На елементах електричного кола

Резистор (ідеальний активний опір)	Котушка індуктивності (ідеальна індуктивність)	Конденсатор (ідеальна ємність)

Аналіз перехідних процесів проводять шляхом розв’язання диференціальних рівнянь, складених для досліджуваного електричного кола на основі законів Кірхгофа або методу контурних струмів.

Рис. 1

Розглянемо заряд конденсатора для кола зображеного на рис.1,а. Електричний стан схеми після комутації (рис.1,б). описується диференційним рівнянням, записаним на підставі II закону Кірхгофа для миттєвих значень струмів і напруг

(1.1)

Підставивши у рівняння (1.1) вираз для струму , отримаємо диференційне рівняння другого порядку:

(1.2)

З математики відомо, що повний розв’язок лінійного диференціального рівняння з постійними коефіцієнтами знаходять у вигляді суми часткового розв’язку неоднорідного й загального розв’язку відповідного однорідного рівняння.

Оскільки в правій частині диференціальних рівнянь, що описують електричний стан кіл, зазвичай перебуває напруга (або струм) джерела (зовнішня змушуюча сила), то частковий розв’язок знаходять із аналізу усталеного режиму після комутації. Тому цей режим називають вимушеним і відповідно струми або напруги, знайдені в даному режимі, називають вимушеними. Розрахунок вимушеного режиму, коли зовнішні джерела виробляють постійну або синусоїдальну е.р.с. (струм), не представляє труднощів і може бути здійснений будь-яким відомим методом.

Однорідне диференційне рівняння одержують із виразу (1.2) шляхом звільнення його від правої частини. Фізично це означає, що досліджуване коло звільняється від зовнішньої примушуючої сили. Струми або напруги, знайдені при розв’язанні однорідного диференціального рівняння, називаються вільними. Вільні струми й напруги є результатом дії внутрішніх джерел схеми: е.р.с. самоіндукції, що виникають у котушках, і напруг на конденсаторах, коли й ті, й інші не врівноважені зовнішніми джерелами.

Схематично аналіз перехідного процесу може бути представлений як результат накладання двох режимів: вимушеного й вільного. Схема на рис. 1,б повинна бути розрахована в усталеному режимі, а схема на рис. 1,в — у режимі, коли коло звільнене від зовнішніх джерел. Дійсні (перехідний) струми та напруги відповідно до принципу суперпозиції дорівнюють сумі відповідних вимушеної і вільної складових:

та .

Відзначимо, що фізично існують тільки перехідні струми й напруги, а розкладання їх на вільні й вимушені складові є математичним прийомом, що дозволяє спростити розрахунок перехідних процесів у лінійних колах. Нагадаємо, що принцип суперпозиції можна застосовувати лише до лінійних кіл.

Розглянемо способи розрахунку вільного режиму, якому відповідає коло зображене на рис. 1.1, в.

Перший спосіб полягає у безпосередньому розв’язанні однорідного диференціального рівняння, отриманого з виразу (1.2):

(1.3)

З математичного аналізу відомо, що для розв’язання однорідного диференційного рівняння (1.3), необхідно скласти його характеристичне рівняння, яке можна отримати шляхом заміни на ,а на . Тоді для рівняння (1.3) отримаємо його характеристичне рівняння:

(1.4)

Підставивши у рівняння (1.4) параметри кола R, L і C в основних одиницях системи СІ, отримаємо корені, які визначають загальний розв’язок однорідного диференційного рівняння.

Складання характеристичного рівняння є початком розрахунку вільного режиму.

Другий спосіб. В електротехніці складання характеристичного рівняння кола та пошук його коренів зручно здійснювати методом “вхідного опору”, який дозволяє уникнути запис диференціального рівняння. Для цього післякомутаційну схему представляємо у вигляді пасивного двополюсника (схема вільного режиму), при цьому розрив робимо у будь-якій вітці кола (бажано біля ємності), і знаходимо вхідний опір відносно точок розриву у комплексній формі . В отриманому виразі заміняємо на . Надалі, прирівнявши весь вираз до нуля , отримуємо характеристичне рівняння:

Отримане рівняння збігається із співвідношенням (1.4).

Визначення коренів характеристичного рівняння.

З математики відомо, що загальний розв’язок однорідного диференціального рівняння, а отже і вираз вільної складової х_віл, визначається видом кореню характеристичного рівняння (див. табл. 1.2).

Таблиця 1.2.