Типы задач для обыкновенныхдифференциальных уравнений

Все темы данного раздела:

Колпахчьян П.Г., Подберезная И.Б., Чамлай С.В., Батищев Д.В.
  Методы вычислений в задачах электроаппаратостроения, электрооборудования и электрического транспорта: Методические указания к проведению вычислительной практики. Юж.-Рос. гос. техн.

Решение систем линейных алгебраических уравнений
Вычислительные методы для решения СЛАУ разделяются на: - прямые методы, которые позволяют получить точное решение за конечное число операций (при использовании точных вычисле­ний без округ

Итерационные методы решения систем линейных алгебраических уравнений
Будем полагать, что матрица А невырожденная. В наиболее про­стой форме итерационный метод решения системы АХ = В можно записать в виде вычислительной процедуры:  

Факторизация и типовые схемы решений
В ряде случаев решение СЛАУ может быть получено достаточно легко. Рассмотрим шесть важных вариантов вида матрицыА: 1) А представляет собой матрицу перестановок . Реше

Метод Гаусса и LU— разложение
Метод Гаусса упорядоченного исключения переменных использу­ется для приведения СЛАУ к верхней треугольной форме с последую­щим решением методом обратной подстановки. Оценка общего числа необходимых

Метод Гаусса-Жордана обращения матриц
Пусть матрицаА— квадратная невырожденная. Метод Гаусса-Жордана позволяет получить обратную матрицу А-1 и найти решение . Данный метод использует тот же прием

Метод квадратного корня (Холесского)
Если А — симметричная положительно определенная матрица, то существует и единственное разложение , где U— верхняя треугольная матрица. Выполн

Метод вращений
Матрицы вращений позволяют реализовать упорядоченное исклю­чение переменных. Построим ортогональную матрицу вращений R21 так, чтобы при левом умножении матрицы, обратной

Итерационное уточнение
При решении линейных алгебраических систем уравнений большой размерности накапливаются ошибки округления, полученное решение может неприемлемо отличаться от точного решения. В этом случае может быт

Алгебраических уравнений
Во многих приложениях возникает необходимость решения преопределенных систем уравнения, т.е. таких, в которых число уравнений m больше числа неизвестных n. Система уравнений имеет ран

Решение систем нелинейных алгебраических уравнений
В подовляющем большинстве случаев математические модели реальных объектов содержат нелинейные функции, их отсутствие в математической модели говорит, как правило, о наличии упрощений. Реше

Метод последовательных приближений
Метод последовательных приближений применятся в тех случаях, когда каждая из функцйи может быть аналитечески разрешена относительно , т.е. система уравнений приводима к виду

Метод Ньютона
Ньютоновскими методами называют целое семейство методов, для которых собственно метод Ньютона служит базовым прототипом. Рассмотрим простой пример (рис. 1.1).   Рис.

Метод Ньютона по параметру
Метод Ньютона по параметру относится к классу квазиньюто­новских методов и предусматривает расчет нового исходного прибли­жения по формуле , где — парам

Интерполяция каноническим полиномом
  Одной из важнейших задач в процессе математического моделиро­вания является вычисление значений функций, входящих в математи­ческое описание модели. Для сложных моделей подобные выч

Интерполяция полиномом Лагранжа
Пусть табл. 2.1 задает п +1 значений функции f(x) в узлах xi. Лагранж предложил следующую форму интерполяционного полинома:   . (2.5)

Интерполяция полиномом Ньютона
По данным табл. 2.1 построим интерполяционный полином степени пв виде, предложенном Ньютоном: . (2.6) Равносильный вариант полинома можно записать при симметричн

Применение интерполяции для решения уравнений
Интерполяция применяется для решения уравнений вида . (2.17) Если в области корня уравнения (2.17) вычислить его левую часть (n +1)точке и результаты поместить в табл. 2.1

Интерполяция сплайнами
Полиномиальная интерполяция не всегда дает удовлетворитель­ные результаты при аппроксимации зависимостей. Так, например, при представлении полиномами резонансных кривых колебательных си­стем больша

Общие положения
Если набор экспериментальных данных получен со значительной погрешностью, то не имеет смысла использовать интерполяцию по­линомами Лагранжа и сплайнами для обработки результатов. В этом случае необ

Степенной базис
Выберем базисные функции в виде последовательности степеней аргумента х, которые линейно независимы: φ0 (x) = х 0 = 1, φ1 (x) = х1

Базис в виде ортогональных полиномов дискретной переменной
Построим систему базисных функций φk(x)так, чтобы обращались в нуль скалярные произведения на дискретном множестве узловых точек (3.5), тогда матрица Грамма (3.4) будет диаго

Сглаживание экспериментальных данных с ошибками
Если некоторый набор экспериментальных данных содержит слу­чайные отклонения, а зависимость ( ) задана значениями ftдля рав­ноотстоящих абсцисс , то по ряду можно у

Апостериорные оценки погрешностей по Рунге и Эйткену
  Априорные оценки погрешностей (4.7) и (4.10) можно записать в виде , (4.11) где А — коэффициент, зависящий от метода интегрирования и вида подынтегр

Метод трапеций
Подинтегральную функцию заменим на участке полино­мом первой степени . Как и в методах прямоугольников, такая аппроксимация неоднозначна. Одним из возможных способов являет­ся проведение пря

Метод Симпсона
Подынтегральную функцию f(x) заменим интерполяционным по­линомом второй степени Р2(х) — параболой, проходящей через узлы (рис. 4.5), тогда где R— погрешн

Методы Ньютона-Котеса
В формулах Ньютона-Котеса порядок полинома п, которым за­меняется подынтегральная функция f(x) может принимать различные значения. В этом случае на интервале [а, b] интеграл ра

Вычисление интегралов с заданной точностью
Программная реализация формул Рунге или Эйткена позволяет вы­числить определенные интегралы с заданной точностью, когда выбор необходимого числа разбиений интервала интегрирования осуществля­ется а

Применение сплайнов для численного интегрирования
В разделе 2.5 рассмотрена интерполяция кубическими сплайнами, коэффициенты которых определяются из условий Лагранжа, условий непрерывности первой и второй производных в узлах и условий на кон­цах и

Методы наивысшей алгебраической точности
Подынтегральную функцию f(x) так же, как и в методах Ньютона-Котеса, будем аппроксимировать полиномами различных степеней. Од­нако в отличие от методов Ньютона-Котеса узлы для построения ин­

Несобственные интегралы
Известно несколько приемов вычисления разных типов несобственных интегралов [1, 2]. Иногда удается заменой переменных перейти от интегралов с бесконечными пределами к интегралам с конечными предела

Вычисление кратных интегралов
В общем виде задача приближенного вычисления кратного интеграла формулируется так же, как и задача приближенного вычисления однократного интеграла, только полные производные заменяются частными про

Метод Эйлера
Систему ОДУ (5.2) часто удается представить в каноническом ви­де, в так называемом виде Коши: (5.4) где k = 1,2,. ..,n.

Методы Рунге-Кутта
Для уменьшения погрешности метода интегрирования ОДУ, исполь­зующего разложение искомого решения вряд Тейлора (5.6), необходи­мо учитывать большее количество членов ряда. Однако при этом воз­никает

Метод Рунгe-Кутта-Мерсона
Мерсон предложил модификацию метода Рунге-Кутта четвертого порядка, позволяющую оценивать погрешность на каждом шаге и при­нимать решение об изменении шага. Схему Мерсона [22] с помощью эквивалентн

Методы Адамса-Башфорта и Адамса-Маултона
При решении задачи Коши методами Рунге-Кутта необходимо вы­числять правые части ОДУ в нескольких точках на каждом шаге. Ко­личество точек зависит от порядка используемого метода. После того, как ис

Методы Гира
Одним из методов Рунге-Кутта получим решения у1, у2, y3 задачи Кошив точках . (5.31) В окрестностях узлов искомое решение у(х)

Понятие о методах обратного дифференцирования
На практике часто приходится иметь дело с так называемыми «жесткими системами уравнений». Жесткие системы уравнений – это такие уравнения, которые моделируют пролцессы, обладающие явлением жесткост

Библиографический список
1. Мудров А.Е. Численные методы для ПЭВМ на языках Бейсик, Фортран, Паскаль. – Томск: МП "Раско", 1991. – 270с. 2. Калиткин Н.Н. Численные методы. – М.: Наука, 1978. –512 с.