Гомоморфизм.

Пусть - группа и - другая группа или полугруппа. Пусть каждому элементу из сопоставлен некоторый элемент из , т. е. задано отображение в .

Определение. Отображение называется гомоморфным (или гомоморфизмом в ), если произведению любых элементов из соответствует произведение их образов, т. е. .

При этом не предполагается, что отображение является взаимно однозначным, т. е. различным элементам из может соответствовать один и тот же элемент из , а некоторые элементы из могут не являться образами каких-либо элементов из .

Лемма 1. Гомоморфизмом группы является группа. Образом единицы группы является единица образа и взаимно обратным элементам группы соответствуют взаимно обратные образы.

Доказательство. Так как и принадлежат , то из равенства следует, что . Ассоциативность следует из ассоциативности в и : . Покажем, что есть левая единица для : , т. е. - левая единица в . Из равенства следует, что является левым обратным элементом для элемента в . Аналогично доказывается существование правого обратного элемента и правой единицы. Таким образом, является группой.

Замечание. Если - полугруппа, а не группа, то может не быть единицей для всей . Однако является единицей для ,. Или для любой группы, содержащейся в и содержащей .

Пусть - гомоморфное отображение группы на группу .

Определение. Множество всех элементов из , имеющих один и тот же образ , , называется полным прообразом элемента и обозначается . Полный прообраз единицы группы называется ядром гомоморфизма.

Лемма 2. Ядро гомоморфизма группы на группу является полной нормальной подгруппой группы .

Доказательство. Пусть - ядро гомоморфизма. Так как является обратным элементом для , то . Если , то и, следовательно, . Если , то , т. е. . Если , , то , поэтому .

Лемма 3. В условиях леммы 2 полные прообразы элементов из являются классами смежности по ядру гомоморфизма.

Доказательство. Если и принадлежат одному классу смежности по , то при и . Если , то , поэтому , и .

Теорема (первая теорема о гомоморфизмах). Гомоморфный образ группы изоморфен ее факторгруппе по ядру гомоморфизма

Доказательство. Между образами при гомоморфизме и элементами факторгруппы имеется взаимно однозначное соответствие согласно лемме 3. Оно сохраняется при умножении: .

Отображение группы на факторгруппу по нормальной подгруппе , заключающееся в том, что каждому элементу группы сопоставляется содержащий его класс смежности, есть гомоморфизм и его ядро совпадает с . Это следует из определения умножения классов смежности как элементов факторгруппы. Это гомоморфизм на называется естественным гомоморфизмом. Поэтому первая теорема о гомоморфизме утверждает, что любой гомоморфизм в основном ( с точностью до изоморфизма) не отличается от естественного гомоморфизма группы на ее факторгруппу по ядру гомоморфизма.

Пример. Пусть - группа по умножению невырожденных квадратных матриц над полем , - полугруппа элементов поля относительно умножения и - отображение, ставящее в соответствие каждой матрице из ее определитель. Это отображение является гомоморфизмом, т. к. определитель от произведения матриц равен произведению их определителей. Образ состоит из всех элементов поля , кроме нуля. Любой элемент из есть определитель матрицы, отличающейся от единичной тем, что на главной диагонали вместо одной единицы стоит число . Ядром отображения является группа матриц с определителем, равным единице, так что эта группа есть нормальная подгруппа группы невырожденных матриц. Классы смежности по ядру составляют матрицы, имеющие одинаковый определитель.

Лемма 4. Пусть и - подгруппы группы , причем - нормальная подгруппа. Тогда - подгруппа группы и .

Доказательство. Пусть , причем , . Тогда , причем , т. к. - нормальная подгруппа, и . Поэтому . Пусть и принадлежат , , . Тогда , где в силу нормальности , , следовательно, . Лемма доказана.

Теорема (вторая теорема о гомоморфизме). Пусть и - подгруппы группы , причем - нормальная подгруппа. Тогда факторгруппа изоморфна факторгруппе .

Доказательство. Рассмотрим какой-либо гомоморфизм группы на группу с ядром , например, естественный гомоморфизм группы на . Образы элементов подгруппы группы составят некоторую подгруппу группы . Подгруппа является гомоморфным образом подгруппы при отображении , совпадающим с на . Ядром отображения является пересечение группы с ядром гомоморфизма . Поэтому изоморфна . С другой стороны, если и является образом элемента , то полный прообраз есть смежный класс , и объединение всех этих прообразов есть подгруппа группы . Поэтому образ при гомоморфизме снова совпадает с . Так как ядро гомоморфизмасодержится в группе , группа изоморфна . Отсюда следует изоморфизм факторгрупп и . Теорема доказана.

Пусть - нормальная подгруппа группы , - какая-либо промежуточная подгруппа, т. е. . Тогда есть нормальная подгруппа для и имеет смысл факторгруппа , которая является подгруппой группы .

Теорема (третья теорема о гомоморфизме). Пусть , где и - нормальные подгруппы в группе . Тогда есть нормальная подгруппа группы и изоморфна .

Эту теорему примем без доказательства.