Понятие о методах обратного дифференцирования - раздел Образование, МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЙ В ЗАДАЧАХ На Практике Часто Приходится Иметь Дело С Так Называемыми «Жесткими Системами...
На практике часто приходится иметь дело с так называемыми «жесткими системами уравнений». Жесткие системы уравнений – это такие уравнения, которые моделируют пролцессы, обладающие явлением жесткости. Такие процессы описываются функциями двух видов: функциями с большими по модулю производнымии и функциями с малыми по модулю производными, причем функции с большими производными быстро убывают. Такие задачи часто встречаются при исследовании динамических систем в электротехнике, в механике сплошной среды, в теории управления и т.д. Для жестких систем, как правило, существуют два участка решения с существенно различным характером поведения его составляющих, причем длина первого участка, называемогно пограничным слоем, значительно больше длины второго. Необходимость выделения таких уравнений в отдельный класс вызвана трудностями, которые встречаются при их численном интегрировании традиционными методами, например, явными типа Рунге-Кутта, Адамса. Для численного воспроизведения быстропротекающих процессов в пограничном слое необходим малый шаг интегрирования, однако, вне пограничного слоя, где существенны функции с малыми производными, увеличение шага приводит к резкому возрастанию погрешности, влекущему за собой качественное изменение поведения решения. Описанное явление происходит потому, что указанные методы обладают, как уже отмечалось выше, ограниченной областью устойчивости.
Это, прежде всего, многозначный жестко-устойчивый метод Гира переменного порядка и его усовершенствование – метод BDF (BackwordDifferentiationFormula), рефлизованного в работах A.C. Hindmarsh. Этот метод называют также методом обратного дифференцирования или формулами дифференцирования назад. Скуществует также устойчивый неявный метод Рунге-Кутта, а для сильно жестких систем – экспоненциальный метод, основанный на представлении рещения линейной однлродной системы с постоянными коэффициентами в виде матричной экспоненты.
Рассмотрим более подробно основы метода обратного дифференцирования.
Для kточек(tj-k+1; xj-k+1),(tj-k+2; xj-k+2), …, (tj; xj) и точки (tj+1; xj+1) строится интерполяционный полином k-того порядка, с помощью которого описывается функция x=f(t). В крнце интервала интерполяций, в точке (tj+1; xj+1), производная функций вычисляется с помощью формулы обратного дифференцирования (BDF метод).
Формула обратного дифференцирования в случае k =2 (степень интерполяционного полинома k называется порядком BDF-метода) может быть получена следующим образом.
Для производной от x=f(t)в момент времени tj+1:
При этом на каждом интервале шаг
h=tj+1-tj=tj-tj-1 (5.40)
Для вычисления коэффициентов α0,…, αkнеобходимо упорядочить интерполяционный полином x(t)второго порядка по степеням, представив его следующим образом:
(5.41)
В момент времени tj+1производная
(5.42)
Согласно (5.41), значения функции x(t) для моментов времени tj+1,tj,tj-1 равны соответственно xj+1=β0, xj = β0+ β1+ β2. xj-1= β0+ 2β1+ 4β2.Подставив эти значения в (5.39), можно записать:
После преобразований
Искомые коэффициенты α теперь могут быть определены из уравнений
Решение этой системы уравнений таково:
α0 = -1,5; α1 = 2; α2 = -0,5.
Для любого значения порядка k уравнение (5.39) в общем случае может быть представлено в виде:
(5.44)
Коэффициенты α0, …, αkявляются решениями системыk+1линейных уравнений. Искомые коэффициенты теперь могут быть определены из уравнений
(5.45)
Результаты расчета коэффициентов для значений kот 1 до 6 приведены в табл. 5.4.
Южно Российский государственный технический университет... Новочеркасский политехнический институт... Кафедра Электрические и электронные аппараты...
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ:
Понятие о методах обратного дифференцирования
Что будем делать с полученным материалом:
Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
Колпахчьян П.Г., Подберезная И.Б., Чамлай С.В., Батищев Д.В.
Методы вычислений в задачах электроаппаратостроения, электрооборудования и электрического транспорта: Методические указания к проведению вычислительной практики. Юж.-Рос. гос. техн.
Решение систем линейных алгебраических уравнений
Вычислительные методы для решения СЛАУ разделяются на:
- прямые методы, которые позволяют получить точное решение за конечное число операций (при использовании точных вычислений без округ
Факторизация и типовые схемы решений
В ряде случаев решение СЛАУ может быть получено достаточно легко. Рассмотрим шесть важных вариантов вида матрицыА:
1) А представляет собой матрицу перестановок . Реше
Метод Гаусса и LU— разложение
Метод Гаусса упорядоченного исключения переменных используется для приведения СЛАУ к верхней треугольной форме с последующим решением методом обратной подстановки. Оценка общего числа необходимых
Метод Гаусса-Жордана обращения матриц
Пусть матрицаА— квадратная невырожденная. Метод Гаусса-Жордана позволяет получить обратную матрицу А-1 и найти решение
.
Данный метод использует тот же прием
Метод квадратного корня (Холесского)
Если А — симметричная положительно определенная матрица, то существует и единственное разложение
,
где U— верхняя треугольная матрица.
Выполн
Метод вращений
Матрицы вращений позволяют реализовать упорядоченное исключение переменных.
Построим ортогональную матрицу вращений R21 так, чтобы при левом умножении матрицы, обратной
Итерационное уточнение
При решении линейных алгебраических систем уравнений большой размерности накапливаются ошибки округления, полученное решение может неприемлемо отличаться от точного решения. В этом случае может быт
Алгебраических уравнений
Во многих приложениях возникает необходимость решения преопределенных систем уравнения, т.е. таких, в которых число уравнений m больше числа неизвестных n. Система уравнений имеет ран
Решение систем нелинейных алгебраических уравнений
В подовляющем большинстве случаев математические модели реальных объектов содержат нелинейные функции, их отсутствие в математической модели говорит, как правило, о наличии упрощений.
Реше
Метод последовательных приближений
Метод последовательных приближений применятся в тех случаях, когда каждая из функцйи может быть аналитечески разрешена относительно , т.е. система уравнений приводима к виду
Метод Ньютона
Ньютоновскими методами называют целое семейство методов, для которых собственно метод Ньютона служит базовым прототипом.
Рассмотрим простой пример (рис. 1.1).
Рис.
Метод Ньютона по параметру
Метод Ньютона по параметру относится к классу квазиньютоновских методов и предусматривает расчет нового исходного приближения по формуле
,
где — парам
Интерполяция каноническим полиномом
Одной из важнейших задач в процессе математического моделирования является вычисление значений функций, входящих в математическое описание модели. Для сложных моделей подобные выч
Интерполяция полиномом Лагранжа
Пусть табл. 2.1 задает п +1 значений функции f(x) в узлах xi. Лагранж предложил следующую форму интерполяционного полинома:
. (2.5)
Интерполяция полиномом Ньютона
По данным табл. 2.1 построим интерполяционный полином степени пв виде, предложенном Ньютоном:
. (2.6)
Равносильный вариант полинома можно записать при симметричн
Применение интерполяции для решения уравнений
Интерполяция применяется для решения уравнений вида
. (2.17)
Если в области корня уравнения (2.17) вычислить его левую часть (n +1)точке и результаты поместить в табл. 2.1
Интерполяция сплайнами
Полиномиальная интерполяция не всегда дает удовлетворительные результаты при аппроксимации зависимостей. Так, например, при представлении полиномами резонансных кривых колебательных систем больша
Общие положения
Если набор экспериментальных данных получен со значительной погрешностью, то не имеет смысла использовать интерполяцию полиномами Лагранжа и сплайнами для обработки результатов. В этом случае необ
Степенной базис
Выберем базисные функции в виде последовательности степеней аргумента х, которые линейно независимы:
φ0 (x) = х 0 = 1, φ1 (x) = х1
Базис в виде ортогональных полиномов дискретной переменной
Построим систему базисных функций φk(x)так, чтобы обращались в нуль скалярные произведения на дискретном множестве узловых точек (3.5), тогда матрица Грамма (3.4) будет диаго
Сглаживание экспериментальных данных с ошибками
Если некоторый набор экспериментальных данных содержит случайные отклонения, а зависимость ( ) задана значениями ftдля равноотстоящих абсцисс , то по ряду можно у
Метод трапеций
Подинтегральную функцию заменим на участке полиномом первой степени . Как и в методах прямоугольников, такая аппроксимация неоднозначна. Одним из возможных способов является проведение пря
Метод Симпсона
Подынтегральную функцию f(x) заменим интерполяционным полиномом второй степени Р2(х) — параболой, проходящей через узлы (рис. 4.5), тогда
где R— погрешн
Методы Ньютона-Котеса
В формулах Ньютона-Котеса порядок полинома п, которым заменяется подынтегральная функция f(x) может принимать различные значения. В этом случае на интервале [а, b] интеграл ра
Вычисление интегралов с заданной точностью
Программная реализация формул Рунге или Эйткена позволяет вычислить определенные интегралы с заданной точностью, когда выбор необходимого числа разбиений интервала интегрирования осуществляется а
Применение сплайнов для численного интегрирования
В разделе 2.5 рассмотрена интерполяция кубическими сплайнами, коэффициенты которых определяются из условий Лагранжа, условий непрерывности первой и второй производных в узлах и условий на концах и
Методы наивысшей алгебраической точности
Подынтегральную функцию f(x) так же, как и в методах Ньютона-Котеса, будем аппроксимировать полиномами различных степеней. Однако в отличие от методов Ньютона-Котеса узлы для построения ин
Несобственные интегралы
Известно несколько приемов вычисления разных типов несобственных интегралов [1, 2]. Иногда удается заменой переменных перейти от интегралов с бесконечными пределами к интегралам с конечными предела
Вычисление кратных интегралов
В общем виде задача приближенного вычисления кратного интеграла формулируется так же, как и задача приближенного вычисления однократного интеграла, только полные производные заменяются частными про
Типы задач для обыкновенныхдифференциальных уравнений
Обыкновенные дифференциальные уравнения (ОДУ) широко используются для математического моделирования процессов и явлений в различных областях науки и техники.
В дифференциальное уравнение
Метод Эйлера
Систему ОДУ (5.2) часто удается представить в каноническом виде, в так называемом виде Коши:
(5.4)
где k = 1,2,. ..,n.
Методы Рунге-Кутта
Для уменьшения погрешности метода интегрирования ОДУ, использующего разложение искомого решения вряд Тейлора (5.6), необходимо учитывать большее количество членов ряда. Однако при этом возникает
Метод Рунгe-Кутта-Мерсона
Мерсон предложил модификацию метода Рунге-Кутта четвертого порядка, позволяющую оценивать погрешность на каждом шаге и принимать решение об изменении шага. Схему Мерсона [22] с помощью эквивалентн
Методы Адамса-Башфорта и Адамса-Маултона
При решении задачи Коши методами Рунге-Кутта необходимо вычислять правые части ОДУ в нескольких точках на каждом шаге. Количество точек зависит от порядка используемого метода. После того, как ис
Методы Гира
Одним из методов Рунге-Кутта получим решения у1, у2, y3 задачи Кошив точках .
(5.31)
В окрестностях узлов искомое решение у(х)
Библиографический список
1. Мудров А.Е. Численные методы для ПЭВМ на языках Бейсик, Фортран, Паскаль. – Томск: МП "Раско", 1991. – 270с.
2. Калиткин Н.Н. Численные методы. – М.: Наука, 1978. –512 с.
Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Подпишитесь на Нашу рассылку
Наша политика приватности обеспечивает 100% безопасность и анонимность Ваших E-Mail
Новости и инфо для студентов