Осевые моменты инерции однородных пластинок

 

 

Тело Н вращается по инерции с угловой скоростью ω_τ

В некоторый момент времени t ₁ = 0 (t ₁ — новое начало отсчета

времени) точка К (самоходный механизм) начинает относительное

движение из точки О вдоль желоба АВ (в направлении к В) по

закону ОК = s = s(t ₁).

Определить угловую скорость ω_Т тела Н при t ₁ = Т. Тело Н рассматривать как однородную пластинку, имеющую форму, показанную на рис. Необходимые для решения данные приведены в табл. .

Пример выполнения задания.

Дано: m₁ = 200 кг; т₂ = 80 кг; М _z = 592t Н • м; ω₀ = -2 рад/с; АО = 0,8 м; R = 2,4 м; а =1,2 м; t = τ = 4 с; ОК = s = 0,5 t₁² м; t₁ = Т = 2 с.

 

Определить ω_τ и ω_Т, счи­тая тело Н однородной круглой пластинкой.

Решение. К решению задачи применим теорему об изменении кинетического мо­мента механической системы, выраженную уравнением

dL_z/dt = ∑ M^E_iz

где L_z — кинетический мо­мент системы, состоящей в данном случае из тела Н и точки К, относительно оси z;

∑ M^E_iz = M^E_z — главный момент внешних сил, приложенных к си­стеме, относительно оси z.

На систему за время от t = 0 до t = τ действуют силы: вес G ₁ тела Н, вес G ₂ точки К, пара сил с моментом М_г и реакции подпятника и подшипника (рис.).

Предположим, что вращение тела Н происходит против вращения часовой стрелки, если смотреть со стороны положительного напра­вления оси z; будем считать это направление положительным при определении знаков кинетических моментов.

Найдем выражение кинетического момента L_z системы, который складывается из кинетического момента тела J_zω и момента количе­ства движения точки К, находящейся в точке О тела Н и имеющей скорость v = ω • 0 ₁0:

m₂v • 0 ₁0 = т₂ω • 0 ₁0.

Таким образом,

L_z= J_zω + m₂ω• O₁O² = (J₂ + m₂• 0 ₁0²) ω.

Главный момент внешних сил равен вращающему моменту М_г, так как другие силы момента относительно оси г не создают.

Уравнение, выражающее теорему об изменении кинетического момента, примет вид

(d [(J_z + m₂• 0 ₁0²) ω]) / d t = М_г

 

где М_г = ct(c= 592 Н • м/с).

 

Разделим в уравнении (1) переменные и проинтегрируем левую правую части уравнения:

_{ωτ τ}

(J_z+ m₂• 0 ₁0²) ∫d ω= ∫ ct d t

^ω₀ ⁰

Тогда

(J_z+ m₂• 0 ₁0²) (ω_τ - ω₀) = cτ² / 2

(2)

Найдем числовые значения входящих в уравнение (2) величин.

Момент инерции тела Н относительно оси z найдем, используя теорему о зависимости между моментами инерции относительно па­раллельных осей:

J_z = J_zC +m₁a²,

где J_zC — момент инерции тела Н — однородной круглой пластинки относительно вертикальной оси, проходящей через центр масс тела параллельно оси г:

J_zC = m ₁R²/2.

Тогда

J_z = m ₁R²/2= m₁a ²,

т. е.

J_z =864 кгм².

Из чертежа (рис. б) находим

(0₁0²) = (ОС)² + (0₁C)², или (0₁0)² = 4 м²,

поэтому

J_z + т₂ • 0₁0 ² = 864 + 80 • 4 = 1184 кг м².

Таким образом, из уравнения (2)

1184 [ω_τ - (-2)] = 592 • 4²/2

имеем

ω_τ = 2 рад/с.

После прекращения действия момента М, тело Н вращается по инерции с угловой скоростью ω_τ; при этом к системе приложены силы G ₁ и G ₂,

реакции подпятника и подшипника (рис. б).

Те же внешние силы действуют на систему и в течение промежутка времени от t₁ = 0 до t₁ = Т при движении самоходной тележки.

Уравнение, выражающее теорему об изменении кинетического мо­мента системы, имеет для этого периода времени вид

dL _z /dt=0,

т. е.

L _z = const.

 

Определим значения кинетических моментов L _{z 0} при t₁ = 0 и L _{z Т} при t₁ = Т и приравняем эти значения.

Для t₁= 0

L_zO = (J_z + т₂ • 0₁0²) ω_τ = 2368 кгм² /с.

При t₁ > 0 скорость точки К складывается из относительной скорости v_r по отношению к телу Н и переносной скорости v_е в движении вместе с телом Н. Поэтому для t₁ = Т покажем два вектора количества движения точки:

т₂ v_r и т₂ v_е (рис. ).

Для t₁ = Т

L _{z Т} = J_z ω_τ + т₂ ω_Т(0₁К_Т)² + т₂ v_r • 0₁C.

Найдем

(0₁К_Т)²=(0₁C)²+(C К_Т)²,

где

С К_Т = О К_Т - ОС, О К_Т = S t₁ =T = 0,5Т² = 0,5 • 2² = 2 м,

т. е.

С К_Т = 2 - 1,6 = 0,4 м, (0₁ К_Т)² = 1,2² + 0,4² = 1,6 м².

Относительная скорость

v_r = ds/dt = t₁,

при t₁= Т = 2 с

v_r = 2 м/с.

Поэтому

L _{z Т} = 864 ω_Т + 80 ω_Т • 1,6 - 80 • 2 • 1,2 = 992 ω_Т - 192.

 

Приравнивая L _{z 0} и L _{z Т} :

2368 = 992 ω_Т - 192,

находим

ω_Т = 2,58 рад/с.

 

 

Используемые обозначения.

 

 

Примечание:

* Нумерация из рабочей программы.