Средняя и предельная ошибки выборки. Теоремы Чебышева - Ляпунова.

Ошибка выборочного наблюдения ‑ это разность между величиной параметра в генеральной совокупности и его величиной, вычисленной по результатам выборочного наблюдения. Для среднего значения ошибка будет определяться так:

,

где ;

Величина называется предельной ошибкой выборки.

Предельная ошибка выборки величина случайная. Исследованию закономерностей случайных ошибок выборки посвящены предельные теоремы закона больших чисел. Наиболее полно эти закономерности раскрыты в теоремах П. Л. Чебышева и А. М. Ляпунова.

Теорему П.Л. Чебышева применительно к рассматриваемому методу можно сформулировать следующим образом: при достаточно большом числе независимых наблюдений можно с вероятностью, близкой к единице (т.е. почти с достоверностью), утверждать, что отклонение выборочной средней от генеральной будет сколько угодно малым. В теореме П. Л. Чебышева доказано, что величина ошибки не должна превышать . В свою очередь, величина , выражающая среднее квадратическое отклонение выборочной средней от генеральной средней, зависит от колеблемости признака в генеральной совокупности и числа отобранных единиц . Эта зависимость выражается формулой:

,

где зависит также и от способа производства выборки.

Величину называют средней ошибкой выборки и обозначают .

В этом выражении - генеральная дисперсия, n- объем выборочной совокупности.

А.М. Ляпунов доказал, что распределение выборочных средних (а следовательно, и их отклонений от генеральной средней) при достаточно большом числе независимых наблюдений приближенно нормально при условии, что генеральная совокупность обладает конечной средней и ограниченной дисперсией.

Математически теорему Ляпунова можно записать так:

,

где ; = 3,14 (математическая постоянная);

- предельная ошибка выборки, которая дает возможность выяснить, в каких пределах находится величина генеральной средней.

Значения этого интеграла для различных значений коэффициента доверия t вычислены и приводятся в специальных математических таблицах. В частности, при

t = 1 F (t) = 0,683; t = 1,5 F (t) = 0,866;

t = 2 F (t) = 0,954; t = 2,5 F (t) = 0,988;

t = 3 F (t) = 0,997; t = 3,5 F (t) = 0,999.

Поскольку t указывает на вероятность расхождения , т.е. на вероятность того, на какую величину генеральная средняя будет отличаться от выборочной средней, то это может быть прочитано так: с вероятностью 0,683 можно утверждать, что разность между выборочной и генеральной средними не превышает одной величины средней ошибки выборки. Другими словами, в 68,3% случаев ошибка репрезентативности не выйдет за пределы ±. С вероятностью 0,954 можно утверждать, что ошибка репрезентативности не превышает ±(т. е. в 95% случаев). С вероятностью 0,997, т.е. довольно близкой к единице, можно ожидать, что разность между выборочной и генеральной средней не превзойдет трехкратной средней ошибки выборки и т.д.

Логически связь здесь выглядит довольно ясно: чем больше пределы, в которых допускается возможная ошибка, тем с большей вероятностью судят о ее величине.

Для различных способов отбора предельная ошибка рассчитывается при проведении выборки по-разному.

Зная выборочную среднюю величину признака и предельную ошибку выборки , можно определить границы (пределы), в которых заключена генеральная средняя:

или

Теорема Бернулли была доказана раньше теоремы Чебышева - Ляпунова, но является лишь частным случаем последней. Она рассматривает ошибку выборки для альтернативного признака, т.е. признака, у которого возможны только два исхода: наличие признака (1) и отсутствие его (0).

Теорема Бернулли утверждает, что при достаточно большом объеме выборки вероятность расхождения между долей признака в выборочной совокупности (w) и долей признака в генеральной совокупности (р) будет стремиться к единице.

Из теоремы Бернулли следует, что величина расхождения между долей признака в выборочной совокупности (частостью) и долей этого признака в генеральной совокупности зависит, так же как и в расхождениях средних, от средней ошибки выборки.

Поскольку, а среднее квадратическое отклонение в генеральной совокупности для альтернативного признака равно , где , то средняя ошибка выборки для альтернативного признака будет найдена по формуле:

.

Однако доля признака в выборочной совокупности нам неизвестна, мы вынуждены заменить ее через долю того же признака в генеральной совокупности, т.е. принять , а дисперсию альтернативного признака принять за , тогда средняя ошибка выборки выразится формулой:

.

Предельная величина разности между частостью и долей называется предельной ошибкой выборки. О величине предельной ошибки можно судить с некоторой вероятностью, которая зависит от множителя t, поскольку .

Зная выборочную долю признака (w) и предельную ошибку выборки , можно определить границы, в которых заключена генеральная доля (р):

.

Уточнение формулы средней ошибки выборки. Если отбор единиц из генеральной совокупности произведен бесповторным способом, то в формулы средней ошибки выборки вносится поправка:

,

где - объем выборочной совокупности;

N - объем генеральной совокупности.

В таблице 5.2 приведены формулы расчета ошибок простой случайной выборки.

 

Таблица 5.2 – Формулы ошибок простой случайной выборки

Наименование ошибки	Способ отбора
повторный	бесповторный
Средняя ошибка :
для средней
для доли
Предельная ошибка :
для средней
для доли