Апостериорные оценки погрешностей по Рунге и Эйткену
Апостериорные оценки погрешностей по Рунге и Эйткену - раздел Образование, МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЙ В ЗАДАЧАХ
Априорные Оценки Погрешностей (4.7) И (4.10) Можно Записать В...
Априорные оценки погрешностей (4.7) и (4.10) можно записать в виде
, (4.11)
где А — коэффициент, зависящий от метода интегрирования и вида подынтегральной функции; h— шаг интегрирования; р— порядок метода. Зависимости (4.11) подчиняется главный член погрешности большинства методов численного интегрирования. При численном дифференцировании погрешность также может быть оценена с помощью формулы (4.11), при этом порядок рзависит от количества узловых точек. Пусть вычисляется значение некоторой переменной wс шагом h, тогда
, (4.12)
где — приближенное значение w; — главный член погрешности; О (hp+1) — бесконечно малая величина порядка hp+1. Вычислим ту же самую переменную wс шагом kh
, (4.13)
где коэффициент пропорциональности kможет быть как больше, так и меньше единицы. КоэффициентАв выражениях (4.12) и (4.13) будет одинаковым, так как вычисляется одна и та же переменная одним и тем же методом, а от величины шага hзначение А не зависит.
Пренебрегая бесконечно малыми величинами, приравняем правые части соотношений (4.12) и (4.13) с учетом формулы (4.11) и получим
откуда найдем главный член погрешности
(4.14)
Формула (4.14) называется формулой Рунге [1,2] и позволяет путем двойного просчета величины wс шагами h и kh оценить погрешность. Так как оценка осуществляется после вычисления, то она является апостериорной. Формула (4.14) имеет большое практическое значение, так как позволяет провести оценку погрешности без изменения алгоритма используемого вычислительного процесса. При уменьшении шага hглавный член погрешности R0 будет стремиться к полной погрешности R.
После определения R0 можно вычислить уточненное значение искомой величины
(4.15)
последнее выражение называют второй формулой Рунге. К сожалению, погрешность уточненного значения остается неопределенной, хотя, как правило, она меньше значения .
Формулы Рунге справедливы для всех вычислительных процессов, для которых выполняется степенной закон (4.11). Для определения порядка метода рнеобходимо проведение априорной оценки погрешности, что не всегда легко осуществить.
Английский математик Эйткен предложил способ оценки погрешности для случая, когда порядок р метода неизвестен. Более того, алгоритм Эйткена позволяет опытным путем определить и порядок метода. Для этого необходимо третий раз вычислить значение величины wс шагом k2h, т.е.
или
(4.16)
Приравнивая правые части выражений (4.13) и (4.16), получим соотношение
Подставив в это соотношение значениеR0 из первой формулы Рунге (4.14), найдем
(4.17)
Полученное соотношение (4.17) вместе с первой формулой Рунге (4.14) позволяет оценить погрешность при использовании вычислительного метода с неизвестным порядком р. Более того, порядок рможно определить, логарифмируя левую и правую части формулы (4.17):
(4.18)
Для выбранного вычислительного процесса алгоритм Эйткена достаточно применить только один раз при определении порядка метода, а затем использовать формулу Рунге, требующую только двукратного вычисления искомой величины. Формулу (4.14) можно использовать для тестирования программ, реализующих вычислительные методы с известной априорной погрешностью. Априорный и апостериорный порядки должны получаться совпадающими для правильных программ. Конечно, это совпадение будет приближенным, так как при получении алгоритмов Рунге и Эйткена учитывались только главные члены погрешности.
Колпахчьян П.Г., Подберезная И.Б., Чамлай С.В., Батищев Д.В.
Методы вычислений в задачах электроаппаратостроения, электрооборудования и электрического транспорта: Методические указания к проведению вычислительной практики. Юж.-Рос. гос. техн.
Решение систем линейных алгебраических уравнений
Вычислительные методы для решения СЛАУ разделяются на:
- прямые методы, которые позволяют получить точное решение за конечное число операций (при использовании точных вычислений без округ
Факторизация и типовые схемы решений
В ряде случаев решение СЛАУ может быть получено достаточно легко. Рассмотрим шесть важных вариантов вида матрицыА:
1) А представляет собой матрицу перестановок . Реше
Метод Гаусса и LU— разложение
Метод Гаусса упорядоченного исключения переменных используется для приведения СЛАУ к верхней треугольной форме с последующим решением методом обратной подстановки. Оценка общего числа необходимых
Метод Гаусса-Жордана обращения матриц
Пусть матрицаА— квадратная невырожденная. Метод Гаусса-Жордана позволяет получить обратную матрицу А-1 и найти решение
.
Данный метод использует тот же прием
Метод квадратного корня (Холесского)
Если А — симметричная положительно определенная матрица, то существует и единственное разложение
,
где U— верхняя треугольная матрица.
Выполн
Метод вращений
Матрицы вращений позволяют реализовать упорядоченное исключение переменных.
Построим ортогональную матрицу вращений R21 так, чтобы при левом умножении матрицы, обратной
Итерационное уточнение
При решении линейных алгебраических систем уравнений большой размерности накапливаются ошибки округления, полученное решение может неприемлемо отличаться от точного решения. В этом случае может быт
Алгебраических уравнений
Во многих приложениях возникает необходимость решения преопределенных систем уравнения, т.е. таких, в которых число уравнений m больше числа неизвестных n. Система уравнений имеет ран
Решение систем нелинейных алгебраических уравнений
В подовляющем большинстве случаев математические модели реальных объектов содержат нелинейные функции, их отсутствие в математической модели говорит, как правило, о наличии упрощений.
Реше
Метод последовательных приближений
Метод последовательных приближений применятся в тех случаях, когда каждая из функцйи может быть аналитечески разрешена относительно , т.е. система уравнений приводима к виду
Метод Ньютона
Ньютоновскими методами называют целое семейство методов, для которых собственно метод Ньютона служит базовым прототипом.
Рассмотрим простой пример (рис. 1.1).
Рис.
Метод Ньютона по параметру
Метод Ньютона по параметру относится к классу квазиньютоновских методов и предусматривает расчет нового исходного приближения по формуле
,
где — парам
Интерполяция каноническим полиномом
Одной из важнейших задач в процессе математического моделирования является вычисление значений функций, входящих в математическое описание модели. Для сложных моделей подобные выч
Интерполяция полиномом Лагранжа
Пусть табл. 2.1 задает п +1 значений функции f(x) в узлах xi. Лагранж предложил следующую форму интерполяционного полинома:
. (2.5)
Интерполяция полиномом Ньютона
По данным табл. 2.1 построим интерполяционный полином степени пв виде, предложенном Ньютоном:
. (2.6)
Равносильный вариант полинома можно записать при симметричн
Применение интерполяции для решения уравнений
Интерполяция применяется для решения уравнений вида
. (2.17)
Если в области корня уравнения (2.17) вычислить его левую часть (n +1)точке и результаты поместить в табл. 2.1
Интерполяция сплайнами
Полиномиальная интерполяция не всегда дает удовлетворительные результаты при аппроксимации зависимостей. Так, например, при представлении полиномами резонансных кривых колебательных систем больша
Общие положения
Если набор экспериментальных данных получен со значительной погрешностью, то не имеет смысла использовать интерполяцию полиномами Лагранжа и сплайнами для обработки результатов. В этом случае необ
Степенной базис
Выберем базисные функции в виде последовательности степеней аргумента х, которые линейно независимы:
φ0 (x) = х 0 = 1, φ1 (x) = х1
Базис в виде ортогональных полиномов дискретной переменной
Построим систему базисных функций φk(x)так, чтобы обращались в нуль скалярные произведения на дискретном множестве узловых точек (3.5), тогда матрица Грамма (3.4) будет диаго
Сглаживание экспериментальных данных с ошибками
Если некоторый набор экспериментальных данных содержит случайные отклонения, а зависимость ( ) задана значениями ftдля равноотстоящих абсцисс , то по ряду можно у
Метод трапеций
Подинтегральную функцию заменим на участке полиномом первой степени . Как и в методах прямоугольников, такая аппроксимация неоднозначна. Одним из возможных способов является проведение пря
Метод Симпсона
Подынтегральную функцию f(x) заменим интерполяционным полиномом второй степени Р2(х) — параболой, проходящей через узлы (рис. 4.5), тогда
где R— погрешн
Методы Ньютона-Котеса
В формулах Ньютона-Котеса порядок полинома п, которым заменяется подынтегральная функция f(x) может принимать различные значения. В этом случае на интервале [а, b] интеграл ра
Вычисление интегралов с заданной точностью
Программная реализация формул Рунге или Эйткена позволяет вычислить определенные интегралы с заданной точностью, когда выбор необходимого числа разбиений интервала интегрирования осуществляется а
Применение сплайнов для численного интегрирования
В разделе 2.5 рассмотрена интерполяция кубическими сплайнами, коэффициенты которых определяются из условий Лагранжа, условий непрерывности первой и второй производных в узлах и условий на концах и
Методы наивысшей алгебраической точности
Подынтегральную функцию f(x) так же, как и в методах Ньютона-Котеса, будем аппроксимировать полиномами различных степеней. Однако в отличие от методов Ньютона-Котеса узлы для построения ин
Несобственные интегралы
Известно несколько приемов вычисления разных типов несобственных интегралов [1, 2]. Иногда удается заменой переменных перейти от интегралов с бесконечными пределами к интегралам с конечными предела
Вычисление кратных интегралов
В общем виде задача приближенного вычисления кратного интеграла формулируется так же, как и задача приближенного вычисления однократного интеграла, только полные производные заменяются частными про
Типы задач для обыкновенныхдифференциальных уравнений
Обыкновенные дифференциальные уравнения (ОДУ) широко используются для математического моделирования процессов и явлений в различных областях науки и техники.
В дифференциальное уравнение
Метод Эйлера
Систему ОДУ (5.2) часто удается представить в каноническом виде, в так называемом виде Коши:
(5.4)
где k = 1,2,. ..,n.
Методы Рунге-Кутта
Для уменьшения погрешности метода интегрирования ОДУ, использующего разложение искомого решения вряд Тейлора (5.6), необходимо учитывать большее количество членов ряда. Однако при этом возникает
Метод Рунгe-Кутта-Мерсона
Мерсон предложил модификацию метода Рунге-Кутта четвертого порядка, позволяющую оценивать погрешность на каждом шаге и принимать решение об изменении шага. Схему Мерсона [22] с помощью эквивалентн
Методы Адамса-Башфорта и Адамса-Маултона
При решении задачи Коши методами Рунге-Кутта необходимо вычислять правые части ОДУ в нескольких точках на каждом шаге. Количество точек зависит от порядка используемого метода. После того, как ис
Методы Гира
Одним из методов Рунге-Кутта получим решения у1, у2, y3 задачи Кошив точках .
(5.31)
В окрестностях узлов искомое решение у(х)
Понятие о методах обратного дифференцирования
На практике часто приходится иметь дело с так называемыми «жесткими системами уравнений». Жесткие системы уравнений – это такие уравнения, которые моделируют пролцессы, обладающие явлением жесткост
Библиографический список
1. Мудров А.Е. Численные методы для ПЭВМ на языках Бейсик, Фортран, Паскаль. – Томск: МП "Раско", 1991. – 270с.
2. Калиткин Н.Н. Численные методы. – М.: Наука, 1978. –512 с.
Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Подпишитесь на Нашу рассылку
Наша политика приватности обеспечивает 100% безопасность и анонимность Ваших E-Mail
Новости и инфо для студентов