СЛОЖНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТОЧКИ

Задание К.7. Определение абсолютной скорости и абсолютного ускорения точки

 

Точка М движется относительно тела D. По заданным уравнениям относительного движения точки М и движения тела D определить для момента времени t = t₁ абсолютную скорость и абсолютное ускорение точки М.

Схемы механизмов показаны на рис. 14 — 16, а необходимые для расчета данные приведены в табл. 7. для

Пример выполнения задания. Дано: схема механизма (рис. 17)

s _r = ОМ = 16 – 8 cos 3πt см; φ _e = 0,9t² - 9t³ рад; t ₁ = 2/9 с.

Решение. Будем считать, что в заданный момент времени плос­кость чертежа (рис. 17) совпадает с плоскостью треугольника D . Положение точки М на теле D определяется расстоянием s _r = ОМ

При t = 2/9 с

s _r = 16 - 8 cos(3π • 2/9) = 20,0 см.

Абсолютную скорость точки М найдем как геометрическую сумму относительной и переносной скоростей:

= _r + _e .

 

Табл. 7|

Но-мер вари-анта	Уравнение относительного движения точки М ОМ = s r = s r (t) , см	Уравнение движения тела	t 1 , с	R , см	a, см	Α, град	Дополнительные данные
φ e = φ e (t) , рад	хe = хe (t) , см
	18 sin (πt/4)	2t3 - t2		2/3	-		-
	20 sin πt	0,4 t2 + t		5/3		-	-
	6t3	2t + 0,5 t2			-		-
	10 sin (πt/6)	0,6 t2			-	-
	40 π cos (πt/6)	3t + 0,5 t3				-	-
			3t + 0,27 t3	10/3		-	-	φ r =0,15 π t3
	20 cos 2πt	0,5 t2		3/8	-
	6 (t + 0,5 t2)	t3 -5 t			-	-
	10 (1 + sin 2πt )	4t + 1,6 t2		1/8	-	-	-
	20 π cos (πt/4)	1,2t - t2		4/3			-
	25 sin (πt/3)	2 t2 – 0,5 t			-		-
	15 πt3 /8	5t - 4 t2					-
	120 πt2	8t2 – 3 t		1/3		-	-
	3 + 14 sin πt	4t - 2 t2		2/3	-	-
	5√2 (t2 + t)	0,2t3 + t			-
	20 sin πt	5t - 0,5 t2		1/3	-		-
	8t3 + 2t	0,5 t2			-	4√5	-
	10 t + t3	8t – t2			-	-
	6t + 4 t3	t + 3t2				-	-
	30 π cos (πt/6)	6t + t2				-	-
	25 π (t + t2)	2t - 4 t2		½		-	-
	10 π sin (πt/4)	4t - 0,2 t2		2/3		-	-
	6 π t2	-				-	-	φ = πt3 /6; 0 10 = 0 2А = 20 см
	75 π (0,1t + 0,3 t3)	2t - 0,3 t2				-	-
	15 sin (πt/3)	10t - 0,1 t2			-	-	-
	8 cos (πt/2)	- 2 πt2		3/2	-	-
	-	-	50 t2			-	-	φ r = 5 π t3 /48
	2,5 πt2	2t3 -5 t				-	-
	5 πt3/ 4	-				-	-	φ = π t3 /8; 0 10 = 0 2А = 40 см
	4 π t2	-	t3 + 4 t			-	-

 

 

Примечания. Для каждого варианта положение точки М на схеме соответ­ствует положительному значению s _r; в вариантах 5, 10, 12, 13, 20 —24, 28 —30 ОМ = s _r — дуга окружности; на схемах 5, 10, 12, 21, 24 ОМ — дуга, соответствую­щая меньшему центральному углу. Относительное движение точки М в вариантах б и 27 и движение тела D в вариантах 23 и 29 определяются уравнениями, приве­денными в последнем столбце табл. 7.

 

Рис. 14

 

Рис. 15

 

Рис. 16

 

 

Рис. 17

 

Рис. 18

 

Модуль относительной скорости

v _r = ׀׀,

где

= ds_r / dt = 24 π sin3 πt

При t=2/9 с = 65,2 см/с; v _r = 65,2 см/с.

Положительный знак у показывает, что вектор направлен в сторону возрастания s_r.

Модуль переносной скорости

v _e = Rω_e, (1)

где R — радиус окружности L, описываемой той точкой тела, с которой в данный момент совпадает точка М, r = s_r sin 30° = 10,0 см; ω_e - модуль угловой скорости тела:

ω_e = ׀ ׀ ; = d φ _e /dt = l,8t - 27t².

При t = 2/9 с

= -0,93 рад/с; ω_e = 0,93 рад/с.

Отрицательный знак у величины показывает, что вращение треугольника происходит вокруг оси Оz в сторону, обратную напра­влению отсчета угла φ. Поэтому векторнаправлен по оси Оz вниз (рис. 18, а).

Модуль переносной скорости, по формуле (1),

v _e = 9,3 см/с.

Вектор _e направлен по касательной к окружности L в сторону вращения тела. Так как _e и _r взаимно перпендикулярны, модуль абсолютной скорости точки М

v =

или

v = 65,9 см/с.

Абсолютное ускорение точки равно геометрической сумме относи­тельного, переносного и кориолисова ускорений:

= _r + _e + _c,

или в развернутом виде

= _{r r} + _{r n} + ^в_e + ^ц_e + _c,

Модуль относительного касательного ускорения

a_{r r} = | |, где

_{r r} = d ²s_r /dt² = 72π² cos 3πt

При t = 2/9 с

_{r r} = - 355 см/с²; a_{r r} = 355 см/с².

Отрицательный знак _{r r} показывает, что вектор _{r r} направлен в сторону отрицательных значений s_r Знаки _r и _{r r} различны; следовательно, относительное движение точки М замедленное.

Относительное нормальное ускорение

a_{r n} = v ² _r / ρ = О,

так как траектория относительного движения — прямая (р = ∞).

Модуль переносного вращательного ускорения

a ^в_e = Rε _e , (2)

где ε _e = | _e |, — модуль углового ускорения тела D:

_e = d ² φ _e /d t² = 1,8 -54 t.

При t = 2/9 с

_e = - 10,2 рад/с²; ε = 10,2 рад/с².

Знаки _e и одинаковы; следовательно, вращение треугольника I ускоренное, направления векторов и _e совпадают (рис. 18, а, б)

Согласно (2),

a ^в_e = 102 см/с².

Вектор ^в_e направлен в ту же сторону, что и _e .

Модуль переносного центростремительного ускорения

^ц_e = R ω_e ² или ^ц_e = 9 см/с².

Вектор ^ц_e направлен к центру окружности L.

Кориолисово ускорение

_c = 2 ω_e х _r.

Модуль кориолисова ускорения

а_с = 2 ω_e v _r sin (_e , _r),

где

sin(_e , _r) = sin 150° = 0,5.

С учетом найденных выше значений ω_e и v _r получаем

а_с = 61 см/с².

Вектор _c направлен согласно правилу векторного произведения (рис. 18, б).

Модуль абсолютного ускорения точки М находим способом про­екций:

a _x = a ^в_e + а_с; а _y = - ^ц_e — _{r r} cos 60°;

a _z = -_{r r} cos 30°; a =.

Результаты расчета сведены в табл.8.

 

Табл. 8

, рад / с

Скорость, см/с

e , рад / с2

Ускорение, см/с2

v e

r

V

цe

a вe

ar n

r r

ас

a x

а y

a z

a

-0,93

9,3

65,2

65,9

-10,2

-355

-186

 

 

ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ № 6 и № 7 (2.3.6; 2.3.7.)