Интерполяция каноническим полиномом - раздел Образование, МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЙ В ЗАДАЧАХ
Одной Из Важнейших Задач В Процессе Математического Моделиро...
Одной из важнейших задач в процессе математического моделирования является вычисление значений функций, входящих в математическое описание модели. Для сложных моделей подобные вычисления могут быть трудоемкими даже при использовании ЭВМ. При выполнении программ, реализующих основные методы вычислительной математики, большая часть времени также затрачивается на вычисление функций.
Используемые в математических моделях функции задаются как аналитическим способом, так и табличным, при котором функции известны только при дискретных значениях аргументов. Ограниченный объем памяти ПЭВМ не позволяет хранить подробные таблицы функций, желательно иметь возможность "сгущать"таблицы, заданные с крупным шагом аргумента.
Поставленные проблемы решаются путем приближенной замены функции f(x) функцией , которую нетрудно вычислять при любом значении аргумента х в заданном интервале его изменения. Введенную функцию можно использовать не только для приближенного определения численных значений f(х), но и для проведения аналитических выкладок при теоретическом исследовании модели.
Приближение функции f(x) более простой функцией называется аппроксимацией (от латинскогоapproximo— приближаюсь). Близости этих функций добиваются путем введения в аппроксимирующую функцию свободных параметров и соответствующим их выбором.
В задачах электротехники широко используется аппроксимация функций для физических параметров сред, для задания характеристик активных и пассивных элементов электрических и магнитных цепей и т.д. В вычислительной математике аппроксимация функций является основой для разработки многих методов и алгоритмов [ 1 ].
Пусть функция f(x) задана таблицей значений, полученных из эксперимента или путем вычислений в последовательности значений аргумента (табл. 2.1). Выбранные значения аргумента х называют узлами таблицы. Считаем, что узлы в общем случае не являются равноотстоящими.
Таблица 2.1. Узлы и значения функции
x
х0
…
f
…
Введем аппроксимирующую функцию так, чтобы она совпадала с табличными значениями заданной функции f(x) во всех узлах :
(2.1)
Свободные параметры определяются из системы (2.1).
Подобный способ введения аппроксимирующей функции называется лагранжевой интерполяцией, а соотношения (2.1)- условиями Лагранжа [2].
Задачей интерполяции в узком смысле считают нахождение приближенных значений табличной функции при аргументах х, не совпадающих с узловыми. Если значение аргумента х расположено между узлами , то нахождение приближенного значения функции f(x) называют интерполяцией. Если интерполирующую функцию вычисляют вне интервала , то процесс называют экстраполяцией. Происхождение этих терминов связано с латинскими словами inter— между, внутри, pole — узел, extra— вне.
В более общем плане с помощью интерполяции решают широкий круг задач численного анализа — дифференцирование и интегрирование функций, нахождение нулей и экстремумов функций, решение дифференциальных уравнений и т.д. Возможность решения подобных задач обусловлена достаточно простым видом аппроксимирующей функции .
Выберем в качестве аппроксимирующей функции полином степени пв каноническом виде:
(2.2)
Свободными параметрами интерполяции сn являются коэффициенты полинома (2.2). Интерполяция полинома обладает такими преимуществами, как простота вычислений их значений, дифференцирования и интегрирования.
Коэффициенты сnопределим из условия Лагранжа
или
(2.3)
Система линейных алгебраических уравнений (2.3) относительно свободных параметров с имеет решение, так как определитель системы отличен от нуля, если среди узлов х нет совпадающих. Определитель системы (2.3) называется определителем Вандермонда и имеет аналитическое выражение [2].
Рассмотренный способ вычисления интерполяционного полинома не является эффективным по затратам времени и объему памяти ЭВМ.
Независимо от формы записи полинома для заданной таблицы узлов и значений функции значение интерполяционного полинома является единственным. Это важное утверждение доказывается от противного [3].
Предположим, что для одной и той же табл. 2.1 с п + 1 узлом построены два полинома n-й степени Рп(х) и Qn(x) с разными коэффициентами. Запишем алгебраическое уравнение
(2.4)
левая часть которого будет также полиномом степени п. По основной теореме алгебры уравнение (2.4) имеет пкорней. С другой стороны, в узлах значения обоих полиномов совпадают со значениями аппроксимируемой функции Значит узлы являются корнями уравнения (2.4), т.е. количество корней равно п+1. Противоречие с основной теоремой алгебры приводит к тождеству Рп(х) = Qn(x), что и доказывает единственность интерполяционного полинома. Единственность позволяет вводить полиномы в формах, отличных от канонических (2.2).
Южно Российский государственный технический университет... Новочеркасский политехнический институт... Кафедра Электрические и электронные аппараты...
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ:
Интерполяция каноническим полиномом
Что будем делать с полученным материалом:
Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
Колпахчьян П.Г., Подберезная И.Б., Чамлай С.В., Батищев Д.В.
Методы вычислений в задачах электроаппаратостроения, электрооборудования и электрического транспорта: Методические указания к проведению вычислительной практики. Юж.-Рос. гос. техн.
Решение систем линейных алгебраических уравнений
Вычислительные методы для решения СЛАУ разделяются на:
- прямые методы, которые позволяют получить точное решение за конечное число операций (при использовании точных вычислений без округ
Факторизация и типовые схемы решений
В ряде случаев решение СЛАУ может быть получено достаточно легко. Рассмотрим шесть важных вариантов вида матрицыА:
1) А представляет собой матрицу перестановок . Реше
Метод Гаусса и LU— разложение
Метод Гаусса упорядоченного исключения переменных используется для приведения СЛАУ к верхней треугольной форме с последующим решением методом обратной подстановки. Оценка общего числа необходимых
Метод Гаусса-Жордана обращения матриц
Пусть матрицаА— квадратная невырожденная. Метод Гаусса-Жордана позволяет получить обратную матрицу А-1 и найти решение
.
Данный метод использует тот же прием
Метод квадратного корня (Холесского)
Если А — симметричная положительно определенная матрица, то существует и единственное разложение
,
где U— верхняя треугольная матрица.
Выполн
Метод вращений
Матрицы вращений позволяют реализовать упорядоченное исключение переменных.
Построим ортогональную матрицу вращений R21 так, чтобы при левом умножении матрицы, обратной
Итерационное уточнение
При решении линейных алгебраических систем уравнений большой размерности накапливаются ошибки округления, полученное решение может неприемлемо отличаться от точного решения. В этом случае может быт
Алгебраических уравнений
Во многих приложениях возникает необходимость решения преопределенных систем уравнения, т.е. таких, в которых число уравнений m больше числа неизвестных n. Система уравнений имеет ран
Решение систем нелинейных алгебраических уравнений
В подовляющем большинстве случаев математические модели реальных объектов содержат нелинейные функции, их отсутствие в математической модели говорит, как правило, о наличии упрощений.
Реше
Метод последовательных приближений
Метод последовательных приближений применятся в тех случаях, когда каждая из функцйи может быть аналитечески разрешена относительно , т.е. система уравнений приводима к виду
Метод Ньютона
Ньютоновскими методами называют целое семейство методов, для которых собственно метод Ньютона служит базовым прототипом.
Рассмотрим простой пример (рис. 1.1).
Рис.
Метод Ньютона по параметру
Метод Ньютона по параметру относится к классу квазиньютоновских методов и предусматривает расчет нового исходного приближения по формуле
,
где — парам
Интерполяция полиномом Лагранжа
Пусть табл. 2.1 задает п +1 значений функции f(x) в узлах xi. Лагранж предложил следующую форму интерполяционного полинома:
. (2.5)
Интерполяция полиномом Ньютона
По данным табл. 2.1 построим интерполяционный полином степени пв виде, предложенном Ньютоном:
. (2.6)
Равносильный вариант полинома можно записать при симметричн
Применение интерполяции для решения уравнений
Интерполяция применяется для решения уравнений вида
. (2.17)
Если в области корня уравнения (2.17) вычислить его левую часть (n +1)точке и результаты поместить в табл. 2.1
Интерполяция сплайнами
Полиномиальная интерполяция не всегда дает удовлетворительные результаты при аппроксимации зависимостей. Так, например, при представлении полиномами резонансных кривых колебательных систем больша
Общие положения
Если набор экспериментальных данных получен со значительной погрешностью, то не имеет смысла использовать интерполяцию полиномами Лагранжа и сплайнами для обработки результатов. В этом случае необ
Степенной базис
Выберем базисные функции в виде последовательности степеней аргумента х, которые линейно независимы:
φ0 (x) = х 0 = 1, φ1 (x) = х1
Базис в виде ортогональных полиномов дискретной переменной
Построим систему базисных функций φk(x)так, чтобы обращались в нуль скалярные произведения на дискретном множестве узловых точек (3.5), тогда матрица Грамма (3.4) будет диаго
Сглаживание экспериментальных данных с ошибками
Если некоторый набор экспериментальных данных содержит случайные отклонения, а зависимость ( ) задана значениями ftдля равноотстоящих абсцисс , то по ряду можно у
Метод трапеций
Подинтегральную функцию заменим на участке полиномом первой степени . Как и в методах прямоугольников, такая аппроксимация неоднозначна. Одним из возможных способов является проведение пря
Метод Симпсона
Подынтегральную функцию f(x) заменим интерполяционным полиномом второй степени Р2(х) — параболой, проходящей через узлы (рис. 4.5), тогда
где R— погрешн
Методы Ньютона-Котеса
В формулах Ньютона-Котеса порядок полинома п, которым заменяется подынтегральная функция f(x) может принимать различные значения. В этом случае на интервале [а, b] интеграл ра
Вычисление интегралов с заданной точностью
Программная реализация формул Рунге или Эйткена позволяет вычислить определенные интегралы с заданной точностью, когда выбор необходимого числа разбиений интервала интегрирования осуществляется а
Применение сплайнов для численного интегрирования
В разделе 2.5 рассмотрена интерполяция кубическими сплайнами, коэффициенты которых определяются из условий Лагранжа, условий непрерывности первой и второй производных в узлах и условий на концах и
Методы наивысшей алгебраической точности
Подынтегральную функцию f(x) так же, как и в методах Ньютона-Котеса, будем аппроксимировать полиномами различных степеней. Однако в отличие от методов Ньютона-Котеса узлы для построения ин
Несобственные интегралы
Известно несколько приемов вычисления разных типов несобственных интегралов [1, 2]. Иногда удается заменой переменных перейти от интегралов с бесконечными пределами к интегралам с конечными предела
Вычисление кратных интегралов
В общем виде задача приближенного вычисления кратного интеграла формулируется так же, как и задача приближенного вычисления однократного интеграла, только полные производные заменяются частными про
Типы задач для обыкновенныхдифференциальных уравнений
Обыкновенные дифференциальные уравнения (ОДУ) широко используются для математического моделирования процессов и явлений в различных областях науки и техники.
В дифференциальное уравнение
Метод Эйлера
Систему ОДУ (5.2) часто удается представить в каноническом виде, в так называемом виде Коши:
(5.4)
где k = 1,2,. ..,n.
Методы Рунге-Кутта
Для уменьшения погрешности метода интегрирования ОДУ, использующего разложение искомого решения вряд Тейлора (5.6), необходимо учитывать большее количество членов ряда. Однако при этом возникает
Метод Рунгe-Кутта-Мерсона
Мерсон предложил модификацию метода Рунге-Кутта четвертого порядка, позволяющую оценивать погрешность на каждом шаге и принимать решение об изменении шага. Схему Мерсона [22] с помощью эквивалентн
Методы Адамса-Башфорта и Адамса-Маултона
При решении задачи Коши методами Рунге-Кутта необходимо вычислять правые части ОДУ в нескольких точках на каждом шаге. Количество точек зависит от порядка используемого метода. После того, как ис
Методы Гира
Одним из методов Рунге-Кутта получим решения у1, у2, y3 задачи Кошив точках .
(5.31)
В окрестностях узлов искомое решение у(х)
Понятие о методах обратного дифференцирования
На практике часто приходится иметь дело с так называемыми «жесткими системами уравнений». Жесткие системы уравнений – это такие уравнения, которые моделируют пролцессы, обладающие явлением жесткост
Библиографический список
1. Мудров А.Е. Численные методы для ПЭВМ на языках Бейсик, Фортран, Паскаль. – Томск: МП "Раско", 1991. – 270с.
2. Калиткин Н.Н. Численные методы. – М.: Наука, 1978. –512 с.
Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Подпишитесь на Нашу рассылку
Наша политика приватности обеспечивает 100% безопасность и анонимность Ваших E-Mail
Новости и инфо для студентов