ТЕОРИЯ ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЙ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ
ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

В.М. Горбунов

ТЕОРИЯ ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЙ

Учебное пособие

ТОМСК –2010

СОДЕРЖАНИЕ

 

 

Лекция №1. Введение. Основные понятия и определения ТПР

Лекция №2. Многокритериальная оптимизация

Лекция №3. Оптимальность по Парето

Лекция №4. Методы определения весовых коэффициентов

Лекция №5. Методы замены векторного критерия скалярным

Лекция №6. Методы последовательной оптимизации

Лекция №7. Принятие решений в условиях неопределённости. Теория игр. Теория статистических решений

Лекция №8. Принятие решений в условиях риска

Лекция №9. Принятие решений в условиях риска с проведением эксперимента

Лекция №10. Марковские модели принятия решений

Лекция №11. Заключительная

 

Лекция №1

Введение

История — утомительная прогулка от Адама до атома"

Леонард Луис Левинсон,
американский писатель

Говорят, самое сложное –

это сделать правильный выбор.

(Из газет)

На протяжении всей истории люди при необходимости принимать решения прибегали к сложным ритуалам. Они устраивали торжественные церемонии, приносили в жертву животных, гадали по звёздам и следили за полётом птиц. Они полагались на народные приметы и старались следовать примитивным правилам, облегчающим им трудную задачу принятия решений. В настоящее время для принятия решения используют новый и, по-видимому, более научный "ритуал", основанный на применении ЭВМ [c. 8, Д. Химмельблау. Прикладное нелинейное программирование. – М.: Мир, 1974. 534 с.].

Таким образом, необходимость принятия решений так же стара, как и само человечество. Несомненно, уже в доисторические времена первобытные люди, отправляясь, скажем, охотится на мамонта, должны были принимать те или иные решения: в каком месте устроить засаду? Как расставить охотников? Чем их вооружить?

Процессы принятия решений лежат в основе любой целенаправленной деятельности человека. Например, при создании новой техники – составляют важный этап в проектировании машин, приборов, устройств, зданий, в разработке технологии их построения и эксплуатации; в социальной сфере – используются для организации функционирования и развития социальных процессов, их координации с хозяйственными и экономическими. В области инженерной практики и не только возникает потребность в принятии сложных решений, последствия которых бывают очень велики. В связи с этим появляется потребность в руководстве по принятию решений, которые упрощали бы этот процесс и придавали решениям большую надёжность (в учебном процессе появляются соответствующие дисциплины, например, ТПР). Такая тенденция неизбежно требует формализации процесса принятия решений, против чего у практиков могут возникать определённые возражения. Дело в том, что важные решения принимаются опытными людьми, довольно далёкими от математики, и особенно от её новых методов, и опасающимися больше потерять от формализации, чем выиграть.

Следовательно, от науки требуются рекомендации по оптимальному (разумному) принятию решений. Прошло то время, когда правильное, эффективное решение находилось "на ощупь", методом "проб и ошибок". Сегодня для выработки такого решения требуется научный подход – слишком велики потери, связанные с ошибками. Оптимальные решения позволяют достичь цели при минимальных затратах трудовых, материальных и сырьевых ресурсах. Таким образом, анализу и методам принятия оптимальных решений (эффективных решений) в настоящее время уделяется большое внимание.

Методы поиска оптимальных решений рассматривают в разделах классической математики, связанных с изучением экстремумов функций, в математическом программировании. Решением этих задач является математический объект, основным свойством которого является то, что он доставляет экстремум заданной функции или функционалу. Как правило, оценка решения производится по одному аспекту или критерию. На практике решение нужно оценить с различных сторон, учитывая физические (габариты, вес), экономические (стоимость, ресурсоёмкость), технические (реализуемые функции) и другие критерии. Всё это требует построения модели оптимизации решений одновременно по нескольким критериям. Такие модели разрабатывают в теории выбора и принятия решений. Здесь при постановке задачи уже недостаточно построить оптимизируемые функционалы. Требуется ввести принцип оптимальности, который определяет понятие оптимального решения. Поскольку оптимальность решения даже в одной и той же ситуации может пониматься по-разному, вид принципа оптимальности в моделях принятия решений заранее не фиксируют. Именно в этом состоят основные особенности задач принятия решений.

Основные характеристики задач оптимизации, выбора и принятия решений.

В наиболее общем смысле теория принятия оптимальных решений представляет собой совокупность математических и численных методов, ориентированных на… Теория принятия решений – область исследования, вовлекающая понятия и методы… На предприятии освободилась должность главного инженера. Задача директора - назначить главного инженера.

Классификация задач выбора

Классификацию проводят по следующим признакам:

1. Вид отображения F детерминированное, вероятностное или неопределённое, что позволяет выделить соответственно:

задачи ПР в условиях определенности (детерминированные)[1];

задачи ПР в условиях риска (вероятностная неопределённость);

задачи ПР в условиях неопределённости.

2. Мощность множества критериев - одноэлементное или состоящее из нескольких критериев:

задачи ПР со скалярным критерием (однокритериальная задача);

задачи ПР с векторным критерием (многокритериальные задачи).

3. Тип системы - отображает предпочтения одного лица или коллектива, поэтому

задачи индивидуального ПР;

задачи группового ПР. (Ларичев. Диалоговые системы принятия решений).

Уточним задачи ПР в пункте 1. В условиях определённости, существует детерминированное отображение множества альтернатив (решений) во множество их критериальных оценок. Имеет место тогда, когда для каждой альтернативы можно указать соответствующее ей точное значение любого критерия.

Человеко-машинные системы и выбор

Как бы ни понималась сложность, простота понимается одинаково: простым является случай, когда посторонняя помощь не требуется. В сложных случаях,… Во всех этих отношениях возможности ЭВМ превосходят способности человека, и… Вряд ли возможно, да и не стоит создавать универсальную систему на все случаи жизни. На практике идут по пути создания…

Пакеты прикладных программ для выбора

К первому относятся программы и пакеты программ для решения конкретных хорошо определённых задач выбора. Примером может служить математическое обеспечение ЭВМ для статистической обработки данных (т.е. выбора в условиях стохастической неопределённости).

Базы знаний и экспертные системы

Второе направление – создание баз знаний и экспертных систем. В настоящее время это, пожалуй, главный путь движения к "искусственному интеллекту".

Экспертные системы имеют широкие перспективы: известны их многочисленные практические реализации в разнообразных предметных областях. Некоторые важные принципы организации экспертных систем, учитывающие расплывчатость терминов естественного языка, были заложены Д.А. Поспеловым ещё в системах ситуационного управления.

Если первое направление ориентировано на полную автоматизацию хорошо формализованных задач, то второе – на создание систем, накапливающий опыт экспертов и, по существу, впоследствии заменяющих самих экспертов. В третьем современном направлении развития человеко-машинных систем выбора делается основной акцент на участие самого лица, принимающего решения, в попытках формализовать задачу выбора, в самостоятельном сравнении и оценивании с помощью ЭВМ различных альтернатив разными способами.

Системы поддержки решений

Системы поддержки решений ориентированы не на автоматизацию функций лица, принимающего решения, а на предоставление ему помощи в поиске хорошего…   Некоторые определения и понятия.

Тема. Многокритериальные задачи оптимизации

Общие сведения о многокритериальных задачах оптимизации   До сих пор мы рассматривали задачи оптимизации, где ясен критерий (показатель эффективности) по которому проводится…

Математическая модель объекта проектирования

Составление математической модели начинается с выбора переменных, совокупность числовых значений, которых однозначно определяет один из вариантов… Наконец, составляется целевая функция (функции), которая в математической… Опр. 1. Приближённое описание объекта, выраженное с помощью математической символики, называют математической…

Стремление оперирующей стороны к достижению цели описывается стремлением к увеличению (уменьшению) функций F1(X), F2(X), . . . , Fm(X), называемых критериями эффективности.

Встречаются также названия: показатели качества, эффективности, критериальные функции, функции предпочтения, функция полезности, целевые функции, частные критерии или локальные критерии.

Если оптимизация ведётся без учёта статистического разброса характеристик, то соответствующий критерий оптимальности называют детерминированным критерием, если разброс параметров учитывается, то имеем критерий статистический. Статистические критерии оптимальности более полно отражают представление о качестве объектов проектирования, однако их использование, как правило, при автоматизированном проектировании ведёт к значительному увеличению затрат машинного времени [Корячко В.П. и др. Теоретические основы САПР: Учебник для вузов/В.П. Корячко, В.М. Курейчик, И.П. Норенков. – М.: Энергоатомиздат, 1987. – 400 с.: ил.].

Постановка задачи многокритериальной оптимизации

Опр. 13. Задачи оптимизации, в которых имеется не одна, а несколько целевых функций (критериев), получили название многокритериальных задач… Критерии Fi(X), i=1,2, . . . , m, образуют векторный критерий F(X)=(F1, F2, .… Пусть X1ÎD, тогда

XÎD XÎD XÎD XÎD XÎD

Замечание. Векторная задача (выражение (4)) представляет собой ММ проектируемого объекта (технической системы), т.е. критерий эффективности,… Процесс решения задачи (5), как правило, состоит из двух этапов: 1. Находят множество решений оптимальных по Парето PÌD;

XÎD

Таким образом, в результате решения задачи (4) мы получим вектор оптимальных параметров объекта и набор технических характеристик объекта F_i(X_opt), i=1,2, . . . , m.

 

Проблемы решения задач многокритериальной оптимизации

min F(X) или min (F1(X), F2(X), . . . , Fm(X)) XÎD XÎD где Fi(X), i=1,2, . . . , m, частные критерии, D – область работоспособности. Заметим, что к выходным параметрам…

В целом, все принимаемые в ТПР принципы оптимальности прямо или косвенно отражают идеи устойчивости, выгодности и справедливости.

Вычисление оптимума ЗВО. Сейчас достигнуты определённые успехи в области решения задач математического программирования (МП). Так по одним данным,… Замечание. Оценивая в целом все рассмотренные и перечисленные методы векторной… Развитие методов решения задач векторной оптимизации идёт по трём направлениям (хотя некоторые авторы называют…

Оптимальность по Парето

Введение

В науке и технике достаточно актуальны задачи многокритериальной оптимизации [1,2,3], требующие одновременной оптимизации сразу по нескольким функциям (критериям). Краеугольным понятием в многокритериальной оптимизации является – Парето-оптимальная (недоминируемая) альтернатива, т.к. поиск приемлемой ("оптимальной") альтернативы, являющейся решением многокритериальной задачи, следует выполнять на множестве недоминируемых альтернатив. Именно поэтому так актуальны методы, позволяющие выделять подмножества Парето-оптимальных альтернатив из множества возможных альтернатив.

Для облегчения результатов полезно всё время проводить аналогию с однокритериальным (классическим) случаем. Пусть имеется область D и задана функция f(X) – целевая функция (критерий). Задача оптимизации имеет вид

min f(X)

XÎD

Точка X₁ÎD называется оптимальной (недоминируемой, неулучшаемой), если не существует точки X₂ÎD, для которой f(X₁)>f(X₂) (целевая функция минимизируется). Аналогично в МЗО можно исключить из области D точки, которые заведомо не могут оказаться наилучшими.

Очевидно, что в обобщённом смысле определение оптимальности можно трактовать как описание (выделение) в подмножестве D некоторого нового подмножества D₀, т.е. некоторое сужение D до D₀ ÌD. В зависимости от характера описания, подмножество D₀ может оказаться пустым, состоять из одного элемента, содержать более одного элемента. Описание D₀ можно проводить либо только с помощью критериев Fi, либо использовать дополнительные условия. Здесь мы рассмотрим направление, которое связано с определением оптимальности по Парето[2].

Отношение доминирования по Парето. Парето-оптимальность

Опр. Пусть имеются два решения X1 и X2. Говорят, что решение X1 лучше (предпочтительнее, эффективнее, доминирует) решения X2, если Fi(X1)<=Fi(X2)… Опр. Решение X2 называется доминируемым, если существует решение X1, не хуже… Fi(X2)£Fi(X1) при максимизации функции Fi,

Опр. Стратегия X1ÎD называется эффективной (оптимальной по Парето), если не существует стратегии X2ÎD такой, что Fi(X2)£Fi(X1), i=1, . . ., m, F(X2)¹F(X1), или

Опр. Если решение не доминируемо никаким другим решением, то оно называется недоминируемым или оптимальным в смысле Парето.

Очевидно, тогда в составе множества D нет смысла сохранять решение X₂, оно вытесняется (или, как говорят, “доминируется”) решением X₁. Ладно, выбросим, решение X₂ как неконкурентоспособное и перейдём к сравнению других решений по всем критериям. В результате такой процедуры отбрасывания заведомо непригодных, невыгодных решений множество D обычно сильно уменьшается: в нём сохраняются только так называемые эффективные (иначе “паретовские”) решения, характерные тем, что ни для одного из них не существует доминирующего решения. Множество таких точек и называется множеством точек оптимальных по Парето. Множество точек оптимальных по Парето лежат между точками оптимумов, полученных при решении задачи математического программирования для каждого частного критерия. В литературе множество точек оптимальных по Парето, как правило, обозначают буквой P (PÌD).

Опр. Множество векторных оценок, соответствующих множеству эффективных точек, называют областью компромиссов (переговорным множеством) или множеством Парето в области критериев. Будем обозначать Y_P (Y_P ÍY_D).

Опр. Множество векторных оценок, соответствующих множеству неэффективных точек (доминируемых решений), называют областью согласия Y_c.

В области Y_c нет противоречия между частными критериями оптимальности, т.к. каждая точка XÎD может быть изменена таким образом, что будет одновременно улучшены все частные критерии.

Если область критериев Y_D состоит только из области согласия Y_c, то существует единственная точка X_optÎD, в которой все частные критерии согласованны между собой в том смысле, что при движении к точке X_opt все F_i(X) i=1, 2, . . ., m, одновременно улучшаются. Все частные критерии достигают минимума в т. X_opt

(см. рис. 1). Такую точку называют оптимальным решение и при этом значения

всех частных критериев достигают в ней минимума.

 

Рис. 1. Критерии F₁ и F₂ непротиворечивы

Однако такая ситуация встречается крайне редко. Наиболее типичным является случай, когда частные критерии являются противоречивыми и минимум по каждому из них достигается в различных точках. В этом случае уменьшение одного частного критерия приводит к увеличению других частных критериев (рис. 2).

Рис. 2. Критерии F₁ и F₂ противоречивы на отрезке [1; 2]

Оптимальность по Парето означает, что нельзя дальше улучшать значение одного критерия, не ухудшая при этом хотя бы одного из остальных.

Проиллюстрируем приём выделения паретовских решений на примере задачи с двумя критериями F₁ и F₂ (оба требуется максимизировать). Множество D состоит из 11 возможных решений. Каждому решению соответствуют определённые значения показателей F₁ и F₂. Пусть имеются следующие векторные оценки: F(X₁)=(2;4), F(X₂)=(3;5), F(X₃)=(3;3), F(X₄)=(5;2), F(X₅)=(4;3), F(X₆)=(1;3), F(X₇)=(2;3), F(X₈)=(3;2), F(X₉)=(2;2), F(X₁₀)=(3;1), F(X₁₁)=(2;1). Векторные оценки исходов представим точками координатной плоскости (по оси абсцисс откладываем значения критерия F₁, а по оси ординат – значения критерия F₂). Используем принцип оптимальности по Парето для выделения эффективных решений. Решение X₁ вытесняется решением X₂, решение X₂ лучше решений X₃, X₇, X₈, X₉, X₁₀ и X₁₁. Решение X₄ по первому критерию лучше решения X₅, а по второму наоборот, т.е. имеем неулучшаемые решения, и т.д. После проведённого анализа у нас остались три решения X₂,X₄, X₅ оптимальных по Парето.

Построим критериальное пространство для нашей задачи. Как известно паре чисел соответствует точка на плоскости. Занумеруем точки соответственно номеру решения (рис. 3). Из рисунка видно, что эффективные точки лежат на правой верхней границе области возможных решений (Ауд. решить данную задачу, когда оба критерия нужно минимизировать).

Рис. 3. Множество Y_k

Когда из множества возможных решений выделены эффективные, “переговоры” могут вестись уже в пределах этого "эффективного" множества. На рис 3. образуют три решения X₂, X₄, X₅; из них X₄ лучше по критерию F₁, а решение X₂ по критерию F₂. Дело ЛПР, выбрать тот вариант, который для него предпочтителен и “приемлем” по обоим критериям.

Замечание. Точка Y₁ выбирается в Y_D в том и только в том случае, когда любая другая точка Y₂ из Y_D имеет хотя бы по одной координате значение больше чем Y₁ (критерии минимизируются).

Замечание. Для определения эффективных точек используют правило “уголка”. Уголок вида ∟ используется для определения компромиссных точек в критериальном пространстве, когда критерии максимизируются, а уголок ┐когда критерии минимизируются.

В случае, когда множество допустимых исходов является непрерывным, их векторные оценки "заполняют" некоторую область Y_D на плоскости и получается "картинка" вроде изображённой на рис.4. В этом случае множество Парето-оптимальных оценок (красная линия) представляет собой часть границы Y_D, образно говоря, её "юго-западную" границу". Если критерии максимизируются то – "северо-восточную" границу области Y_D.

 

Рис. 4. Пространство оценок Y_D
и компромиссная кривая (красный цвет)

Замечание. В случае невыпуклой области её Парето-оптимальная граница может иметь более "экзотический" вид, например, состоять из отдельных линий и/или точек. Для данного примера (критерии максимизируются) — это правый пик.

Замечание. Экономисты так определяют оптимальность по Парето. Состояние называется оптимальным по Парето, если выполняется следующее условие: ничьё благосостояние не может быть улучшено без ухудшения благосостояния кого-либо другого (см. История экономических учений. /Под ред. В. Автономова: Учеб. Пособие. – М.: ИНФА – М, 2000. – 784 с. (стр. 242)).

Таким образом, под оптимально-компромиссным решением будем понимать одну из эффективных точек, являющуюся предпочтительней с точки зрения ЛПР. Задача векторной оптимизации не позволяет однозначно ответить на вопрос, получено ли оптимальное решение. Положительный ответ на этот вопрос зависит от качественной информации о важности частных критериев, которая имеется у ЛПР.

Аналитические методы построения множества Парето

Особый интерес для практики — m=2. В этом случае множество паретовских точек представляет собой одномерное многообразие на плоскости и допускает… Опр. Множество паретовских точек в двухмерном пространстве критериев называют… Она может состоять из несвязных кусков и содержать изолированные точки (см. рис. 5). Компромиссная кривая (КК) строго…

Расчёт компромиссных кривых.

Последнее векторное уравнение равносильно n скалярным алгебраическим уравнениям которые определяет кривую в пространстве параметров x1=j1(l), ...,… F1=F1(j1(l), ..., jn(l)), F2=F1(j1(l), ..., jn(l)), l³0.

Способы сужения Парето-оптимального множества

Для выбора одной оптимальной стратегии из множества эффективных решений в каждой конкретной многокритериальной задаче необходимо использовать… Наиболее логичным и последовательным представляется путь построения бинарного… Необходимо отметить, что необоснованность сужения множества Парето является существенным недостатком многих методов…

Литература

1. Многокритериальная оптимизация: Математические аспекты /Б.А Березовский, Ю.М. Барышников и др. – М.: Наука, 1989. – 128 с.

2. В.В. Розен. Математические модели принятия решений в экономике. Учебное пособие.– М.: Книжный дом "Университет", Высшая школа, 2002.– 288 с., ил.

Численные методы получения множеств Парето

Часто используют следующий подход. Во множестве D выбирается некоторая сетка, например, координаты которой определяются с помощью датчика случайных чисел, распределённых по равномерному закону. Потом вычисляют значения векторного критерия F в точках этой сетки, после чего за конечное число сравнений, используя функцию выбора по Парето, строится множество Парето на указанной сетке, являющееся при большом N приближением множества Парето относительно D (N - число точек сетки).

 

Рис.11. Левый рисунок – область D и P (красная линия), правый рисунок – область векторных оценок Y_D и КК (красная линия)

Литература

1. Подиновский В.В., Ногин В.Д. Парето-оптимальные решения многокритериальных задач. – М.: "Наука", 1982. – 254 с.

2. Соболь И.М., Статников Р.Б. Выбор оптимальных параметров в задачах со многими критериями. – М.: Наука, 1982. – 110 с.

3. Ногин В.Д. Принятие решений в многокритериальной среде. Количественный подход. – М.: Физматлит, 2002. – 176 с.

4. Сушков Ю.А. Метод, алгоритм и программа случайного поиска // -- Л.: ВНИИТрансМаш, 1969. – 43 с.

5. Сушков Ю.А. Об одном способе организации случайного поиска // Исследование операций и статистическое моделирование. – Л. ЛГУ. 1972. Вып.1. – С.180-185.

6. Deb K. Multi-objective Genetic Algorithms: Problem Difficulties and Construction of Test Problems. // Evolutionary Computation – vol.7, 1999. – pp. 205-230.

7. Deb K. Evolutionary Algorithm for Multi-Criterion Optimization in Engineering Design // Proceedings of Evolutionary Algorithms in Engineering and Computer Science (EUROGEN-99) – pp. 135-161.

8. Zitzler E., Thiele L. Multiobjective optimization using evolutionary algorithms – A comparative case study. // Parallel Problem Solving from Nature -- Springer, Berlin, Germany. – pp. 292-301.

9. Черноруцкий И. Г. Методы оптимизации и принятия решений. -- СПб.: Лань, 2001. – 384 с.

10. Сушков Ю.А. Многокритериальность в многорежимных системах. // Архитектура и программное оснащение цифровых систем. – М.: МГУ, 1984. – С . 71-77.

11. Курячко В.П., Курейчик В.М., Норенков И.П. Теоретические основы САПР. -- М.: Энергоатомиздат, 1987. – 400 с.

12. Абакаров А.Ш., Сушков Ю.А. Статистическое исследование случайного поиска //Математические модели. Теория и приложения. – СПб.: СПбГУ. 2002. – C. 87-101.

 

 

Предыдущая Главная Следующая

Тема. Методы определения весовых коэффициентов

В многокритериальных задачах оптимального проектирования возникает необходимость объективной оценки важности частных критериев, включаемых в… f(X)=å li×fi(X) – аддитивный критерий; f(X)= – мультипликативный критерий;

Экспертные оценки

Основная идея экспертных методов состоит в том, чтобы использовать интеллект людей, их способность искать и находить решение слабо формализованных задач. В теории экспертных оценок разработан ряд методов проведения экспертизы. Наиболее эффективными оказались методы ранжирования и приписывания баллов.

Метод ранжирования

  Эксперты Критерии F1 F2 . . . Fm r11 r12 . . . r1m …   , i=1,2, …,m.

Метод приписывания баллов

  где - сумма i - ой строки. rik - называют весом, подсчитанным для k - критерия i - м экспертом. Отсюда, учитывая, что

Обработка результатов экспертных оценок

Среднее значение выражает коллективное мнение группы экспертов. Степень согласованности мнений экспертов характеризуется величиной называемой дисперсией оценок. Ясно, что чем меньше значение дисперсии, чем с…

Формальные методы определения весовых коэффициентов

Способ 1. Для каждого частного критерия оптимальности Fi(X)>0, вычисляется коэффициент относительного разброса по формуле: , где , который определяет максимально возможное отклонение по -му частному критерию. Весовые коэффициенты λi…

Методы замены векторного критерия скалярным

Метод взвешенных сумм (Метод линейной свертки) Идея этого метода заключается в том, что обобщённый критерий записывается в… (1)

Проблемы построения обобщённого критерия для векторных задач оптимизации

Вопросы: · Сложности в построении обобщённого критерия; примеры. · Формальное определение обобщённого критерия. Эквивалентность обобщённых критериев.

Метод главного критерия

Метод последовательных уступок

Таким образом, оптимальным считается всякое решение, являющимся решением последней задачи из следующей последовательности задач   1) Найти F1 min=min F1(X)

Лексикографический критерий

Наиболее часто МЗ с таким жестким упорядочиванием частных критериев по важности возникает при последовательном введении дополнительных критериев в… Пусть, например, задача с одним критерием F1 имеет несколько решений. Подобное… Определение. МЗО со строго упорядоченными по важности критериями называют лексикографическими.

Постановка детерминированной лексикографической задачи оптимизации

Если же значение каждого частного критерия для рассматриваемых стратегий оказываются равными, то эти стратегии считаются эквивалентными, т.е.… Таким образом, стратегия X1 предпочтительнее стратегии X2 , если выполняется…

F1(X1) < F1(X2); 2) F1(X1) = F1(X2), F2(X1)<F2(X2); ∙ ∙ (1) ∙ m) Fi(X1) = Fi(X2), i=1, 2, , m-1, Fm(X1)<Fm(X2).

Стратегии X₁ и X₂ эквивалентны (X₁~X₂), если выполнено условие

F(X₁) = F(X₂) (2).

Опр. Стратегия X₁ лексикографически не хуже чем стратегия X₂ (X₁X₂), если выполнено одно из условий (1) или (2).

Опр. Оптимальной называется такая стратегия X*, которая не хуже любой другой стратегии X, т.е. если (X^*X).

Это определение аналогично определению оптимальных стратегий в обычных скалярных задачах с единственным критерием.

Зам. В лексикографической постановке формулируются задачи оптимизации сложных систем, состоящей из взаимосвязанных подсистем, относящихся к разным иерархическим уровням.

Зам. Лексикографическое упорядочивание часто используется для установления правил старшинства, приоритета и т.д. Очень много примеров можно найти в спорте: достаточно вспомнить определение победителей в соревнованиях по хоккею, футболу, шахматным турнирам и т.д. Например, 1) первое место занимает команда, набравшая наибольшее количество очков;

2) если одинаковое количество очков, то чемпионом будет сборная, имеющая лучший результат (очкам) во встречах между этими командами;

3) разница между забитыми и пропущенными шайбами;

4) отношение забитых шайб к пропущенным;

5) по буллитам;

6) подбрасывается монета.

Метод равенства частных критериев

fi(X)=K , i=1, 2, . . ., m (3) или в другой форме f1(X)= f2(X)= …=fm(X). С учётом весовых коэффициентов важности частных критериев выражение (3) запишется в виде