 Н/см, с₂ = 36 Н/см.

Вариант 3. Груз D (т_D = 0,8 кг) висит на пружине, прикре­пленной к точке F бруска АВ и имеющей коэффициент жесткости с₁ = 10 Н/см. Брусок подвешен к двум параллельным пружинам, коэффициенты жесткости которых с₂ = 4 Н/см, с₃ = б Н/см; точка F находится на расстояниях а и b от осей этих пружин: а / b = с₃ / с₂.

В некоторый момент времени к грузу D подвешивают груз Е (т_E = 1,2 кг). В этот же момент системе грузов сообщают скорость v _O = 0,2 м/с, направленную вниз. Массой абсолютно жесткого бруска АВ пренебречь.

Вариант 4. Статическая деформация двух одинаковых парал­лельных пружин под действием грузов D (т_D = 0,5 кг) и Е (т_E =1,5 кг) f _ст = 4 см. Грузы подвешены к пружинам с помо­щью абсолютно жесткого бруска АВ. В некоторый момент времени стержень, соединяющий грузы, перерезают. Сопротивление движению груза D пропорционально скорости: R = 6 v, где v — скорость. Массой бруска и массой прикрепленной к бруску части демпфера пренебречь.

Вариант 5. Одновременно с подвешиванием к грузу D (т_D =1,6 кг), висящему на пружине, коэффициент жесткости которой с = 4 Н/см, груза Е (т_E = 2,4 кг) точка В (верхний конец пружины) начинает совершать движение по закону ξ = 2 sin 5t (ось ξ направлена вертикально вниз).

Примечание. Положение начала отсчета на оси х соответствует среднему по­ложению точки В (ξ = 0).

Варианты 6—10 (рис. 32). Найти уравнение движения груза D массой т по гладкой наклонной плоскости, составляющей с горизонтом угол α, с момента соприкасания груза с пружиной или с системой пружин, предполагая, что при дальнейшем движении груз от пружин не отделяется. Движение груза отнести к оси х, приняв за начало отсчета положение покоя груза (при статической деформации дружин).

Вариант 6. Пройдя без начальной скорости по наклонной плос­кости (α = 30°) расстояние s = 0,1 м, груз D (т = 4 кг) ударяется о недеформированные, последовательно соединенные пружины, име­ющие коэффициенты жесткости

c ₁= 48 Н/см и с ₂ = 24 Н/см.

Вариант 7. В некоторый момент времени груз D (т = 2 кг) присоединяют без начальной скорости к концу А недеформированных последовательно соединенных пружин, имеющих коэффициенты жесткости c ₁= 12 Н/см, с ₂ = 6 Н/см. В тот же момент времени (t = 0) другой конец пружин В начинает совершать движение вдоль наклонной плоскости (α = 45°) по закону ξ = 0,02 sin 20 t (м) (ось ξ направлена вдоль наклонной плоскости вниз).

Примечание. Положение начала отсчета на оси х соответствует среднему по­ложению точки В (ξ = 0).

Вариант 8. Две параллельные пружины 1 и 2, имеющие коэффи­циенты жесткости c ₁ = 4 Н/см и с ₂ = 6 Н/см, соединены абсолютно жестким бруском АВ, к точке К которого прикреплена пружина 3 с коэффициентом жесткости с₃ = 15 Н/см. Точка К находится на расстояниях а и b от осей пружин 1 и 2: a/b = с ₂ / c ₁. Пружины 1, 2 и 3 не деформированы. Груз D массой 1,5 кг присоединяют к концу N пружины 3; в тот же момент грузу D сообщают скорость v _O = 0,5 м/с, направленную вниз параллельно наклонной плоскости (α = 45°). Массой бруска АВ пренебречь.

Вариант 9. Груз D (т =1,2 кг), пройдя без начальной скорости по наклонной плоскости (α = 30°) расстояние s = 0,2 м, ударяет­ся о недеформированную пружину, коэффициент жесткости которой с = 4,8 Н/см. В этот же момент (t = 0) точка В (нижний конец пружины) начинает совершать вдоль наклонной плоскости движение по закону ξ = 0,03sin l2t (м) (ось ξ направлена вдоль наклонной плоскости вниз) (см. примечание к варианту 7).

Вариант 10. Груз D {т = 1 кг) прикрепляют в середине абсо­лютно жесткого бруска АВ, соединяющего концы двух одинаковых параллельных пружин, не сообщая начальной скорости; пружины не деформированы. Коэффициенты жесткости пружин с = 1,5 Н/см. Со­противление движению груза пропорционально скорости: R = 8 v, где v -- скорость, α = 60°. Массой бруска АВ и массой прикрепленной к бруску части демпфера пренебречь.

Варианты 11—15 (рис. 33). Груз D массой т укреплен на конце невесомого стержня, который может вращаться в горизон­тальной плоскости вокруг оси Е. Груз соединен с пружиной или с системой пружин; положение покоя стержня, показанное на чертеже, соответствует недеформированным пружинам. Считая, что груз D, принимаемый за материальную точку, движется по прямой, опреде­лить уравнение движения этого груза (трением скольжения груза по плоскости пренебречь).

Движение отнести к оси x, за начало отсчета принять точку, соответствующую положению покоя груза.

Вариант 11. Груз D (т = 2,4 кг) соединен с точкой F бруска АВ, связывающего концы двух параллельных пружин, коэффициенты жесткости которых c ₁ = 1 Н/см и с ₂ = 1,4 Н/см. Точка F находится на расстояниях a и b от осей пружин: a/b= с ₂ / c ₁.

Груз D отклоняют на величину λ = 2 см влево от положения показанного на чертеже, и отпускают без начальной скорости. Со­противление движению груза пропорционально скорости: R = 6v, где v — скорость. Массой абсолютно жесткого бруска АВ и массой демпфера пренебречь.

Вариант 12. В некоторый момент времени груз D (т = 3 кг) удерживаемый в положении, при котором пружина сжата на величину λ = 2 см, отпускают без начальной скорости. Коэффициент жесткости пружины с = 9 Н/см. Одновременно (t = 0) точка В (правый конец пружины) начинает совершать движение по закону ξ = 1,2 sin 8 t (см ) (ось ξ направлена влево).

Примечание. Положение начала отсчета на оси х соответствует среднему по- ложению точки В (ξ = 0).

Вариант 13. Груз D (т = 1 кг) прикреплен к концу пружины, имеющей коэффициент жесткости c ₁ = 12 Н/см и соединенной другим концом с точкой F бруска АВ. Брусок АВ связывает концы двух параллельных пружин, коэффициент жесткости каждой из которых с = 3 Н/см. Точка F находится на равных расстояниях от осей параллельных пружин. Грузу в положении стержня, показанном на чертеже, сообщают скорость v _O = 0,5 м/с, направленную вправо.

Сопротивление движению груза пропорционально скорости: R = 12 v, где v — скорость.

Шток демпфера пропущен через отверстие в невесомом бруске АЕ и соединен с грузом D.

Вариант 14. Груз D (т = 1,5 кг) прикреплен одной стороной к концу пружины, имеющей коэффициент жесткости c ₁ = 4,4 Н/см а другой стороной — к концу двух последовательно соединенных пружин, коэффициенты жесткости которых с ₂ = 2 Н/см, с ₃ = 8 Н/см

Груз отклоняют на величину λ = 2,5 см влево от его положения показанного на чертеже, и отпускают, одновременно сообщая грузу начальную скорость v _O = 0,4 м/с, направленную вправо.

Вариант 15. Груз D (т = 1 кг) прикреплен к концу А после­довательно соединенных пружин. Другой конец пружин В движется по закону

ξ = 1,8 sin l2 t (см) (ось ξ направлена влево). Коэффици­енты жесткости пружин

c ₁ = 4 Н/см, с ₂ = 12 Н/см. При t = 0 груз находится в положении покоя, соответствующем недеформированным пружинам (см. примечание к варианту 12).

Варианты 16—20 (рис. 33). Найти уравнение движения груза D массой т_D (варианты 17 и 19) или системы грузов D и Е массами т_D и т_Е (варианты 16, 18, 20), отнеся движение к оси х; начало отсчета совместить с положением покоя груза D или соответственно системы грузов D и Е (при статической деформации пружин). Предполагается, что грузы D и Е при совместном движении не отделяются.

 

 

Рис. 33

 

Вариант 16. Пружина 1, на которой покоится груз D (т_D = 10 кг), опирается в точке F на брусок АВ, соединяющий концы двух параллельных пружин 2 и 3. Коэффициенты жесткости (Н/см) пружин 1, 2 и 3: c ₁ = 200, c ₂ = 160, c ₃ = 140.

Точка F находится на расстояниях а и b от осей пружин 2 и 3:

а / b = c ₁ / c ₃ .

В некоторый момент времени на груз D устанавливают груз Е (т_Е = 20 кг); одновременно системе грузов сообщают скорость v _O = 0,4 м/с, направленную вниз. Массой абсолютно жесткого бруска АВ пренебречь.

Вариант 17. В некоторый момент времени груз Е снимают с груза D (оба груза находятся в состоянии покоя, соответствующем статической деформации пружины). Циклическая частота собствен­ных колебаний системы грузов D и Е на пружине k = 20 рад/с, отношение масс т_D / т_Е = 2/3.

Вариант 18. Статическая деформация каждой из двух одина­ковых параллельных пружин под действием груза D (т_D = 20 кг) равна f _{ст D} = 2 см. В некоторый момент времени на груз D уста­навливают груз Е ( т_Е =10 кг). Сопротивление движению грузов пропорционально скорости: R = 60√3v, где v — скорость. Массой абсолютно жесткого бруска АВ и массой части демпфера, связанной с ним, пренебречь.

Вариант 19. Два груза D и Е (т_D = 15 кг, т_Е = 25 кг) покоятся на последовательно соединенных пружинах, имеющих коэффициенты жесткости

c ₁ = 250 Н/см и c ₂ = 375 Н/см. В момент, когда снимают груз Е, точка В опирания пружин начинает совершать движение по закону ξ = 0,5sin30t (ось ξ направлена вертикально вниз).

Примечание. Положение начала отсчета на оси х соответствует среднему по­ложению точки В (ξ = 0).

Вариант 20. На груз D, находящийся в состоянии покоя, соот­ветствующем статической деформации пружины, в некоторый момент времени устанавливают груз Е. В этот же момент времени системе двух грузов сообщают скорость v _O = 0,3 м/с, направленную вниз. Циклическая частота собственных колебаний груза D на пружине k _D = 24 рад/с, отношение масс т_Е / т_D = 3.

Варианты 21—25 (рис. 34). Найти уравнение движения груза D массой т по гладкой наклонной плоскости, составляющей с гори­зонтом угол α, отнеся движение к оси х; за начало отсчета принять положение покоя груза (при статической деформации пружин).

Вариант 21. В некоторый момент времени груз D (т = 2 кг) прикрепляют к концам недеформированных пружин, имеющих коэффициенты жесткости c ₁ = 7 Н/см и c ₂ = 3 Н/см; одновременно сообщают скорость v _O = 0,4 м/с, направленную вдоль наклонной плоскости (α = 45°) вниз.

 

 

Рис. 34

 

 

Вариант 22. Груз D находится на наклонной плоскости (α = 30°) в состоянии покоя, соответствующем статической деформации пру­жины f _ст = 2 см. В некоторый момент времени (t = 0) точка В (верхний конец пружины) начинает совершать движение по закону ξ = 0,01sinl0 t (м) (ось ξ направлена вдоль наклонной плоскости вниз).

Примечание. Положение начала отсчета на оси х соответствует среднему по­ложению точки В (ξ = 0).

Вариант 23. Груз D (т = 3 кг) прикрепляют к точке F бруска АВ, соединяющего концы двух недеформированных параллельных пружин, и отпускают без начальной скорости. Коэффициенты жест­кости пружин c ₁ = 2 Н/см и c ₂ = 4 Н/см. Точка F находится на расстояниях а и b от осей пружины:

а /b= c ₂ / c ₁ ; α = 60°.

Сопротивление движению груза пропорционально скорости: R = 12 v, где v — скорость. Массой бруска АВ и массой демпфера пренебречь.

Вариант 24. В некоторый момент времени груз D (т = 1 кг) прикрепляют к концу А недеформированных последовательно соеди­ненных пружин, имеющих коэффициенты жесткости c ₁ = 12 Н/см и c ₂ = 4 Н/см, и отпускают без начальной скорости.

Одновременно (t = 0) другой конец пружин В начинает совершать движение по закону ξ = 1,5sinl0t (см). Ось ξ направлена вдоль наклонной плоскости вниз (α = 30°) (см. примечание к варианту 22).

Вариант 25. Концы двух одинаковых параллельных пружин со­единены бруском АВ. Статическая деформация каждой из пружин под действием груза D (т =1,5 кг), находящегося на наклонной плоскости (α = 30°), f _ст = 4,9 см. В некоторый момент грузу D со­общают скорость v _O = 0,3 м/с, направленную вверх вдоль наклонной плоскости. Сопротивление движению груза пропорционально скорости груза: R = 6v, где v — скорость.

Массой абсолютно жесткого бруска АВ и массой части демпфера, связанной с бруском, пренебречь.

Варианты 26—30 (рис. 34). Пренебрегая массой плиты и считая ее абсолютно жесткой, найти уравнение движения груза D массой т с момента соприкасания его с плитой, предполагая, что при даль­нейшем движении груз от плиты не отделяется.

Движение груза отнести к оси х, приняв за начало отсчета поло­жение покоя этого груза (при статической деформации пружин).

Вариант 26. Плита лежит на двух параллельных пружинах, имеющих коэффициенты жесткости c ₁ = 600 Н/см и c ₂ = 400 Н/см. Груз D (т = 50 кг) падает без начальной скорости с высоты h = 0,1 м в точку F плиты, находящуюся на расстояниях а и b от осей пружин:

a/b = c ₂ / c ₁.

Вариант 27. Коэффициент жесткости каждой из двух парал­лельных пружин, на которых лежит плита, с = 130 Н/см. Груз D (т = 40 кг) устанавливают на середину плиты и отпускают без начальной скорости при недеформированных пружинах. Сопротивле­ние движению груза пропорционально скорости: R = 400 v, где v - скорость. Массой плиты и демпфера пренебречь.

Вариант 28. Груз D падает на плиту с высоты h = 5 см. Статический прогиб пружины под действием этого груза f _ст = 1 см.

Вариант 29. Плита лежит на двух одинаковых параллельных пружинах 1 и 2, коэффициенты жесткости которых c ₁ = c ₂ = с = 400 Н/см. В некоторый момент времени груз D (т = 200 кг) устанавливают на середину плиты и одновременно прикрепляют к недеформированной пружине 3, имеющей коэффициент жесткости c ₃ = 200 Н/см. В тот же момент времени (при недеформирован­ных пружинах) грузу сообщают скорость v _O = 0,6 м/с, направленную вниз.

Вариант 30. В некоторый момент времени груз D (т = 100 кг) устанавливают на плиту и отпускают (при недеформированной пру­жине) без начальной скорости. В этот же момент времени точка В (нижний конец пружины) начинает совершать движение по верти­кали согласно закону ξ = 0,5 sin 20 t (см) (ось ξ направлена вниз). Коэффициент жесткости пружины с = 2000 Н/см.

Примечание. Начало отсчета на оси ж соответствует среднему положению точ­ки В (ξ =0).

 

 

 

Рис. 35

 

Пример выполнения задания (рис. 35). Два груза D и Е массами т_D = 2 кг и т_Е = 3 кг лежат на гладкой плоскости, наклоненной под углом α = 30° к горизонту, опираясь на пружину, коэффициент жесткости которой с = 6 Н/см = 600 Н/м.

В некоторый момент времени груз Е убирают; одновременно (t = 0) нижний конец пружины В начинает совершать вдоль наклонной плоскости движение по закону ξ = 0,02 sin l0t (м). Найти урав­нение движения груза D.

Решение. Применим к решению за­дачи дифференциальные уравнения дви­жения точки. Совместим начало коор­динатной системы с положением покоя бpyсa D, соответствующим статической деформации пружины, при условии, что точка В занимает свое среднее положение (ξ =0).

Направим ось х вверх вдоль наклонной плоскости (в сторону движения груза D после снятия груза Е). Движение груза D определяется по следующему дифференциальному уравнению:

т_D х ” = ∑ Х _i ,

где ∑ Х _i — сумма проекций на ось х сил, действующих на груз D (Рис 35, a): _D — веса, — нормальной реакции наклонной плоскости, — силы упругости пружины.

Таким образом,

т_D х ” = - G _D sin α — Р.

Здесь

Р = с (х - f _{ст D} - ξ),

где f _{ст D} — статическая деформация пружины под действием груза D; ξ — перемещение точки прикрепления нижнего конца пружин происходящее по закону ξ = d sin pt (d = 0,02 м, р == 10 рад/с).

Статическую деформацию пружины f _стD найдем из уравнения соответствующего состоянию покоя груза D на наклонной плоскости (рис. 35, б):

∑ Х _i = О,

- G _D sin α + Р₀ = 0

т. е.

- G _D sin α + с / f _стD = О,

откуда

f _стD = G _D sin α / с.

Дифференциальное уравнение движения груза D примет вид

т_D х ” = - G _D sin α — с (х - f _стD - ξ),

или после преобразования

т_D х ” + сх = сd sin pt

Разделив все члены уравнения на т_D и введя обозначения

c/ т_D = k², cd/ т_D = h,

приведем дифференциальное уравнение к следующему виду:

х ” + k²х = h sin pt

Решение этого неоднородного уравнения складывается из обще­го решения х* соответствующего однородного уравнения и частного решения х* данного неоднородного уравнения:

х = х* + х**.

Общее решение однородного уравнения имеет вид

х* = C₁ cos kt + С₂ sin kt.

Частное решение неоднородного уравнения:

х ** = [ h / (k² - p²) ] sin pt.

Общий интеграл

х = C₁ cos kt + С₂ sin kt + [ h / (k² - p²) ] sin pt .

Для определения постоянных интегрирования С₁ и С₂ найдем, кроме того, уравнение для х’

х’ = - C₁ k sin kt + С₂ k cos kt + [hp/(k² — р²)] cos pt

и используем начальные условия задачи.

Рассматриваемое движение начинается в момент (t = 0), когда деформация пружины является статической деформацией под дей­ствием грузов D и Е. При принятом положении начала отсче­та О начальная координата груза D равна

x₀ = - f _{ст Е} , причем f _{ст Е} = G _Е sin α /с — статическая деформация пружины под действи­ем груза Е.

Таким образом, при t = 0

x₀ = - f _{ст Е} , х’ ₀ = 0.

Составим уравнения х = x(t) и х’ = х’ (t) для t = 0:

x₀ = C₁; х’ ₀ = С₂ k + hp /(k² — р²) ,

откуда

C₁ = - f _{ст Е} , С₂ = - hp / [ k(k² - p²) ].

Уравнение движения груза D имеет следующий вид:

х =- f _{ст Е} cos kt - ( hp / k(k² - p²)) sin kt + ( h / (k² - p²)) sin pt

Найдем числовые значения входящих в уравнение величин:

k = c/ т_D = 6 • 100 / 2 = 17,3 c^-1

f _{ст Е} = G _Е sin α /с = 3 • 9,81 • 0,5 / 6 •100 = 0,0245 м;

h / (k² - p²) = cd / т_D (k² - p²) = (600 • 0,02) / (2 • (300 – 100) ) = 0,03 м

 

hp / k(k² - p²) = 0,03 • 10 / 17,3 = 0,0173 м.

 

Следовательно, уравнение движения груза D

х = -2,45 cos 17,3 t - 1,73 sin 17,3 t + 3 sin 10 t (см).

 

 

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ № 8 (2.3.8.)