ПРИМЕНЕНИЕ СИСТЕМ ИСКУССТВЕННОГО ИНТЕЛЛЕКТА ДЛЯ ОПТИМИЗАЦИИ В МЕХАНООБРАБОТКЕ

 

3.1. Оптимизация в технике: общие вопросы

 

Технологическая система должна получать определенную оценку с помощью некоторых показателей качества, представляющих собой количественную характеристику системы. Эти показатели качества исследуемой системы (например, станка) должны находиться в тесной взаимосвязи с решаемыми системой задачами, а также средствами и способами их достижения и ее свойствами. Только в этом случае возможно целенаправленно управлять, например, настройкой станка по выбранным показателям качества. Очевидно, что в рассматриваемой нами предметной области эти показатели качества непосредственно связаны с процессом формообразования, реализуемым в соответствии с требованиями к готовой детали и фактическим состоянием технологической системы в процессе эксплуатации.

Состояние технологической системы характеризуется вектором состояния R^mÎ М и соответствует желаемым требованиям к готовой детали RⁿÎ N в другой области функционального пространства состояний, причем, эти области различны и могут не пересекаться. К этому следует добавить, что одна и та же технологическая система может быть представлена различными векторами и областями определения, например, статическое и динамическое состояние; динамическое состояние, отображенное во временную или частотную Фурье - область. Размерности векторов состояния системы и их параметры могут отличаться друг от друга для каждой операции из всего множества реализуемой гибкой технологии. При этом оценка качества процессов управления должна выполняться с учетом требований, предъявляемых к реализациям объектов управления, связанных с их структурной перестройкой, и стратегии оптимизации. Однако и в этом случае оценка может получиться субъективной для каждого станка и каждой реализации гибкой технологии. Таким образом, априорная реализация оптимизирующих воздействий может быть неточной. С учетом вышеизложенного рассмотрим критерии, принципы и примеры оптимизации в смежных задачах управления состоянием различных объектов [1, 2, 5, 6, 35].

Представленные в литературе критерии, характеризующие качество управления, дают возможность оценить систему на стадии проектирования по таким важным показателям, как качество работы, допустимые изменения параметров системы (например, с точки зрения запаса по фазе и амплитуде); расход энергии; быстродействие; условия достижения конечного состояния (например, прибытие объекта в некоторую область к моменту времени Т_к) и другим показателям.

В [45] отмечено, что число показателей качества J₁(t),…,J_l(t) обычно определяется требованиями, предъявляемыми к системе. Увеличение этого числа усложняет решение задач исследования и управления для рассматриваемых систем. Чтобы устранить эти трудности, в ряде случаев вводят обобщенный показатель качества систем J, являющийся функцией частных показателей J₁(t),…,J_r(t) и переходных функций состояний j_i(t₀, t, z, x) (i=1,…,N), где z - внутреннее состояние системы, X - входное воздействие. Характеристики систем являются функцией её структуры, представленной некоторым оператором W, значениями параметров (вектора параметров К) и внешних воздействий X(t). Таким образом, можно судить о качестве исследуемой системы на основании соотношения J=J{J₁,…,J_l, Y₁,…,Y_n, X₁,…X_m, t₁, t_o}, где X – множество входных координат системы, Y – множество выходных координат системы. Знание такой общей взаимосвязи между показателем качества J и процессом изменения состояния системы позволяет решать задачи как анализа, так и синтеза систем.

Числовое значение обобщенного показателя J, которое соответствует определенному состоянию системы, и является критерием системы. В общем случае при использовании временной области для различных операторов структуры системы значениям действительных чисел критерия соответствуют некоторые отображения множества процессов функционирования системы во времени. Данная функциональная связь позволяет трактовать критерий как функционал.

Все множество критериев можно разделить на две группы: регулярные и статистические. Системы, в которых все процессы являются детерминированными, исследуются с помощью регулярных критериев [45].

К регулярным, например, относятся критерии J, априорно выраженные через конструктивные параметры системы K без учета стохастической составляющей. Тогда J представляет J=J(K).

В качестве критерия оптимальности могут быть приняты различные технические и экономические показатели: производительность, качество продукции, надежность затраты сырья или энергии. В зависимости от решаемой задачи необходимо достижения минимума либо максимума Q, например

	(3.1)
где -	выходные координаты;
-	входные координаты;
-	управляющие воздействия;
-	возмущающие воздействия.

Оптимальное управление системой определяется достижением максимального (минимального) значения функционала.

Если на систему воздействует случайный процесс X(t), то векторы состояния Z и, следовательно, выходных координат Y представляют собой случайные процессы. Тогда критерий будет случайной величиной. Целесообразно ввести статистический критерий, являющийся неслучайной характеристикой случайного процесса. За наиболее общую форму статистического критерия может быть принято условное математическое ожидание [45, 58]

	(3.2)
где Q -	функционал векторов c = c(X, Y, Z) и K;
f -	закон распределения случайного процесса;
Х -	входные координаты;
Y -	выходные координаты;
Z-	внутреннее состояние системы;
K-	конструктивные параметры системы.

Применительно к классу динамических систем управления существующие задачи анализа усложняются и обычно формулируются как задача определения статистического критерия системы, задаваемого в интегральной форме:

	(3.3)
где Ф -	критериальная функция, определяемая конкретным видом критерия и характеризующая реакцию исследуемой системы;
l1,…,lm -	система случайных величин;
f -	плотность распределения системы m случайных величин l1,…,lm.

При синтезе параметрически оптимизируемых систем для оценки качества управления чаще всего, как отмечено в работе [24], удобно использовать какой-либо единственный показатель. В частности, для непрерывных систем таким показателем может служить интегральный критерий качества (для дискретных систем вместо интеграла берется сумма). Следует отметить, что сумма квадратов ошибок управления предпочтительнее с математической точки зрения, кроме того, он может быть интерпретирован как средняя мощность и, в связи с этим, использоваться в других методах проектирования регуляторов.

Для параметрической оптимизации используются квадратичные критерии качества, представленные в следующем виде [24]

	(3.4)
где l(k)=W(k)-Y(k) -	ошибка управления;
-	«отклонение управляемой переменной» от установившегося значения для стохастических возмущений;
r -	весовой коэффициент при управляющей переменной.

В этом квадратичном критерии качества соотношение среднего квадрата ошибки управления

(3.5)

и усредненного квадратичного отклонения управляющей переменной или средней входной мощности

(3.6)

определяется выбором весового коэффициента r.

При оптимизации параметров регулятора параметры должны выбираться, так, чтобы обеспечить минимальное значение , т.е. выполнение условия .

Для сравнения качества управления используются следующие достаточно простые показатели:

- среднеквадратичная ошибка управления

;

(3.7)

- среднеквадратичное изменение управляющей переменной (затраты на управление)

;

(3.8)

- перерегулирование

Ym=Ymax(K)-W(K);

(3.9)

- время установления выходной координаты;

- начальное значение управляющей переменной U(0) при ступенчатом изменении сигнала W(0).

Весьма распространенный способ задания критерия оптимальности основан на использовании функций штрафов, являющихся аналогами «расстояния» между элементами в некотором метрическом пространстве [27].

Рис. 3.1.

В момент времени t состояние системы (рис.3.1) характеризуется набором векторов X(t), Y(t), U(t), штрафуется величиной C(X,Y,U), где C(X,Y,U) – заданная неотрицательная функция своих аргументов. Если C(X,Y,U) имеет смысл удельных штрафов в единицу времени, то одним из возможных критериев оценки качества функционирования системы на отрезке времени [O, T] является интеграл вида

.

(3.10)

В силу случайного характера процессов X(t), Y(t) при любом фиксированном законе управления U(t) , 0£ t £T интеграл (3.10) является случайной величиной. Ее важной характеристикой является среднее значение, определяющее величину средних «затрат» или «потерь» на управление при многократном применении алгоритма управления. Эта величина

(3.11)

может быть названа интегральным критерием оптимальности.

Часто рассматриваются задачи, в которых характер переходных процессов при 0£ t £T несущественен, а важно лишь состояние системы в конечный момент времени T (терминальное управление). В этом случае, используя соответствующую функцию штрафа j[X(t), Y(t)], можно получить терминальный критерий оптимальности

.

(3.12)

Расширением фазового вектора X интегральный критерий (3.11) может быть представлен в форме (3.12), и, таким образом, математически критерий (3.11) является частным случаем (3.12). Тем не менее, эти критерии в дальнейшем будут различаться, поскольку они имеют существенно различную техническую интерпретацию.

Помимо (3.11) и (3.12), часто используется критерий, являющейся их комбинацией:

,

(3.13)

зависящей как от переходного процесса, так и от конечного состояния системы.

Если определяющим фактором является наихудшее (с точки зрения выбранной функции штрафа) состояние управляемой системы на фиксированном временном интервале [0, Т], то вместо интеграла (3.10) следует взять величину

.

(3.14)

Усредняя (3.14), получаем критерий оптимальности

.

(3.15)

Оптимальная система, построенная из условия минимума критерия (3.15), обеспечивает наилучший результат лишь в наихудших режимах работы.

Качество работы с квадратичной функцией штрафа оценивает интегральная функция вида:

.

(3.16)

Для ряда систем требуется рассчитать оптимальный регулятор (демпфер), который наилучшим образом, по критерию среднеквадратичной ошибки, успокаивает колебания, постоянно возникающие в системе из-за случайных возмущений . В качестве критерия оптимизации принимают [27]

,

(3.17)

имеющий смысл средней энергии случайных колебаний в системе. Выбор среднеквадратичного критерия (3.17) для оценки качества системы является наиболее распространенным и, кроме того, он соответствует наиболее естественной постановке задачи оптимального демпфирования.

Представляют интерес в плане оптимизации качества «наблюдаемой» информационной модели статистического оценивания параметров. Предположим, что наблюдаемый сигнал {Y_t} имеет вид [164]

Yt = St (t,k) + vt ,	(3.18)
где St -	изменяющийся во времени полезный сигнал, зависящий известным образом от набора t информационных существенных параметров и набора K паразитных параметров;
vt -	помеха наблюдения, изменяющаяся во времени t = 1, 2,…

Требуется оценить информационные параметры t. В ряде случаев параметры t, K предполагаются случайными с известными статистическими свойствами. В другом варианте набор параметров может быть неслучайным. Интерес представляет получение оптимальных оценок, соответствующих экстремизации функционала качества, например

,

(3.19)

где T - время наблюдения сигнала, а M означает операцию усреднения по ансамблю реализаций сигналов {Y_t}, {S_t}, отвечающих фиксированному значению параметра t. Вычисление W_T(t^’) предполагает знание статистики сигналов {Y_t}, {S_t}. Для этих целей возможны и другие разнообразные функционалы качества.

Близкой по смыслу к предыдущей задаче является задача о разладке, которая может произойти, например, при изнашивании инструмента

Yt = St(tt)+vt,

(3.20)

где t_t – величина, определяющая статистические свойства полезного сигнала. Величина t_t изменяется во времени, оставаясь постоянной на интервалах значительной продолжительности. Требуется оценить моменты времени, когда происходит «переключение» величины t_t.

Представленный материал затрагивает не все аспекты техники, где применяются процессы оптимизации. Имеется много других работ по оптимизации. Из теоретических следует выделить работу [34], содержащую изложение теории оптимальных процессов, основным стержнем которой является принцип максимума. Этот принцип позволяет решать ряд задач математического и прикладного характера, которые являются вариационными, но не укладываются в классическую схему вариационного исчисления. Между тем к задачам такого неклассического типа приводят многие вопросы техники.

В заключение следует отметить, что существует большое количество критериев, но для всех них функционал оптимальных систем характеризует либо наилучшее поведение всей системы в динамике (при решении задач динамической оптимизации), либо наилучшие показатели в установившемся режиме (при решении задач статической оптимизации). В основном же, процесс оптимизации производится на стадии конструирования систем или регуляторов. Информация по использованию оптимизации в реальном времени с учетом возможной структурной перестройкой объекта при эксплуатации реальных технических систем с множеством нелинейных элементов и нестационарными свойствами в литературе практически не отражена, так как готовые «рецепты» в этом случае ввиду математической сложности решаемых задач вряд ли могут быть получены.