Реферат Курсовая Конспект
РІВНЯНЬ РЕГРЕСІЙ ЗА ДОПОМОГОЮ МНК. - раздел Образование, НАВЧАЛЬНО-МЕТОДИЧНИЙ ПОСІБНИК I. ŷ=A+Bx+Cx2. Пара...
|
I. ŷ=a+bx+cx2.
Параметри a, b, c знаходяться із умови
S=∑(y- ŷ)2 →min
В нашому випадку
S=∑(y- a-bx-cx2)2 →min
Записавши умови існування мінімуму
Одержимо систему лінійних рівнянь відносно a, b, c .
Можна доказати, що визначник системи відмінний від нуля. Значить
система має єдиний розв,язок.
II. ŷ=abx.
Прологарифмувавши,одержимо:
lnŷ=lna+xlnb
Позначивши A=lna,B=lnb,Y=lny,Ŷ=lnŷ,одержимо лінійне відповідно А та В рівняння
Ŷ=А+Вх
Застосувавши МНК,одержимо:
Знайшовши із ситеми А та В , обчислимо
a=eA, b=eB.
III.ŷ=ea+bx.
Прологарифмувавши,одержимо
lnŷ=а+вх.
Застосувавши МНК ,одержимо систему:
IV. ŷ=axb
Після логарифмування матимемо:
lnŷ =lna+blnx
Позначивши A=lna, одержимо лінійне відповідно А та b рівняння:
lnŷ =А+blnx
Застосувавши МНК ,одержимо систему:
Одержавши із системи А та b , знайдемо а :
a= eA.
Приклади розв,язання задач по темі «Парна регресія»
Задана статистична залежність прибутку від кількості сировини
сировина х (кількість) | ||||||
прибуток у | 330,57 | 347,5 |
1. Найти рівняня регресій
a) ŷ=a+bx d) ŷ=ea+bx
b) ŷ=a+bx+cx2e) ŷ=axb
c) ŷ=abx
2. Для кожного рівняння побудувати графік,оцінити тісноту та якість зв,язку по коефіцієнтам детермінації R2 та середнім похибкам апроксимацій Ā .
3.Визначити «найкращу» регресію та зробити прогноз для х=хк +∆х =140+21=161.
a) ŷ1=a+bx
Рівняння регресії:
Приведемо графіки заданої статистичної та найденої теоретичної
залежностей:
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Оцінимо якість зв,язку : = - 2 = - 2 = 409078,775 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Таким чином одержимо : | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
=8942,5-(87,5) 2 = 1286,25 = 35,864 =68179,796 – (246,017) 2 = 7655,53 = 87,496 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
= 2,399 = 0,983 2 = 0,967
Таким чином, майже 97% зміни у визвано зміною х.
Для визначення середньої похибки апроксимації зробимо таблицю :
Середня похибка апроксимації: | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Ā= 0,3773*100 % =6,29 % , Що не перевищує допустиму ( 10 % ). b) ŷ2=a+bx+cx2 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Розв,язавши систему,одержимо
a = -50,579 ; b = 4,780; c = - 0,0136 .
Таким чином
ŷ2= - 50,579+4,78х -0,014х 2
Приведемо графіки заданої статистичної та найденої теоретичної
залежностей:
| |||||||||
Оцінимо якість зв,язку та визначемо середню похибку апроксимації .
Для цього зробимо таблицю :
x | ||||||||||||
y | 330,57 | 347,5 | ||||||||||
ŷ | 100,1 | 174,4 | 236,8 | 287,2 | 325,6 | 351,9 | ||||||
(y- ŷ) 2 | 24,395 | 41,563 | 33,974 | 46,156 | 24,917 | 19,789 | 190,794 | |||||
(y- ) 2 | 19884,3 | 6085,825 | 225,351 | 2302,88 | 7150,11 | 10299,9 | 45948,3 | |||||
| 0,0467 | 0,0381 | 0,0251 | 0,0232 | 0,0150 | 0,0127 | 0,1608 | |||||
∑(y-ŷ)2
R2 = 1- ——— . = 1- =0,9956
∑(y-)2
у – ŷ |
у |
Ā= ∑ 100 % = 0,1608*100 % =2,68 %
c) ŷ=abx
де A=lna,B= lnb.
Розв,язавши систему,одержимо
A= 4,4431, B= 0,0113.
Після потенціювання матимемо
a=eA = 85, 0382 b=eB. = 1,0113
Таким чином
Ŷ3= 85, 0382 * 1,0113x
Графіки заданої статистичної та найденої теоретичної
залежностей:
| |||||||||
Оцінимо якість зв,язку та визначемо середню похибку апроксимації .
Для цього зробимо таблицю :
x | ||||||||||||
y | 330,57 | 347,5 | ||||||||||
Ŷ | 126,013 | 159,549 | 202,011 | 255,773 | 323,843 | 410,029 | ||||||
(y- ŷ) 2 | 441,546 | 71,419 | 840,362 | 1461,30 | 45,252 | 3909,88 | 6769,76 | |||||
(y- ) 2 | 19884,3 | 6085,825 | 225,351 | 2302,88 | 7150,11 | 10299,9 | 45948,3 | |||||
| 0,200 | 0,050 | 0,125 | 0,130 | 0,020 | 0,180 | 0,705 | |||||
Одержимо :
∑(y-ŷ)2
R2 = 1- ——— . = 1- =0,85267
∑(y-)2
у – ŷ |
у |
Ā= ∑ 100 % = 0,705*100 % =11,75 %
Таким чином, похибка апроксимації більша 10 % .
d) ŷ4=ea+bx
Одержимо :
a = 4,4431 , b = 0,0112.
Рівняння регресії буде :
ŷ=e4,4431 +0,0112 х
Графіки заданої статистичної та найденої теоретичної
залежностей:
| ||||||||
Оцінимо якість зв,язку та визначемо середню похибку апроксимації .
Для цього зробимо таблицю :
x | ||||||||||||
y | 330,57 | 347,5 | ||||||||||
Ŷ | 125,851 | 159,222 | 199,198 | 254,856 | 322,435 | 407,932 | ||||||
(y- ŷ) 2 | 434,773 | 77,0515 | 1011,36 | 1524,43 | 66,1864 | 3625,00 | 6765,81 | |||||
(y- ) 2 | 19884,3 | 6085,825 | 225,351 | 2302,88 | 7150,11 | 10299,9 | 45948,3 | |||||
| 0,1986 | 0,0522 | 0,1377 | 0,1331 | 0,0246 | 0,1739 | 0,9093 | |||||
Одержимо :
∑(y-ŷ)2
R2 = 1- ——— . = 1- = 0,853
∑(y-)2
у – ŷ |
у |
Ā= ∑ 100 % = 0,9093*100 % =15,16 %
Таким чином, похибка апроксимації більша 10 % .
e) ŷ5 =axb
де A=lna ;
Розв,язавши систему,одержимо
A= 1, 5146; b= 0,8947.
Після потенціювання матимемо
a=eA = 4,5458
Таким чином
Ŷ= 4,5458*x0,8947
Графіки заданої статистичної та найденої теоретичної
залежностей:
| ||||||||||||
Оцінимо якість зв,язку та визначемо середню похибку апроксимації .
Для цього зробимо таблицю :
x | ||||||||||||
y | 330,57 | 347,5 | ||||||||||
Ŷ | 109,418 | 166,615 | 221,541 | 274,891 | 327,041 | 378,226 | ||||||
(y- ŷ) 2 | 19,5170 | 1,9182 | 89,4784 | 365,158 | 12,4538 | 944,069 | 1432,59 | |||||
(y- ) 2 | 19884,3 | 6085,825 | 225,351 | 2302,88 | 7150,11 | 10299,9 | 45948,3 | |||||
| 0,042 | 0,008 | 0,041 | 0,065 | 0,011 | 0,088 | 0,255 | |||||
Одержимо :
∑(y-ŷ)2
R2 = 1- ——— . = 1- = 0,9688
∑(y-)2
у – ŷ |
у |
Ā= ∑ 100 % = 0,255*100 % =4,25 %
Похибка апроксимації менше 10 % .
Порівнюючи одержані результати , приходимо до висновку,що квадратична регресія
Ŷ=a+bx+cx2 = - 50,579 + 4,7804 х – 0,0136 х2
найбільш якісно характеризує задану статистичну залежність .
– Конец работы –
Эта тема принадлежит разделу:
УКРАЇНИ... ЗАПОРІЗЬКИЙ ІНСТИТУТ ЕКОНОМІКИ ТА ІНФОРМАЦІЙНИХ ТЕХНОЛОГІЙ НАВЧАЛЬНО МЕТОДИЧНИЙ ПОСІБНИК дисципліни ЕКОНОМетрика для студентів денної форми навчання напрямів...
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: РІВНЯНЬ РЕГРЕСІЙ ЗА ДОПОМОГОЮ МНК.
Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
Твитнуть |
Новости и инфо для студентов