Послідовність виконання завдання

По-перше, треба побудувати епюри внутрішніх силових факторів при згинанні для усіх балок свого варіанту завдання.

Умова міцності за нормальними напруженнями повинна виконуватись у найбільш небезпечній точці небезпечного перерізу

 

(4.1)

або для перерізів, симетричних відносно нейтральної лінії

(4.2)

Небезпечним вважається переріз, де на епюрі M_X діє максимальний за модулем внутрішній момент згину M_Xmax.

Небезпечна точка у перерізі має координату Y_max і розташовується на найбільшій відстані від нейтральної лінії – осі X.

Допустиме напруження визначається за формулою:

 

(4.3)

Необхідний момент опору знаходиться з умови міцності

(4.4)

Підбір необхідних розмірів перерізів балки виконується таким чином:

q для двотавра та швелера номер профілю визначається з порівняння знайденого моменту опору із даними сортаменту /ДСТ 8239-72, СТ СЕВ 2209-80, ДСТ 8240-72/.

q для прямокутника осьовий момент опору визначається за розмірами сторін h та b як:

,

де h – бік прямокутника, перпендикулярний осі X.

Оскільки

, / =2; 0,5 /,

то і звідки . Площа перерізу ;

q для кола , тоді , а площа перерізу .

q для кільця , де ; d, D – внутрішній і зовнішній діаметри кільця відповідно. Площа кільця .

 

Визначення запасу міцності складного перерізу:

1. По параметру L/табл.2/ та сортаменту стандартних профілів встановити характерні розміри перерізу і зобразити його, додержуючись масштабу.

2. Розбити переріз на такі прості складові частини, центр ваги яких і осьові моменти інерції відомі чи легко знаходяться.

3. Для кожної складової частини перерізу визначити і накреслити власні головні центральні вісі X_i, Y_i.

4. Обчислити координати центру ваги складного перерізу:

 

, ,(4.5)

 

де S_Yi,S_Xi - статичні моменти i-ої складової частини перерізу відносно будь-якої фіксованої системи осей - координати центрів ваги i-ої складової частини перерізу у вибраній системі координат; A_i- площа i-ої складової частини перерізу.

Підсумування у (4.5) проводиться за кількістю N складових частин перерізу.

5. Накреслити головні центральні осі X, Y складного перерізу.

6. Визначити осьовий момент інерції I_X поданого перерізу, враховуючи наступне:

якщо головні центральні осі X_i, Y_i складової частини перерізу паралельні головним центральним осям X, Y, то

, (4.6)

де a_i-відстань між осями X та X_i;

I_Xi- момент інерції складової частини перерізу відносно власної осі X_i; момент інерції складної фігури відносно головної центральної осі дорівнює сумі моментів інерції її складових частин відносно тієї самої осі:

(4.7)

Таким чином,

 

(4.8)

7. Максимальні напруження знайти за формулою (4.1).

8. Запас міцності складного перерізу підрахувати згідно (4.9).

(4.9)

Графіки розподілу нормальних і дотичних напружень достатньо збудувати тільки для балки двотаврового перерізу. Епюри нормальних напружень визначити у перерізі, де діє M_Xmax , а розподіл дотичних напружень знайти для перерізу з максимальною за модулем поперечною силою Q_Ymax. На епюрі зазначити зони розтягу та стиску, а на епюрі - напрям вектора дотичних напружень. Підрахунок дотичних напружень провести за формулою Д.І.Журавського (4.10) для характерних точок перерізу:

- найбільш віддалених від нейтральної осі;

- що лежать на стику полки двотавра зі стінкою;

- що лежать на нейтральній осі перерізу.

 

, (4.10)

тут Q_Ymax - максимальне за модулем внутрішнє зусилля у балці;

S_X^відс - статичний момент відсіченої частини площі перерізу на тому рівні, де визначається дотичне напруження відносно нейтральної осі X;

I_X - осьовий момент інерції перерізу;

b - ширина площі перерізу на рівні, де визначається дотичне напруження.

 

9. Переміщення (прогин) в балках знаходяться згідно з енергетичним методом за допомогою інтеграла Мора:

, (4.11)

який можна обчислити за правилом Верещагіна.

(4.12)

У співвідношенні (4.12)

M_X- епюра згинального моменту від зовнішніх сил;

- епюра “фіктивного” згинального моменту від одиничної сили, прикладеної в перерізі, де знаходиться прогин.

Слід прийняти до уваги, що вираз (4.12) можна підрахувати графоаналітичним способом згідно з формулами, наведеними на рис.4.1 , при цьому загальні епюри згинальних моментів треба розбити на такі частини, в межах яких зазначені функції залишаються незмінними.

10. Вибір припустимого значення зовнішньої сили виконати згідно з умовами міцності для складного перерізу з урахуванням різних властивостей чавуну на розтяг та стискання.

Рис. 4.1

 

 

Додаток 1

Зразок виконання завдання   Вихідні дані: nT = 1.5, L = 10 см Матеріал балок №1-4– сталь = 300 МПа E = 2·105 МПа Матеріал балки №5- чавун КЧ 30 – 6 E=1.55 105 МПа

 

Розрахунок на міцність балки 4:

1. Визначення реакцій опор

Перевірка: .

2. Визначення поперечних зусиль Q_Y та моментів згину M_X

 

 

3. Підбір перерізів з умови міцності

Приймаємо Ι №16:

.

 

[ №16а:

 

 

 

А,см2	20.2					19.5
Аi/АI		2.8	4.5	3.9		0.9

 

Продовження додатку 1

4. Напруження у двотавру

5. Визначення коефіцієнта запасу міцності n_T⁰ складного перерізу

Витяг з сортаменту для швелера №10 дає:

 

Тоді для складного перерізу маємо:   ;

 

 

Продовження додатку 1

 

6. Розрахунок допустимої зовнішньої сили для балки складного перерізу (див. п. 5)

 

Матеріал – чавун КЧ 30 – 6,

Визначення реакції опор

 

Перевірка

 

Продовження додатку 1

Визначення Q_Y та M_X

 

1)

2)

 

3)

Для складного перерізу (дивись п.5) верхні волокна працюють на розтяг, а нижні на стиск. З умови міцності, беручи до уваги те, що M_Xmax= -5.04q,

а)

б)

беремо менше значення: [q]=3249.6 Н/м » 3.25 кН/м, тоді

Треба зазначити, що цей переріз розташовано раціонально, бо у верхніх волокнах, працюючих на розтягування, абсолютні значення напружень менші, ніж у нижніх, тоді як [s]⁺<[s]^–.

 

Продовження додатку 1

7. Визначимо переміщення балки №4 в місці прикладання сили F₃. Для цього у цій точці прикладемо силу і побудуємо епюру .

 

Реакції опор:

 

 

Епюра будується за такими ж правилами, що і M_X. Епюру М_Х накреслимо ще раз з урахуванням значення у центрі другій ділянки М_Х(z₂=2)=0.

Визначаємо переміщення графічним обчисленням інтеграла Мора:

Для сталевої балки двотаврового перерізу (I_X = 873 см⁴)

Задача на визначення кута повороту будь-якого перерізу розв¢язується аналогічно, шляхом прикладання одиничного моменту .

 

 

Додаток 2– Балки двотаврові	Wy, см2	6,49	8,72	11,5	14,5	18,4	22,8	23,1	28,2	28,6	34,3	34,5	41,6
Jy, см2	17,9	27,9	41,9	58,6	82,6
Sx, см2	23,0	33,7	46,8	62,3	81,4	89,8
Wx, см2	39,7	58,4	81,7
Jx, см2
Площа перерізу F, см2	12,0	14,7	17,4	20,2	23,4	25,4	26,8	28,9	30,6	32,8	34,8	37,5
t	7,2	7,3	7,5	7,8	8,1	8,3	8,4	8,6	8,7	8,9	9,5	9,8
d	4,5	4,8	4,9	5,0	5,1	5,1	5,2	5,2	5,4	5,4	5,6	5,6
b
h
Номер профиля						18а		20а		22а		24а

 

Продовження додатку 2 – Балки двотаврові	Wy, см2	41,6	41,5	50,0	49,9	60,1	59,9	71,1	86,1
Jy, см2
Sx, см2
Wx, см2
Jx, см2
Площа перерізу F, см2	37,5	40,2	43,2	46,5	49,9	53,8	61,9	72,6	84,7
t	9,8	9,8	10,2	10,2	10,7	11,2	12,3	13,0	14,2	15,2	16,5	17,8
d	5,6	6,0	6,0	6,5	6,5	7,0	7,5	8,3
b
h
Номер профиля	24a		27а		30а

 

 

	Z0 см	1,16	1,24	1,31	1,44	1,54	1,67	1,87	1,80	2,00	1,94	2,13
Продовження додатку 2 – Швелери	Wy, см3	2,75	3,68	4,75	6,46	8,52	11,0	13,3	13,8	16,4	17,0	20,0
Jy, см4	5,61	8,7	12,8	20,4	31,2	45,4	57,5	63,6	78,8
Sx, см3	5,59	9,0	13,3	20,4	29,6	40,8	45,1	54,1	59,4	69,8	76,1
Wx, см3	9,1	15,0	22,4	34,8	50,6	70,2	77,8	93,4
Jx, см4	22,8	48,6	89,4
Площа , см2	6,16	7,51	8,98	10,9	13,3	15,6	17,0	18,1	19,5	20,7	22,2
t	7,0	7,2	7,4	7,6	7,8	8,1	8,7	8,4	9,0	8,7	9,3
d	4,4	4,4	4,5	4,5	4,8	4,9	4,9	5,0	5,0	5,1	5,1
b
h
Номер профіля		6,5					14а		16а		18а

 

 

	Z0 см2	2,07	2,28	2,21	2,46	2,42	2,67	2,47	2,52	2,59	2,68	2,75
Продовження додатку 2 – Швелери	Wy, см2	20,5	24,2	25,1	30,0	31,6	37,2	37,3	43,6	51,8	61,7	73,4
Jy, см2
Sx, см2	87,8	95,9							13,1	14,2	15,7
Wx, см2
Jx, См2
Площа А, см2	23,4	25,2	26,7	28,8	30,6	32,9	35,2	40,5	46,5	53,4	61,5
t	9,0	9,7	9,5	10,2	10,0	10,7	10,5	11,0	11,7	12,6	13,5
d	5,2	5,2	5,4	5,4	5,6	5,6	6,0	6,5	7,0	7,5	8,0
b
h
Номер профіля		20а		22а		24а

 

 

Рис. 4.2 – Балка двотаврова Рис. 4.3 - Швелер