Основы теории групп

Основы теории групп

 

Некоторые общие понятия алгебры.

Определение. Полугруппой называется множество, в котором определено действие, ставящее в соответствие каждой упорядоченной паре элементов данного… Действие предполагается ассоциативным. Полугруппами являются множество целых… Определение. Группой называется полугруппа, если в ней существует нейтральный элемент такой, что для каждого элемента…

Аксиомы группы.

Теорема 1. Если в полугруппе существует левый нейтральный элемент е такой, что при любом , и для любого элемента существует левый обратный элемент ,… Доказательство. Докажем, что левый нейтральный элемент является и правым… В дальнейшем в мультипликативной записи вместо будем использовать .

Подгруппы

Определение. Подмножество элементов группы называется подгруппой, если оно само образует группу относительно действия в . Из этого определения следует, что если , то и . Очевидно, что единица является… Теорема. Если подмножество элементов группы содержит вместе с двумя элементами их произведение и вместе с каждым…

Классы смежности.

 

Определение. Множество , где - подгруппа группы , - некоторый элемент из , называется левым классом смежности группы по подгруппе .

Между элементами подгруппы и элементами левого класса смежности имеется взаимно однозначное соответствие: , . Если подгруппа конечна, то число элементов в каждом левом классе смежности равно порядку .

Теорема 1. Два левых класса смежности группы по подгруппе либо совпадают, либо не имеют общих элементов.

Доказательство. Сначала докажем, что если два левых класса смежности имеют общий элемент, то они совпадают. Пусть и . Рассмотрим класс смежности . Так как , то при некотором выполняется равенство и . Но , поэтому . Следовательно, . Аналогично , так что . Теорема доказана.

При доказательстве этой теоремы выяснилось, что при любом , т. е. в качестве элемента, порождающего как правый множитель класс смежности, можно взять любой элемент из этого класса.

Определение. Дизъюнктивным объединением называется объединение множеств, попарно не имеющих общих элементов.

Теорема 2. Группа является дизъюнктивным объединением классов смежности по подгруппе.

Доказательство. Любой элемент группы принадлежит некоторому классу смежности, именно , а различные классы не имеют общих элементов. Теорема доказана.

Определение. Разбиение группы на левые классы смежности, не имеющие общих элементов, называется разложением группы по подгруппе.

Если число левых классов смежности в разложении группы по подгруппе конечно, то это число называется индексом подгруппы в группе и обозначается . Очевидно, что если группа конечна, то индекс любой ее подгруппы конечен.

Теорема 3. Пусть , причем и - подгруппы в . Если в имеет конечный индекс и в имеет конечный индекс, то в имеет конечный индекс и .

Доказательство. Пусть индекс подгруппы в группе равен , т. е. разложение по имеет вид: , и , . Тогда . Нужно показать, что классы смежности попарно не имеют общих элементов. Если и содержат общий элемент, то и , потому что и содержатся в . Следовательно, . Но в этом случае =, что возможно только при . Итак, есть дизъюнктивное объединение классов смежности . Их число равно =, т. е. . Теорема доказана.

Если подгруппа состоит только из одного единичного элемента, то классами смежности являются одноэлементные множества из элементов группы, поэтому индекс равен порядку группы .

Теорема Лагранжа. Во всякой конечной группе порядок ее подгруппы является делителем порядка самой группы.

Доказательство. Доказательство следует непосредственно из предыдущей теоремы, если рассмотреть: , то . Таким образом, порядок группы делится на порядок ее подгруппы и частное от их деления равно индексу в . Теорема доказана.

Наряду с левыми классами смежности можно рассматривать правые классы смежности . Для них также справедлива теорема о разложении группы по подгруппе.

Между левыми и правыми классами смежности имеется взаимно однозначное соответствие: отображение есть взаимно однозначное отображение группы на себя и это отображение переводит левые классы смежности в правые. Действительно, левый класс смежности состоит из элементов () и обратные элементы заполняют правый класс смежности . Поэтому если для группы имеется конечное число левых классов смежности, то столько же будет и правых, так что определение индекса подгруппы при помощи левых и правых классов смежности дает одно и то же.

 

Циклические группы.

Определение. Группа, составленная положительными и отрицательными степенями одного элемента , называется циклической группой. Говорят, что элемент порождает эту группу. Очевидно, что элемент также можно… Определение. Группа называется бесконечной (свободной) циклической, если элементы все попарно различны.

Арифметика остатков.

Зафиксируем некоторое натуральное число , которое назовем модулем. Если разность двух чисел делится на нацело, то пишут и говорят, что числа и… Будем использоватькак обозначение оператора модуля на множестве целых чисел,… Все возможные остатки от деления чисел на образуют множество . Очевидно, что - множество значений оператора модуля .…

Функция Эйлера.

Одной из главных задач арифметики остатков является решение уравнения относительно . Линейное уравнение с вещественными коэффициентами при всегда… Уравнение имеет ровно одно решение. Действительно, , где , или . Тогда . Это… Таким образом, встает вопрос, при каких значениях и уравнение имеет решения и как их все найти.

Мультипликативные обратные по модулю .

Решая уравнение вида , приходим к вопросу о существовании мультипликативного обратного числа по модулю . Другими словами, необходимо выяснить,… Обратный к элемент существует только тогда, когда НОД. Особый интерес… Определение. Полем называется множество с двумя операциями, обладающее дополнительными свойствами:

Алгоритм Евклида.

Рассмотрим алгоритм Евклида только для целых чисел. На многочлены алгоритм Евклида распространяется аналогичным образом, т. к. они, как и целые… Нахождение наибольший общий делитель двух многочленов состоит в следующем.… Процесс конечен, т. е. на некотором шагу деление выполнится без остатка, потому что степень каждого последующего…

Расширенный алгоритм Евклида.

С помощью алгоритма Евклида, вычисляя НОД, можно выяснить , обратимо ли число по модулю . Однако встает вопрос, как найти обратный к элемент. Так… Теперь найдем обратный элемент для по модулю . Применим сначала расширенный… Пример. Найти обратный элемент к 7 по модулю 19.

Китайская теорема об остатках.

Китайская теорема об остатках (КТО) является очень древней находкой математики, которой около 2000 лет. КТО утверждает, что система уравнений имеет единственное решение по модулю… Так как , то . С другой стороны, . Поэтому или . Поскольку НОД=НОД, можем решить последнее уравнение относительно .…

Конечные поля.

Множество остатков с операциями сложения и умножения является коммутативным кольцом, которое часто называется кольцом вычетов по модулю . Все возможные остатки от деления чисел на образуют множество . Очевидно, что -… Поле – это коммутативное кольцо, в котором каждый ненулевой элемент обратим.

Нормальные подгруппы и факторгруппы.

Определение. Подгруппа группы называется нормальной (или инвариантной, или нормальным делителем группы ), если она с каждым элементом содержит все… В абелевой группе любая подгруппа нормальна, т. к. при любых и выполняется… Из определения нормальной подгруппы ясно, что нормальная подгруппа группы является нормальной для любой подгруппы ,…

Классы смежности по нормальной подгруппе и факторгруппа.

 

Предложение 1. Пусть - нормальная подгруппа группы и -какой-либо элемент . Тогда .

Доказательство. По определению нормальной подгруппы . Тогда и . Поэтому и, следовательно, .

Предложение 2. Если - нормальная подгруппа группы и , то .

Доказательство. Согласно предыдущему предложению . Умножив это равенство слева на , получим требуемое равенство.

Предложение 3. Классы смежности по нормальной подгруппе образуют группу относительно умножения подмножеств группы. Единицей этой группы является сама подгруппа.

Доказательство. Пусть - группа и - ее нормальная подгруппа. Рассмотрим произведение двух классов смежности и . Воспользуемся ассоциативностью умножения подмножеств и предложением 2. Имеем: , т. е. произведение двух классов смежности оказалось классом смежности. Далее, и , так что есть единица при этом умножении. Осталось рассмотреть наличие обратного элемента: и . Следовательно, есть обратный элемент для .

Определение. Группа, образованная классами смежности группы по нормальной подгруппе называется факторгруппой по и обозначается .

Определение факторгруппы можно сформулировать в терминах сравнения. Назовем два элемента и сравнимыми по нормальной подгруппе , если или, что то же самое, , т. е. и принадлежат одному классу смежности по . Тогда, если и , то , так как , и при , т. е. .Поэтому, если определить произведение классов как класс, содержащий произведение каких-либо представителей этих классов, определение будет корректным. Оно совпадает с определением произведения классов смежности как элементов факторгруппы.

 

Гомоморфизм.

Пусть - группа и - другая группа или полугруппа. Пусть каждому элементу из сопоставлен некоторый элемент из , т. е. задано отображение в . Определение. Отображение называется гомоморфным (или гомоморфизмом в ), если… При этом не предполагается, что отображение является взаимно однозначным, т. е. различным элементам из может…