рефераты конспекты курсовые дипломные лекции шпоры

Раздел Образование
/
Общие положения

Реферат Курсовая Конспект

Выберите учебное заведение

Общие положения

Общие положения - раздел Образование, МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЙ В ЗАДАЧАХ Если Набор Экспериментальных Данных Получен Со Значительной Погрешностью, То ...

Если набор экспериментальных данных получен со значительной погрешностью, то не имеет смысла использовать интерполяцию полиномами Лагранжа и сплайнами для обработки результатов. В этом случае необходимо провести аппроксимирующую кривую, которая не проходит через экспериментальные точки, но в то же время отражает исследуемую зависимость, сглаживает возможные выбросы за счет погрешности эксперимента.

Обозначим узлы исходной таблицы данных через x_j, где 0 ≤ j ≤ n – номер узла. Считаем известными значения экспериментальных данных в узловых точках ƒ(x_j) = ƒ_j. Введем непрерывную функцию φ (х) для аппроксимации дискретной зависимости f(x_j). В узлах функции φ(х)и f(x)будут отличаться на величину
ε _j= φ(x_j) – f(x_j). Отклонения ε _jмогут принимать положительные и отрицательные значения. Чтобы не учитывать знаки, возведем каждое отклонение в квадрат и просуммируем квадраты отклонений по всем узлам:

n n

Q = ∑ ε _j ² = ∑[φ(x_j) - ƒ(x_j)]² (3.1)

j=0 j=0

Метод построения аппроксимирующей функции φ (х)из условия минимума величины Q получил название метода наименьших квадратов (МНК).

Наиболее распространен способ выбора функции φ(х)в виде линейной комбинации

φ(х) = c₀ φ ₀(x)+ c₁ φ ₁(x) + ... + c_m φ_m(x), (3.2)

где φ ₀(х), φ ₁(x),...,φ _m(х) — базисные функции; m ≤ n;

c₀(x), c₁ (x),…,c_m (x)- коэффициенты, определяемые при минимизации величины Q.

Математически условия минимума квадратов отклонений Q запишем, приравнивая к нулю частные производные от Q по коэффициентам 0≤k≤ m:

∂ Q⁄∂ c₀ = 2∑ [c₀ φ ₀(x_j) + c₁ φ ₁(x_j) +…+

j=0

+ c_m φ _m(x_j) - ƒ_j] φ ₀(x_j) = 0,

(3.3)

∂ Q⁄∂ c₁ = 2∑ [c₀ φ ₀(x_j)+c₁φ₁(x_j) +…+

j=0

+ c_m φ _m(x_j) - ƒ_j] φ ₁(x_j) = 0,

…………………………………….

∂ Q⁄∂ c_m = 2∑ [c₀ φ ₀(x_j) + c₁ φ ₁(x_j) +…+

j=0

+ c_m φ _m(x_j) - ƒ_j] φ _m(x_j) = 0.

Из системы линейных алгебраических уравнений (3.3) определяются все коэффициенты с_k. Система (3.3) называется системой нормальных уравнений. Матрица этой системы имеет следующий вид:

(3.4)

и называется матрицей Грамма. Элементы матрицы Грамма являются скалярными произведениями базисных функций:

(φ _j,φ _k) = ∑ φ _j(x_j) φ _k(x_j). (3.5)

j=0

Расширенная матрица системы уравнений (3.5) получится добавлением справа к матрице Грамма столбца свободных членов

, (3.6)

где скалярные произведения, являющиеся элементами столбца, определяются аналогично (3.5):

(φ _j,ƒ) = ∑ φ _j(x_j) ƒ _j, (3.7)

j=0

Отметим основные особенности матрицы Грамма, полезные при программной реализации алгоритмов МНК:

1) Матрица симметрична, т.е. a _i_j = a _ji, что позволяет сократить объем вычислений при заполнении матрицы.

2) Матрица является положительно определенной, следовательно, при решении системы нормальных уравнений методом исключения Гаусса можно отказаться от процедуры выбора главного элемента.

3) Определитель матрицы будет отличен от нуля, если в качестве базиса выбраны линейно независимые функции φ_k(x), при этом система (3.3) имеет единственное решение.

При обработке экспериментальных данных, определенных с погрешностью εв каждой узловой точке обычно начинают с аппроксимации функцией φ_k(x), представимой одной-двумя базисными функциями. После определения коэффициентов c_kвычисляют величину Q по формуле(3.1). Если получится, что , то необходимо расширить базис добавлением новых функций φ_k(x).Расширение базиса необходимо осуществлять до тех пор, пока не выполнится условие .

Выбор конкретных базисных функций зависит от свойств аппроксимируемой функции ƒ(x), таких как периодичность, экспоненциальный или логарифмический характер, свойства симметрии, наличие ассимптотики и т.д.[8]

Развернуть

Открыть в широком формате

– Конец работы –

Эта тема принадлежит разделу:

МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЙ В ЗАДАЧАХ

Южно Российский государственный технический университет... Новочеркасский политехнический институт... Кафедра Электрические и электронные аппараты...

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Общие положения

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Все темы данного раздела:

Колпахчьян П.Г., Подберезная И.Б., Чамлай С.В., Батищев Д.В.
Методы вычислений в задачах электроаппаратостроения, электрооборудования и электрического транспорта: Методические указания к проведению вычислительной практики. Юж.-Рос. гос. техн.

Решение систем линейных алгебраических уравнений
Вычислительные методы для решения СЛАУ разделяются на: - прямые методы, которые позволяют получить точное решение за конечное число операций (при использовании точных вычислений без округ

Итерационные методы решения систем линейных алгебраических уравнений
Будем полагать, что матрица А невырожденная. В наиболее простой форме итерационный метод решения системы АХ = В можно записать в виде вычислительной процедуры:

Факторизация и типовые схемы решений
В ряде случаев решение СЛАУ может быть получено достаточно легко. Рассмотрим шесть важных вариантов вида матрицыА: 1) А представляет собой матрицу перестановок . Реше

Метод Гаусса и LU— разложение
Метод Гаусса упорядоченного исключения переменных используется для приведения СЛАУ к верхней треугольной форме с последующим решением методом обратной подстановки. Оценка общего числа необходимых

Метод Гаусса-Жордана обращения матриц
Пусть матрицаА— квадратная невырожденная. Метод Гаусса-Жордана позволяет получить обратную матрицу А-1 и найти решение . Данный метод использует тот же прием

Метод квадратного корня (Холесского)
Если А — симметричная положительно определенная матрица, то существует и единственное разложение , где U— верхняя треугольная матрица. Выполн

Метод вращений
Матрицы вращений позволяют реализовать упорядоченное исключение переменных. Построим ортогональную матрицу вращений R21 так, чтобы при левом умножении матрицы, обратной

Итерационное уточнение
При решении линейных алгебраических систем уравнений большой размерности накапливаются ошибки округления, полученное решение может неприемлемо отличаться от точного решения. В этом случае может быт

Алгебраических уравнений
Во многих приложениях возникает необходимость решения преопределенных систем уравнения, т.е. таких, в которых число уравнений m больше числа неизвестных n. Система уравнений имеет ран

Решение систем нелинейных алгебраических уравнений
В подовляющем большинстве случаев математические модели реальных объектов содержат нелинейные функции, их отсутствие в математической модели говорит, как правило, о наличии упрощений. Реше

Метод последовательных приближений
Метод последовательных приближений применятся в тех случаях, когда каждая из функцйи может быть аналитечески разрешена относительно , т.е. система уравнений приводима к виду

Метод Ньютона
Ньютоновскими методами называют целое семейство методов, для которых собственно метод Ньютона служит базовым прототипом. Рассмотрим простой пример (рис. 1.1). Рис.

Метод Ньютона по параметру
Метод Ньютона по параметру относится к классу квазиньютоновских методов и предусматривает расчет нового исходного приближения по формуле , где — парам

Интерполяция каноническим полиномом
Одной из важнейших задач в процессе математического моделирования является вычисление значений функций, входящих в математическое описание модели. Для сложных моделей подобные выч

Интерполяция полиномом Лагранжа
Пусть табл. 2.1 задает п +1 значений функции f(x) в узлах xi. Лагранж предложил следующую форму интерполяционного полинома: . (2.5)

Интерполяция полиномом Ньютона
По данным табл. 2.1 построим интерполяционный полином степени пв виде, предложенном Ньютоном: . (2.6) Равносильный вариант полинома можно записать при симметричн

Применение интерполяции для решения уравнений
Интерполяция применяется для решения уравнений вида . (2.17) Если в области корня уравнения (2.17) вычислить его левую часть (n +1)точке и результаты поместить в табл. 2.1

Интерполяция сплайнами
Полиномиальная интерполяция не всегда дает удовлетворительные результаты при аппроксимации зависимостей. Так, например, при представлении полиномами резонансных кривых колебательных систем больша

Степенной базис
Выберем базисные функции в виде последовательности степеней аргумента х, которые линейно независимы: φ0 (x) = х 0 = 1, φ1 (x) = х1

Базис в виде ортогональных полиномов дискретной переменной
Построим систему базисных функций φk(x)так, чтобы обращались в нуль скалярные произведения на дискретном множестве узловых точек (3.5), тогда матрица Грамма (3.4) будет диаго

Сглаживание экспериментальных данных с ошибками
Если некоторый набор экспериментальных данных содержит случайные отклонения, а зависимость ( ) задана значениями ftдля равноотстоящих абсцисс , то по ряду можно у

Апостериорные оценки погрешностей по Рунге и Эйткену
Априорные оценки погрешностей (4.7) и (4.10) можно записать в виде , (4.11) где А — коэффициент, зависящий от метода интегрирования и вида подынтегр

Метод трапеций
Подинтегральную функцию заменим на участке полиномом первой степени . Как и в методах прямоугольников, такая аппроксимация неоднозначна. Одним из возможных способов является проведение пря

Метод Симпсона
Подынтегральную функцию f(x) заменим интерполяционным полиномом второй степени Р2(х) — параболой, проходящей через узлы (рис. 4.5), тогда где R— погрешн

Методы Ньютона-Котеса
В формулах Ньютона-Котеса порядок полинома п, которым заменяется подынтегральная функция f(x) может принимать различные значения. В этом случае на интервале [а, b] интеграл ра

Вычисление интегралов с заданной точностью
Программная реализация формул Рунге или Эйткена позволяет вычислить определенные интегралы с заданной точностью, когда выбор необходимого числа разбиений интервала интегрирования осуществляется а

Применение сплайнов для численного интегрирования
В разделе 2.5 рассмотрена интерполяция кубическими сплайнами, коэффициенты которых определяются из условий Лагранжа, условий непрерывности первой и второй производных в узлах и условий на концах и

Методы наивысшей алгебраической точности
Подынтегральную функцию f(x) так же, как и в методах Ньютона-Котеса, будем аппроксимировать полиномами различных степеней. Однако в отличие от методов Ньютона-Котеса узлы для построения ин

Несобственные интегралы
Известно несколько приемов вычисления разных типов несобственных интегралов [1, 2]. Иногда удается заменой переменных перейти от интегралов с бесконечными пределами к интегралам с конечными предела

Вычисление кратных интегралов
В общем виде задача приближенного вычисления кратного интеграла формулируется так же, как и задача приближенного вычисления однократного интеграла, только полные производные заменяются частными про

Типы задач для обыкновенныхдифференциальных уравнений
Обыкновенные дифференциальные уравнения (ОДУ) широко используются для математического моделирования процессов и явлений в различных областях науки и техники. В дифференциальное уравнение

Метод Эйлера
Систему ОДУ (5.2) часто удается представить в каноническом виде, в так называемом виде Коши: (5.4) где k = 1,2,. ..,n.

Методы Рунге-Кутта
Для уменьшения погрешности метода интегрирования ОДУ, использующего разложение искомого решения вряд Тейлора (5.6), необходимо учитывать большее количество членов ряда. Однако при этом возникает

Метод Рунгe-Кутта-Мерсона
Мерсон предложил модификацию метода Рунге-Кутта четвертого порядка, позволяющую оценивать погрешность на каждом шаге и принимать решение об изменении шага. Схему Мерсона [22] с помощью эквивалентн

Методы Адамса-Башфорта и Адамса-Маултона
При решении задачи Коши методами Рунге-Кутта необходимо вычислять правые части ОДУ в нескольких точках на каждом шаге. Количество точек зависит от порядка используемого метода. После того, как ис

Методы Гира
Одним из методов Рунге-Кутта получим решения у1, у2, y3 задачи Кошив точках . (5.31) В окрестностях узлов искомое решение у(х)

Понятие о методах обратного дифференцирования
На практике часто приходится иметь дело с так называемыми «жесткими системами уравнений». Жесткие системы уравнений – это такие уравнения, которые моделируют пролцессы, обладающие явлением жесткост

Библиографический список
1. Мудров А.Е. Численные методы для ПЭВМ на языках Бейсик, Фортран, Паскаль. – Томск: МП "Раско", 1991. – 270с. 2. Калиткин Н.Н. Численные методы. – М.: Наука, 1978. –512 с.