Основные характеристики задач оптимизации, выбора и принятия решений.

Теория выбора и принятия решений исследует математические модели процессов принятия решений и их свойства. Основной в ней является задача принятия решений, которая соответствует широкому кругу практических ситуаций.

В наиболее общем смысле теория принятия оптимальных решений представляет собой совокупность математических и численных методов, ориентированных на нахождение наилучших вариантов из множества альтернатив и позволяющих избежать их полного перебора.

Теория принятия решений – область исследования, вовлекающая понятия и методы математики, статистики, экономики, менеджмента и психологии; изучает закономерности выбора людьми путей решения разного рода задач, а также исследует способы поиска наиболее выгодных из возможных решений (из Википедии).

На предприятии освободилась должность главного инженера. Задача директора - назначить главного инженера.

В 2008 году Ю.П. Похолков (ректор ТПУ) ушел в отставку. Задача – выбор нового ректора.

Строительному тресту поручено выполнить комплекс работ. Задача управляющего трестом – распределить работы по строительным управлениям.

Транспортному агентству необходимо перевести заданный объём грузов. Задача диспетчера – определить маршрут перевозок.

В этих задачах общим является следующее. Имеется множество вариантов (кандидатов на должность, назначенных работ, маршрутов). Нужно из этого множества выделить некоторое подмножество, в частном случае – один вариант. Выделение требуемых вариантов производится на основе представления директора, управляющего, диспетчера об их качестве. Представление о качестве вариантов характеризуют принципом оптимальности. Например, при проектировании на основе САПР имеется возможность получить множество решений различных задач. Выделение некоторого подмножества решений задач относится к проблемам выбора и принятия решений.

Множество вариантов и принцип оптимальности (функция выбора) позволяют ввести следующие понятия.

Опр. Задачей принятия решений назовём пару <X, ОП>, где X – множество вариантов, ОП – принцип оптимальности, дающий представление о качестве вариантов, в простейшем случае правило предпочтения вариантов;

Решением задачи <X, ОП> является множество X_оп ÍX, полученное с помощью принципа оптимальности ОП.

Понятие "оптимальность" описывается функцией выбора (ФВ). ФВ – это правило, которое каждому допустимому набору вариантов (решений) ставит в соответствие его поднабор наилучших, или оптимальных вариантов, т.е. ФВ есть формальный (т.е. строго определённый) объект, отражающий весьма неформальную вещь: представление человека об оптимальности. Поэтому в ТПР говорят, например: "Принцип оптимальности выражается ФВ, определяемой близостью к "идеальной" точке"; "Принцип оптимальности выражается бинарным отношением специального вида"; "Принцип оптимальности задаётся условием: x лучше y, если x>y, и набору подлежат варианты с максимальным значением".

Задачи принятия решений различают в зависимости от имеющейся информации о множестве X и принципе оптимальности ОП.

В общей задаче принятия решений как X, так и ОП могут быть неизвестными. Информацию, необходимую для выделения X_оп получают в процессе решения.

Задачу, где X и ОПмогут быть неизвестными, называют общей задачей принятия решений. Данные для получения X_оп определяют в этой задаче в процессе решения

Задачу с известным X называют задачей выбора.

Задачу с известными X и ОП - общей задачей оптимизации.

Таким образом, задача выбора и задача оптимизации являются частными случаями общей задачи принятия решений.

Задачу принятия решения решают следующим образом. Составляют множество X,если это возможно, т.е. определяют варианты, а затем решают задачу выбора. Отметим, что задача построения Xв общем случае является задачей выбора. Следовательно, общую задачу принятия решений можно свести к решению последовательных задач выбора. В принятии решения в общем случае участвует ЭВМ; лицо, принимающее решение (ЛПР); эксперт и консультант (см. далее стр. 7).

Языки описания выбора

При описании задач выбора видно, как об одном и том же явлении можно говорить на языках различной общности. К настоящему моменту сложилось три основных языка описания выбора. Самым простым, наиболее развитым (и, быть может, поэтому чаще употребляемым в приложениях) является критериальный язык. Второй, более общий язык, на котором описывается выбор, – это язык бинарных отношений. Некоторые особенности выбора привели к построению третьего, ещё более общего языка его описания. Во-первых, нередко приходиться сталкиваться с ситуациями, когда предпочтение между двумя альтернативами зависит от остальных альтернатив. Например, предпочтение покупателя между чайником и кофеваркой может зависеть от наличия в продаже кофемолки. Во-вторых, возможны такие ситуации выбора, когда понятие предпочтения вообще лишено смысла. Например, по отношению к множеству альтернатив довольно обычными являются правила выбор "типичного", выбора "среднего", выбора "наиболее отличного, оригинального", теряющие смысл в случае двух альтернатив. Третий язык – язык функций выбора.

Подведём итог. Язык функций выбора является весьма общим и потенциально может описать любой выбор. Однако его теория находиться в начальной стадии развития и пока ещё занимается преимущественно описанием старых ситуаций в новых терминах.

Summary. The language of choice functions is very general and can potentially describe any type of choice. However, its theory is only beginning to be developed and is still occupied with describing old situations in new terms [Перегудов, Тарасенко].

Элементы множества X называют альтернативами или вариантами. Принцип оптимальности задаёт понятие лучших альтернатив: лучшими считают альтернативы, принадлежащие X_оп или С_оп(X), где С_оп - функция выбора (если С_оп - скалярная функция выбора на множестве X, то получаем обычную оптимизационную задачу.

Таким образом, "решение" это и есть какой-то выбор из ряда возможностей, имеющихся у организатора. Решения бывают плохими и плохими, продуманными и скороспелыми, обоснованными и произвольными.

Опр. Всякий определённый выбор зависящих от нас параметров называется решением. Решения могут быть удачными и неудачными, разумными и неразумными.

Оптимальными называются решения, по тем или другим признакам предпочтительные перед другими.

Зам. В САПР встречаются все три вида перечисленных задач. Нужно построить трассу, соединяющую два элемента на плате. Возможные различные пути соединения будут вариантами. Пользователь в соответствии с алгоритмом учитывает длину, стоимость, число изгибов, число пересечений. Значение длины трассы можно выразить числом. Длину считать критерием оптимальности (критерий (греческий) – отличительный признак, мерило).

В процессе решения задачи принятия решений участвуют следующие лица: лицо, принимающее решение; эксперты; консультанты.

Опр. Лицом, принимающим решения (ЛПР), называют человека (или группу людей), имеющего цель, которая служит мотивом постановки задачи и поиска её решения. ЛПР является компетентным специалистом в своей области и обладающее опытом деятельности в ней, наделено необходимыми полномочиями и несёт ответственность за принятое решение. В задаче принятия решений основная функция ЛПР состоит в выделении X_оп. В рассматриваемых процедурах принятия решений ЛПР даёт информацию о принципе оптимальности.

Опр. Экспертом (Э) называют специалиста, имеющего информацию о рассматриваемой задаче, но не несущего непосредственной ответственности за результат её решения. Эксперт даёт оценки альтернатив, необходимые для формирования исходного множества альтернатив и решения задачи выбора.

Помощь экспертов неоценима: каждый военачальник имеет штаб; ректор вуза или директор НИИ – учёный совет; министр – коллегию; в отдельных случаях образуют разовую группу экспертов для рассмотрения конкретной ситуации (см. Перегудов Ф.И., Тарасенко Ф.П. Основы системного анализа: Учеб. 2 – е изд., доп. – Томск: Изд–во НТЛ. 1997. – 396 с., стр. 263).

Опр. Консультантом (К) называют специалиста по теории выбора и принятия решений. Консультант разрабатывает модель исходной задачи, процедуру принятия решения, организует работу ЛПР и экспертов при поиске решения. Консультанты также называются исследователями, аналитиками, членами рабочей группы и др.

У ЛПР есть своё понимание оптимальности, то, казалось бы, пусть оно берёт и осуществляет выбор. Но обычно задачу выбора ЛПР решает в простейших случаях без использования специальных процедур. Однако для автоматизированного выбора проектных решений требуются математические модели и методы, которые помогают ЛПР получать обоснованные эффективные решения.

Замечание. В инженерной практике в задачу выбора включают большее количество параметров. Например, некоторые включают семь параметров