рефераты конспекты курсовые дипломные лекции шпоры

Раздел Образование
/
Расчёт компромиссных кривых.

Реферат Курсовая Конспект

Выберите учебное заведение

Расчёт компромиссных кривых.

Расчёт компромиссных кривых. - раздел Образование, ТЕОРИЯ ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЙ Аналитический Подход. Если Функции F1(X) И F2...

Аналитический подход. Если функции F₁(X) и F₂(X) дифференцируемы, то можно попытаться найти геометрическое место точек соприкосновения поверхностей уровня F₁(X)=b1 и F₂(X)=b2. В таких точках gradF₁=-lgradF₂, 0£ l< ¥.

Последнее векторное уравнение равносильно n скалярным алгебраическим уравнениям которые определяет кривую в пространстве параметров x₁=j₁(l), ..., x_n=j_n(l). Если участок этой кривой, на котором l³0 принадлежит множеству D, то он принадлежит и множеству P (P - множество Парето). Участок КК в этом случае определяется параметрическими уравнениями:

F₁=F₁(j₁(l), ..., j_n(l)),

F₂=F₁(j₁(l), ..., j_n(l)), l³0.

Пример 1. В квадрате D={-1£ x₁£ 1, -1£ x₂£ 1} заданы два критерия

которые желательно минимизировать.

1. Находим минимумы функций F₁ и F₂ . Абсолютные минимумы находятся в точках (0,0) и (-1,1) и принадлежат D.

2. Находим частные производные

составляем систему уравнений

4x₁=-l (x₁+1)

x₂=-l (x₂-1).

Отсюда получаем параметрическое уравнение кривой в пространстве параметров

В данном случае можно получить уравнение этой кривой в более распространённой форме: y=f(x). Для этого решаем эти уравнения относительно параметра l. Получим

Приравнивая правые части и разрешая относительно x₂, получим уравнение паретовской кривой P: .

Параметрическое уравнение КК будет иметь следующий вид

F₁(l)=

F₂(l)=.

Закономерность КК: F₁ возрастает от 0 до 5, а F₂ убывает от 2 до 0.

Построим графики паретовских кривых в области D и пространстве критериев (рис. 6 и 7).

Рис. 6. Область D и множество P Рис. 7. Компромиссная кривая

Пример 2. В области D₁={-0.5 £ x₁£ 0.5, 0 £ x₂£ 1} заданы два критерия

которые нужно минимизировать с учетом функциональных ограничений úx₂-x₁-0.375ú ³ 0.125.

а) рассмотрим сначала случай без функциональных ограничений

1. Находим минимумы функций F₁ и F₂. Абсолютные минимумы находятся в точках X₁_opt=(0,0) и X₂_opt=(-1,1) и первая точка принадлежат D, а вторая нет. Находим условный минимум для функции F₂: X_2услов=(-0.5, 1); находим значения функций в этой точке F₂(-0.5,1)=0.25, F₁(-0.5,1)=4.25.

2. Находим частные производные

составляем систему уравнений

2x₁=-2l (x₁+1),

8x₂=-2l (x₂-1).

Отсюда получаем параметрическое уравнение кривой в пространстве параметров

Приравнивая правые части и разрешая относительно x₂, получим уравнение паретовской кривой P: . Найдём точку пересечения кривой с x₁=-0.5. Получим Xп=(–0.5; 0.2). Это соответствует случаю, когда λ меняется от 0 до 1 (0≤λ≤1). Для удобства введём новые обозначения: P₁ – паретовская кривая в области D₁ и КК₁ – соответствующая компромиссная кривая в области критериев.

Параметрическое уравнение КК будет иметь следующий вид (когда точки X₁_opt=(0,0) и X₂_opt=(-1,1) принадлежат области D)

F₁(l)=

F₂(l)=.

Построим графики паретовских кривых в области D и пространстве критериев (рис. 8 и 9).

X₂усл

X₁opt

Xп

Рис. 8. Область D₁ и множество P₁ Рис. 9. Компромиссная кривая КК₁

Рис. 10. Пространство оценок и компромиссная кривая

Таким образом, паретовская кривая P₁ будет состоять из двух кусков: от X_1opt Xп и от X_П до X_2усл. Как видно из рисунка 8 на отрезке [-0.5,0] P и P₁ совпадают.

Компромиссная кривая КК₁ также состоит из двух частей. Левая часть от 0 до 0.41, которая совпадает с компромиссной кривой КК и правая часть, которая соответствует второй части кривой P₁.

Закономерность КК: F₁ возрастает от 0 до 4.25, а F₂ убывает от 2 до 0.

б) введём функциональные ограничения. Область D₁ в этом случае будет иметь вид (см. рис. 11). Находим условный минимум для функции F₁ и F₂ . Они лежат в точках X₁_opt=(0,0) и X₂_opt=(-0.5, 1). Как видно из полученных результатов точки минимумов не изменились.

Рис. 11. Область D₁ Рис. 12. Пространство оценок

Рис. 13. Область D (синий цвет) и множество Парето (тёмно-синий цвет)

Из рассмотренного примера видно, что нахождение множества P в аналитическом виде является сложной задачей. Поэтому в настоящее время широко используются численные методы построения решений оптимальных по Парето (см. раздел "Численные методы получения множеств Парето").

Развернуть

Открыть в широком формате

– Конец работы –

Эта тема принадлежит разделу:

ТЕОРИЯ ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЙ

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования... НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ... В М Горбунов...

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Расчёт компромиссных кривых.

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Все темы данного раздела:

Основные характеристики задач оптимизации, выбора и принятия решений.
Теория выбора и принятия решений исследует математические модели процессов принятия решений и их свойства. Основной в ней является задача принятия решений, которая соответствует широкому кругу прак

Человеко-машинные системы и выбор
Основной причиной возникновения системного анализа является необходимость разрешения сложных проблем, управления сложными системами. Многие существенные особенности преодоления сложности можно прос

Системы поддержки решений
Это третье направление представлено системами "интерактивной оценки решений" и особенно "системами поддержки решений" (DSS – Decision Support Systems). Системы поддержк

Тема. Многокритериальные задачи оптимизации
Общие сведения о многокритериальных задачах оптимизации До сих пор мы рассматривали задачи оптимизации, где ясен критерий (показатель эффективности) по кото

Математическая модель объекта проектирования
При решении задач следует основное внимание обратить на предварительный этап – составление математической модели (ММ) и на заключительном этапе – всесторонний анализ полученного оптимального решени

Постановка задачи многокритериальной оптимизации
Предполагается, что m³2, при m=1 задача оптимизации является однокритериальной (скалярной). Опр. 13. Задачи оптимизации, в которых имеется не одна, а несколько целевых функций (критер

XÎD XÎD XÎD XÎD XÎD
где D – область работоспособности; F1(X) – нагрузочная способность; F2(X), F3(X) – помехоустойчивость; F

Проблемы решения задач многокритериальной оптимизации
На предыдущей лекции мы сформулировали задачу многокритериальной оптимизации (ЗМО): min F(X) или min (F1(X), F2(X), . . . ,

В целом, все принимаемые в ТПР принципы оптимальности прямо или косвенно отражают идеи устойчивости, выгодности и справедливости.
Учёт приоритета критериев. Обычно из физического смысла задачи следует, что локальные критерии имеют различную важность при решении задачи, т.е. один локальный критерий имеет какой-то приори

Отношение доминирования по Парето. Парето-оптимальность
Как было сказано раньше для всякого решения XÎD набор его оценок по всем критериям, т.е. набор (F1(X), F2(X), . . .,Fm(X)), есть векторная оценка решения X. Векторная оц

Аналитические методы построения множества Парето
Компромиссная кривая Особый интерес для практики — m=2. В этом случае множество паретовских точек представляет собой одномерное многообразие на плоскости и допускае

Способы сужения Парето-оптимального множества
Выделение множества Парето многокритериальной задачи оптимизации часто не является удовлетворительным решением. Это связано с тем, что при достаточно большом исходном множестве вариантов множество

Тема. Методы определения весовых коэффициентов
Введение.Можно сказать, что веса критериев – самое тонкое место в проблеме критериального анализа. Чаще всего веса назначают, исходя из интуитивного представления о сравните

Метод ранжирования
Метод ранжирования заключается в следующем. Пусть экспертиза проводится группой из L экспертов, которые являются квалифицированными специалистами в той области, где принимается решени

Метод приписывания баллов
Этот метод основан на том, что эксперты оценивают важность частного критерия по шкале [0-10]. При этом разрешается оценивать важность дробными величинами или приписывать одну и ту же величину из вы

Обработка результатов экспертных оценок
Если рассматривать результаты оценок каждого из экспертов как реализации некоторой случайной величины, то к ним можно применять методы математической статистики. Среднее значение оценки для i - го

Формальные методы определения весовых коэффициентов
Рассмотрим некоторые способы и числовые приемы, позволяющие по информации о качестве значений частных критериев оптимальности определять значения весовых коэффициентов λi. Спо

Методы замены векторного критерия скалярным
Одним из подходов к поиску компромиссного решения задач векторной оптимизации является сведение её к задаче параметрической оптимизации, т.е. сведение её к однокритериальной (скалярной) оптимизации

Проблемы построения обобщённого критерия для векторных задач оптимизации
(этот материал взят из книги В.В. Розена "Модели принятия решений в экономике") Вопросы: · Сложности в построении обобщённого критерия; примеры. · Формальное оп

Метод главного критерия
Существует один, часто применяемый способ свести многокритериальную задачу к однокритериальной – это выделить один (главный, основной) критерий F1 и стремиться его обратить в максимум (м

Метод последовательных уступок
Встречаются случаи, когда пользователь готов на некоторое снижение величин более важных критериев, чтобы повысить величину менее важных. В таких ситуациях можно воспользоваться методом уступок

Лексикографический критерий
Противоположным крайним случаем является ситуация, в которой разница между упорядоченными критериями настолько велика, что следующий в этом ряду критерий рассматривается только в том случае, сравни

Постановка детерминированной лексикографической задачи оптимизации
Пусть имеется стратегия X1, которой соответствует вектор значений частных критериев (F1(X1), F2(X1),…,Fm(X1)). Все частные критерии

Метод равенства частных критериев
Критерии работают на принципе компромисса, основанного на идее равномерности. Основываясь на идее равномерного компромисса, стараются найти такие значения переменных X, при которых нормированные зн