рефераты конспекты курсовые дипломные лекции шпоры

Раздел Образование
/
Арифметика остатков.

Реферат Курсовая Конспект

Выберите учебное заведение

Арифметика остатков.

Арифметика остатков. - раздел Образование, Основы теории групп Зафиксируем Некоторое Натуральное Число ...

Зафиксируем некоторое натуральное число , которое назовем модулем. Если разность двух чисел делится на нацело, то пишут и говорят, что числа и сравнимы по модулю . В этом случае числа и имеют одинаковый остаток от деления на . Если ясно, по какому модулю происходит сравнение чисел и , то просто пишут .

Будем использоватькак обозначение оператора модуля на множестве целых чисел, который вычисляет наименьшее натуральное число, сравнимое с данным по модулю . Например, , .

Все возможные остатки от деления чисел на образуют множество . Очевидно, что - множество значений оператора модуля . Некоторые авторы обозначают это множество .

Поскольку все сравнимые между собой по модулю целые числа имеют один и тот же остаток, будем считать, что элемент изображает целый класс чисел вида , где . Таким образом, оперируя с целыми числами по модулю , будем считать все сравнимые между собой числа равными друг другу и вместо знака «» использовать знак «=».

На множестве есть две основные операции – сложение и умножение. Они определяются обычным путем: если и , то = и = . Например, = и .

Сложение и умножение по модулю работают почти так же, как арифметические операции над вещественными и целыми числами. Они обладают следующими свойствами.

1. Замкнутость сложения: : .

2. Ассоциативность сложения: : .

3. Нуль является единичным (нейтральным) элементом по сложению : : .

4. Всегда существует обратный (противоположный) элемент по сложению: : .

5. Коммутативность сложения: : .

6. Замкнутость умножения: : .

7. Ассоциативность умножения: : .

8. Число 1 является единичным (нейтральным) элементом по умножению: : .

9. Умножение и сложение связаны законом дистрибутивности: : .

10. Коммутативность умножения: : .

Определение. Кольцом называется множество с двумя операциями (сложение и умножение), которые обладают свойствами 1-9.

Если умножение в кольце окажется коммутативным, то такое кольцо называется коммутативным кольцом.

Множество остатков с операциями сложения и умножения является коммутативным кольцом, которое часто называется кольцом вычетов по модулю .

Развернуть

Открыть в широком формате

– Конец работы –

Эта тема принадлежит разделу:

Основы теории групп

Некоторые общие понятия алгебры Определение Полугруппой называется множество в котором определено... Классы смежности...

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Арифметика остатков.

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Все темы данного раздела:

Некоторые общие понятия алгебры.
Определение. Полугруппой называется множество, в котором определено действие, ставящее в соответствие каждой упорядоченной паре элементов данного множества трет

Аксиомы группы.
Теорема 1. Если в полугруппе существует левый нейтральный элемент е такой, что при любом

Подгруппы
Определение. Подмножество элементов группы наз

Циклические группы.
Определение. Группа, составленная положительными и отрицательными степенями одного элемента , называетс

Функция Эйлера.
Одной из главных задач арифметики остатков является решение уравнения относительно

Мультипликативные обратные по модулю .
Решая уравнение вида , приходим к вопросу о существовании мультипликативного обратного

Алгоритм Евклида.
Рассмотрим алгоритм Евклида только для целых чисел. На многочлены алгоритм Евклида распространяется аналогичным образом, т. к. они, как и целые числа, обладают свойством евлидовости

Расширенный алгоритм Евклида.
С помощью алгоритма Евклида, вычисляя НОД, можно выяснить , обратимо ли число

Китайская теорема об остатках.
Китайская теорема об остатках (КТО) является очень древней находкой математики, которой около 2000 лет. КТО утверждает, что система уравнений

Конечные поля.
Множество остатков с операциями сложения и умножения является коммутативным кольцом, которое часто называется кольцом вычето

Нормальные подгруппы и факторгруппы.
Определение. Элемент группы называется сопряженным

Гомоморфизм.
Пусть - группа и - другая группа или полугруппа. Пусть каждому эле