Интерполяция полиномом Ньютона - раздел Образование, МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЙ В ЗАДАЧАХ По Данным Табл. 2.1 Построим Интерполяционный Полином Степени ПВ Виде,...
По данным табл. 2.1 построим интерполяционный полином степени пв виде, предложенном Ньютоном:
. (2.6)
Равносильный вариант полинома можно записать при симметричной перенумерации узлов исходной таблицы 0→n, 1→n-1, 2→n-2,…
(2.7)
Коэффициенты полиномов (2.6) и (2.7) определяются из условий Лагранжа
. (2.8)
Полагаем , тогда в формуле (2.6) все слагаемые, кроме , обращаются в нуль, следовательно,
. (2.9)
Затем полагаем , тогда по условию (2.8)
,
откуда находим коэффициент
(2.10)
который называется разделенной разностью первого порядка. Величина близка к первой производной функции f(x) при малом расстоянии между узлами и .
При х = полином (2.6) принимает значение
,
Из условия Лагранжа (2.8) определяем искомый коэффициент
, (2.11)
где
Величинаf012 называется разделенной разностью второго порядка, которая при близком расположении будет пропорциональна второй производной функции f(x).
Аналогичным образом при х = находим коэффициент полинома Ньютона
,(2.12)
где
Для коэффициента Akметодом математической индукции запишем следующее выражение:
(2.13)
Полученные результаты сведем в табл. 2.2.
Таблица 2.2. Разделенные Разности
x
Порядок разделенной разности
f0
Продолжение табл. 2.2
Для построения интерполяционного полинома Ньютона используются только диагональные элементы приведенной таблицы, остальные элементы являются промежуточными данными. Поэтому в программе, реализующей вычисление коэффициента полинома, разделенные разности для экономии памяти целесообразно размещать в массиве, где первоначально хранились значения функции f(x) в узлах. Этот массив будет частично обновляться при вычислении разделенных разностей очередного порядка. Так, при вычислении разностей первого порядка элемент остается неизменным (коэффициент (2.9)), элемент заменяется на (коэффициент (2.10)), — на и т.д. При вычислении разделенных разностей второго порядка первые два элемента массива , где размещены коэффициенты и полинома, оставляем неизменными, остальные элементы заменяем разделенными разностями.
Таким образом, после вычисления все коэффициенты полинома Ньютона будут размещены последовательно в массиве узловых значений функции f(x).
Заметим, что добавление новых узлов в табл. 2.2 не изменит уже вычисленных коэффициентов, таблица будет дополнена новыми строками и столбцами разделенных разностей.
Предлагаемая схема вычислений коэффициентов интерполяционного полинома Ньютона согласно табл. 2.2 обладает рядом преимуществ по сравнению с классической схемой [1, 2 ]. Во-первых, обеспечивается меньшая погрешность вычисления разделенных разностей при близко расположенных узлах за счет меньшего количества вычитаний близких чисел. Во-вторых, сокращается количество обращений к элементам массивов узлов и значений функции f(x), так как в формулах для разделенных разностей уменьшаемые в числителе и знаменателе остаются неизвестными для разности каждого порядка. В-третьих, аналитические выражения для коэффициентов полинома Ньютона получаются более простым способом.
После определения коэффициентов полинома Ньютона вычисление его значений при конкретных аргументах х наиболее экономично проводить по схеме Горнера, получаемой путем последовательного вынесения за скобки множителей в формуле (2.6):
(2.14)
В отличие от алгоритма вычисления полинома Лагранжа при интерполировании полиномом Ньютона удается разделить задачи определения коэффициентов и вычисления значений полинома при различных значениях аргумента х. Аналогичное разделение задач происходит при интерполяции каноническим полиномом (см. п. 2.1).
Погрешность полиномиальной аппроксимации функции определяется соотношением [2]:
(2.15)
.
где
Оценку погрешности (2.15) можно провести до вычисления интерполяционного полинома, подобная оценка называется априорной. Однако обычно заранее нам не известны производные функции f(x), поэтому в вычислительной практике используют апостериорную оценку, т.е. оценку после вычислений. Апостериорная оценка основана на том, что в случае близкого расположения узлов разделенные разности являются приближенными значениями производных соответствующего порядкаk, деленными на k!. Поэтому правая часть неравенства (2.15) приближенно совпадает по модулю с новым членом полинома Ньютона (2.6), появляющимся при добавлении (п + 1) -го узла. Таким образом, вычисление модуля каждого из членов суммы (2.6) позволяет установить, сколько узлов следует использовать для аппроксимации исходной функции f(x) с заданной погрешностью.
Если узлы xkрасположены равномерно с шагом h, то наименьшая погрешность будет в интервалах, примыкающих к центральному узлу, за счет минимальной величины произведения в правой части оценки (2.15). Особенно резко увеличивается погрешность при экстраполяции. В центральном интервале (при четном количестве узлов) получена следующая оценка погрешности [1, 2 ]:
Южно Российский государственный технический университет... Новочеркасский политехнический институт... Кафедра Электрические и электронные аппараты...
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ:
Интерполяция полиномом Ньютона
Что будем делать с полученным материалом:
Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
Колпахчьян П.Г., Подберезная И.Б., Чамлай С.В., Батищев Д.В.
Методы вычислений в задачах электроаппаратостроения, электрооборудования и электрического транспорта: Методические указания к проведению вычислительной практики. Юж.-Рос. гос. техн.
Решение систем линейных алгебраических уравнений
Вычислительные методы для решения СЛАУ разделяются на:
- прямые методы, которые позволяют получить точное решение за конечное число операций (при использовании точных вычислений без округ
Факторизация и типовые схемы решений
В ряде случаев решение СЛАУ может быть получено достаточно легко. Рассмотрим шесть важных вариантов вида матрицыА:
1) А представляет собой матрицу перестановок . Реше
Метод Гаусса и LU— разложение
Метод Гаусса упорядоченного исключения переменных используется для приведения СЛАУ к верхней треугольной форме с последующим решением методом обратной подстановки. Оценка общего числа необходимых
Метод Гаусса-Жордана обращения матриц
Пусть матрицаА— квадратная невырожденная. Метод Гаусса-Жордана позволяет получить обратную матрицу А-1 и найти решение
.
Данный метод использует тот же прием
Метод квадратного корня (Холесского)
Если А — симметричная положительно определенная матрица, то существует и единственное разложение
,
где U— верхняя треугольная матрица.
Выполн
Метод вращений
Матрицы вращений позволяют реализовать упорядоченное исключение переменных.
Построим ортогональную матрицу вращений R21 так, чтобы при левом умножении матрицы, обратной
Итерационное уточнение
При решении линейных алгебраических систем уравнений большой размерности накапливаются ошибки округления, полученное решение может неприемлемо отличаться от точного решения. В этом случае может быт
Алгебраических уравнений
Во многих приложениях возникает необходимость решения преопределенных систем уравнения, т.е. таких, в которых число уравнений m больше числа неизвестных n. Система уравнений имеет ран
Решение систем нелинейных алгебраических уравнений
В подовляющем большинстве случаев математические модели реальных объектов содержат нелинейные функции, их отсутствие в математической модели говорит, как правило, о наличии упрощений.
Реше
Метод последовательных приближений
Метод последовательных приближений применятся в тех случаях, когда каждая из функцйи может быть аналитечески разрешена относительно , т.е. система уравнений приводима к виду
Метод Ньютона
Ньютоновскими методами называют целое семейство методов, для которых собственно метод Ньютона служит базовым прототипом.
Рассмотрим простой пример (рис. 1.1).
Рис.
Метод Ньютона по параметру
Метод Ньютона по параметру относится к классу квазиньютоновских методов и предусматривает расчет нового исходного приближения по формуле
,
где — парам
Интерполяция каноническим полиномом
Одной из важнейших задач в процессе математического моделирования является вычисление значений функций, входящих в математическое описание модели. Для сложных моделей подобные выч
Интерполяция полиномом Лагранжа
Пусть табл. 2.1 задает п +1 значений функции f(x) в узлах xi. Лагранж предложил следующую форму интерполяционного полинома:
. (2.5)
Применение интерполяции для решения уравнений
Интерполяция применяется для решения уравнений вида
. (2.17)
Если в области корня уравнения (2.17) вычислить его левую часть (n +1)точке и результаты поместить в табл. 2.1
Интерполяция сплайнами
Полиномиальная интерполяция не всегда дает удовлетворительные результаты при аппроксимации зависимостей. Так, например, при представлении полиномами резонансных кривых колебательных систем больша
Общие положения
Если набор экспериментальных данных получен со значительной погрешностью, то не имеет смысла использовать интерполяцию полиномами Лагранжа и сплайнами для обработки результатов. В этом случае необ
Степенной базис
Выберем базисные функции в виде последовательности степеней аргумента х, которые линейно независимы:
φ0 (x) = х 0 = 1, φ1 (x) = х1
Базис в виде ортогональных полиномов дискретной переменной
Построим систему базисных функций φk(x)так, чтобы обращались в нуль скалярные произведения на дискретном множестве узловых точек (3.5), тогда матрица Грамма (3.4) будет диаго
Сглаживание экспериментальных данных с ошибками
Если некоторый набор экспериментальных данных содержит случайные отклонения, а зависимость ( ) задана значениями ftдля равноотстоящих абсцисс , то по ряду можно у
Метод трапеций
Подинтегральную функцию заменим на участке полиномом первой степени . Как и в методах прямоугольников, такая аппроксимация неоднозначна. Одним из возможных способов является проведение пря
Метод Симпсона
Подынтегральную функцию f(x) заменим интерполяционным полиномом второй степени Р2(х) — параболой, проходящей через узлы (рис. 4.5), тогда
где R— погрешн
Методы Ньютона-Котеса
В формулах Ньютона-Котеса порядок полинома п, которым заменяется подынтегральная функция f(x) может принимать различные значения. В этом случае на интервале [а, b] интеграл ра
Вычисление интегралов с заданной точностью
Программная реализация формул Рунге или Эйткена позволяет вычислить определенные интегралы с заданной точностью, когда выбор необходимого числа разбиений интервала интегрирования осуществляется а
Применение сплайнов для численного интегрирования
В разделе 2.5 рассмотрена интерполяция кубическими сплайнами, коэффициенты которых определяются из условий Лагранжа, условий непрерывности первой и второй производных в узлах и условий на концах и
Методы наивысшей алгебраической точности
Подынтегральную функцию f(x) так же, как и в методах Ньютона-Котеса, будем аппроксимировать полиномами различных степеней. Однако в отличие от методов Ньютона-Котеса узлы для построения ин
Несобственные интегралы
Известно несколько приемов вычисления разных типов несобственных интегралов [1, 2]. Иногда удается заменой переменных перейти от интегралов с бесконечными пределами к интегралам с конечными предела
Вычисление кратных интегралов
В общем виде задача приближенного вычисления кратного интеграла формулируется так же, как и задача приближенного вычисления однократного интеграла, только полные производные заменяются частными про
Типы задач для обыкновенныхдифференциальных уравнений
Обыкновенные дифференциальные уравнения (ОДУ) широко используются для математического моделирования процессов и явлений в различных областях науки и техники.
В дифференциальное уравнение
Метод Эйлера
Систему ОДУ (5.2) часто удается представить в каноническом виде, в так называемом виде Коши:
(5.4)
где k = 1,2,. ..,n.
Методы Рунге-Кутта
Для уменьшения погрешности метода интегрирования ОДУ, использующего разложение искомого решения вряд Тейлора (5.6), необходимо учитывать большее количество членов ряда. Однако при этом возникает
Метод Рунгe-Кутта-Мерсона
Мерсон предложил модификацию метода Рунге-Кутта четвертого порядка, позволяющую оценивать погрешность на каждом шаге и принимать решение об изменении шага. Схему Мерсона [22] с помощью эквивалентн
Методы Адамса-Башфорта и Адамса-Маултона
При решении задачи Коши методами Рунге-Кутта необходимо вычислять правые части ОДУ в нескольких точках на каждом шаге. Количество точек зависит от порядка используемого метода. После того, как ис
Методы Гира
Одним из методов Рунге-Кутта получим решения у1, у2, y3 задачи Кошив точках .
(5.31)
В окрестностях узлов искомое решение у(х)
Понятие о методах обратного дифференцирования
На практике часто приходится иметь дело с так называемыми «жесткими системами уравнений». Жесткие системы уравнений – это такие уравнения, которые моделируют пролцессы, обладающие явлением жесткост
Библиографический список
1. Мудров А.Е. Численные методы для ПЭВМ на языках Бейсик, Фортран, Паскаль. – Томск: МП "Раско", 1991. – 270с.
2. Калиткин Н.Н. Численные методы. – М.: Наука, 1978. –512 с.
Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Подпишитесь на Нашу рассылку
Наша политика приватности обеспечивает 100% безопасность и анонимность Ваших E-Mail
Новости и инфо для студентов