Нечеткая логика

Нечеткая логика (fuzzy logic) - одно из немногих научных направлений, созданных в США, развитых в Японии и вновь признанных американцами уже после безнадежной утраты стратегической инициативы [47].

Созданная в 60-х годах профессором Лотфи Заде (выходцем из Баку), развитая Бартом Коско (поклонником буддизма и обладателем черного пояса по карате) и воплощенная в первые коммерческие системы американскими фирмами Aptronix (основана Wei Xu, выходцем из Китая) и Togai InfraLogic (первый миллион долларов заработала в Японии) - нечеткая логика демонстрирует явное тяготение к Востоку.

В основе нечеткой логики лежит теория нечетких множеств, где функция принадлежности элемента множеству не бинарна (да/нет), а может принимать любое значение в диапазоне 0-1. Это дает возможность определять понятия, нечеткие по самой своей природе: «высокий», «быстрый», «ажиотажный» и т.д. Соответственно, сделав еще лишь один шаг - научившись обрабатывать нечеткие импликациии (типа «Если А принадлежит нечеткому множеству a, то B принадлежит нечеткому множеству b»), вы получаете возможность строить базы знаний и экспертные системы нового поколения, способные хранить и обрабатывать неточную информацию. Впрочем, на этот шаг наука потратила почти пятнадцать лет...

Первые же опыты применения новых интеллектуальных систем показали их необычайно широкие возможности. Адаптивное управление роботами и системами вооружений; высокодоходная игра практически на всех финансовых рынках мира; интеллектуальные пылесосы, видеокамеры и швейные машины - послужной список успехов нечеткой логики нарастал как снежный ком. И каждый раз, начиная новую разработку с использованием нечеткой логики, инженеры сталкивались с необходимостью отрешиться от привычной бинарной логики и вступить в зыбкую область нечетких рассуждений. Жизнь показала, что лучше всего это удается приверженцам восточных философских систем, в первую очередь - японцам.

В 1988 году одна из научных лабораторий технологического института MITI (Япония), в поисках спонсоров для своего проекта в области нечеткой логики провела мини-исследование крупных промышленных фирм на предмет использования нечеткой логики в их разработках. К изумлению исследователей, вместо ожидаемых 7-10 фирм они обнаружили «нечеткий след» в изделиях сорока девяти компаний! Первой была Matsushita, отметившая 70-летие фирмы выпуском самоходного пылесоса. Управляемое нечеткой логикой устройство, похожее на большого жука, самостоятельно чистило комнату за комнатой, легко приспосабливаясь к любой расстановке мебели. Впрочем, это был скорее рекламный, чем коммерческий продукт. А первой на массовом рынке стала стиральная машина той же фирмы. Снабженная всего одной кнопкой и способная автоматически выбирать оптимальный режим стирки из более чем четырехсот вариантов, машина получила поэтическое название, которое в приближенном русском переводе значит что-то вроде «День моей любимой жены». Любимым женам понравилось - и уже через месяц объем продаж стиральных машин вырос вдвое, превысил рубеж в 35000 штук в месяц и обрек на стахановский режим все заводы компании. Разумеется, конкуренты не пожелали отставать и к 90-му году крупные заголовки «FUZZY» украшали уже целые прилавки торгового района Akihabara, своеобразного «Митинского рынка» Токио. Более двадцати (!) видов бытовых изделий обрели «интеллектуальную начинку» в виде управляющих кристаллов на основе нечеткой логики.

В числе основных промышленных применений теории нечеткой логики можно указать экономическое управление, распознание образов и обработку изображений, принятие решений, анализ надежности и т.д. В настоящее время наметилась тенденция применения нечетких множеств в гуманитарных науках, лингвистике, психологии и в социологии. Вообще применение нечетких множеств более характерно для гуманитарных наук, т.к. там чаще приходится сталкиваться с нечеткими, субъективными данными. А теория нечетких множеств прежде всего ставит перед собой задачи непосредственного анализа и обработки именно таких неопределенных, неясных данных. В 1972 г. Заде предложил теоретико-множественную интерпретацию лингвистических переменных и ограничений, которая отражала лингвистические аспекты отношения принадлежности в нечетких множествах.

Определение «нечеткого множества» чаще всего интерпретируют как величину М_А(х), которая обозначает субъективную оценку степени принадлежности х множеству А, например М_А(х) = 80% означает, что х на 80% принадлежит А. Следовательно, должны существовать «моя функция принадлежности», «ваша функция принадлежности», «еще чья-нибудь функция принадлежности» и т.д.

Несколько позже были сформулированы понятия нечеткой логики с лингвистическим, а не числовым значением истинности. Согласно такой логике, высказывание может принимать истинное значение типа: истинно, ложно, абсолютно истинно, совсем ложно и т.п. - каждое такое значение представляет собой нечеткое подмножество единичного интервала.

В том случае, когда речь идет о логике, то представляется некоторая четкая и жесткая система, которая позволяет все разделить на «Да» и «Нет» (истину и ложь). Это представление соответствует компьютерной логике или двузначной булевой алгебре. Однако в реальной действительности очень трудно все разделить на черное и белое. В работе [22] Л.Заде двузначная оценка 0 или 1 расширена до неограниченной многозначной оценки выше 0 и ниже 1, т.е. впервые было введено понятие «нечеткое множество». Теоретико-вероятностное понятие случайности уже давно отнесено к категории объективных понятий и рассматривается как дополнительное к понятию причинности; такое восприятие подкрепляется концепцией воспроизводимых элементов, которая согласуется с наблюдениями в области естественных наук и в технике. По-видимому, и к субъективной вероятности можно относиться как к шкале неоднозначности. Подобно объективной вероятности - самой популярной и неопределенной из концепций неопределенности - субъективная вероятность удовлетворяет аксиоме вероятностной меры и оказывается положительной и воспроизводимой. Однако широкое распространение разнообразия неясных, неопределенных и неточных явлений, событий и фактов, а также связей между объектами и операциями, показывает, что существуют различные классы неясности или неопределенности, которые не всегда будут связаны со случайностью или нечеткостью.

 

1.4. Нечеткие множества

Пусть E - универсальное множество, x - элемент E, а R - некоторое свойство. Обычное (четкое) подмножество A универсального множества E, элементы которого удовлетворяют свойству R, определяется как множество упорядоченных пар A= {m_A (х)/х}, где m_A (х)- характеристическая функция, принимающая значение 1, если x удовлетворяет свойству R, и 0 - в противном случае [13, 10, 29, 32, 25, 64].

Нечеткое подмножество отличается от обычного тем, что для элементов x из E нет однозначного ответа «да-нет» относительно свойства R. В связи с этим, нечеткое подмножество A универсального множества E определяется как множество упорядоченных пар A={m_A(х)/х}, где m_A(х) - характеристическая функция принадлежности (или просто функция принадлежности), принимающая значения в некотором вполне упорядоченном множестве M (например, M = [0,1]). Функция принадлежности указывает степень (или уровень) принадлежности элемента x подмножеству A. Множество M называют множеством принадлежностей. Если M = {0,1}, то нечеткое подмножество A может рассматриваться как обычное или четкое множество.

1.4.1. Примеры записи нечетких множеств

Пусть E = {x₁, x₂, x₃, x₄, x₅ }, M= [0,1]; A - нечеткое множество, для которого

m_A (x₁)=0,3;

m_A (x₂)=0;

m_A (x₃)=1;

m_A (x₄)=0,5;

m_A (x₅)=0,9.

Тогда A можно представить в виде: A = {0,3/x₁; 0/x₂; 1/x₃; 0,5/x₄;0,9/x₅ }или A= 0,3/x₁ + 0/x₂ + 1/x₃ + 0,5/x₄ + 0,9/x_5.

Замечание. Здесь знак «+» не является обозначением операции сложения, а имеет смысл объединения.

Основные характеристики нечетких множеств

Пусть M = [0,1] и A - нечеткое множество с элементами из универсального множества E и множеством принадлежностей M.

· Величина _A(x) называется высотой нечеткого множества A. Нечеткое множество A нормально, если его высота равна 1, т.е. верхняя граница его функции принадлежности равна 1

(_A(x)=1). При _A(x)<1 нечеткое множество называется субнормальным.

· Нечеткое множество пусто, если  " xÎE m _A(x)=0. Непустое субнормальное множество можно нормализовать по формуле
m_A (x) := .

· Нечеткое множество унимодально, m_{A A}(x)=1 только на одном x из E.

· Носителем нечеткого множества A является обычное подмножество со свойством m_A(x)>0, т.е. носительA = {x/m_A(x)>0} " xÎE..

· Элементы xÎE, для которых m_A (x)=0,5, называются точками перехода множества A.

1.4.2. Примеры нечетких множеств

1. Пусть E ={0,1,2,..,10}, M =[0,1]. Нечеткое множество «несколько» можно определить следующим образом: «несколько» = 0,5/3+0,8/4+1/5+1/6+0,8/7+0,5/8; его характеристики: высота= 1, носитель={3,4,5,6,7,8}, точки перехода - {3,8}.

2. Пусть E = {0,1,2,3,...,n,...}. Нечеткое множество «малый» можно определить:

«малый» = .

1.4.3.Операции над нечеткими множествами

Включение.

Пусть A и B - нечеткие множества на универсальном множестве E. Говорят, что A содержится в B, если "x ÎE m_A(x) m_B(x).

Обозначение: A Ì B.

Иногда используют термин «доминирование», т.е. в случае, когда A Ì B, говорят, что B доминирует A.

 

Равенство.