КАК ДЕТИ ОБРАЗУЮТ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ

Это большая ошибка — думать, что ребенок приобретает по­нятие числа и другие математические понятия непосредственно в обучении. Наоборот, в значительной степени он развивает их самостоятельно, независимо и спонтанно. Когда взрослые пыта­ются навязать ребенку математические понятия преждевремен­но, он выучивает их только словесно; настоящее понимание при­ходит только с его умственным ростом.

Это можно показать на простом опыте. Ребенка 5 пли G лет родители легко могут научить называть числа от 1 до 10. Если выложить 10 камешков в ряд, ребенок может правильно их сосчи­тать. Но если выложить камешки в виде более сложной фигуры или нагромоздить их кучей, он уже не может считать их с посто­янной точностью. Хотя ребенок знает названия чисел, он еще не уловил существенной идеи числа, а именно, что число объектов в группе остается тем же, «сохраняется» независимо от того, как их растасовать или расположить.

С другой стороны, мы часто обнаруживаем, что ребенок 6V2 или 7 лет спонтанно образовал понятие числа, хотя до этого его не учили считать. Если ему дать 8 красных и Я синих кусочков картона, он установит, располагая их попарно «1» к «1», что чис­ло красных такое же, как и число синих, и что обе группы оста­ются равными по числу независимо от формы, которая им при­дается.

Опыт с соотнесением «1» к «1» полезен и для изучения того, как у детей развивается понятие числа. Выложим ряд из 8 крас­ных кусочков на расстоянии около сантиметра друг от друга и попросим наших маленьких испытуемых взять из ящика столько же синих кусочков. Реакции детей будут зависеть от возраста, и мы можем наметить три стадии развития. Ребенок в возрасте 5 лет и моложе будет выкладывать синие кусочки так, чтобы сде­лать ряд точно такой же длины, как и красный ряд, при этом красные кусочки он кладет вплотную друг к другу, а не на рас­стоянии. Он думает, что число остается тем же, если длина ряда такая же. В возрасте около 6 лет дети переходят на вторую ста­дию; они кладут один синий кусочек против каждого красного и получают правильное число. Но это вовсе не всегда означает, что дети приобрели понятие о самом числе. Если мы раздвинем крас­ные кусочки, сделав расстояние между ними более значитель­ным, то шестилетний ребенок будет думать, что теперь в более длинном ряду больше кусочков, хотя мы и не изменили их число. В возрасте от 67а до 7 достигают третьей стадии: теперь они знают, что, будем ли мы сдвигать или раздвигать ряд, число ку­сочков в нем остается тем же, что и в другом ряду.

В другом сходном опыте ребенку дают 2 сосуда одинаковой

формы и размера и просят вынимать одновременно обеими рука­ми и класть в другие 2 сосуда бусинки: синюю бусинку —в один сосуд правой рукой, а красную бусинку —в другой сосуд левой рукой. Когда ребенок более или менее наполнит сосуды, его спра­шивают, как их сравнить. Ребенок уверен, что в обоих сосудах одинаковое число бусинок. Тогда его просят высыпать синие бу­сы в сосуд другой формы и размера. И теперь снова соответст­венно возрасту выступают различия в понимании. Младшие дети думают, что число изменилось: если, например, бусы наполняют сосуд до более высокого уровня, ребенок утверждает, что теперь в нем больше бус, чем было в прежнем; если бусы наполняют сосуд до более низкого уровня, ребенок думает, что теперь их меньше. Но дети около 7 лет уже понимают, что перемещение не меняет число бус.

Короче говоря, дети должны уловить принцип сохранения ко­личества, прежде чем они могут образовать понятие числа. Но, конечно, сохранение количества само по себе не является число­вым понятием; это скорее логическое понятие. Так эти опыты из области детской психологии бросают некоторый свет на эписте­мологию понятия числа, которое являлось предметом исследо­вания многих математиков и логиков. <...>

Исследование того, что ребенок открывает пространственные отношения, что можно назвать спонтанной геометрией ребенка, не менее плодотворно, чем изучение его числовых понятий. По­рядок развития идей ребенка в области геометрии кажется об­ратным порядку их исторического открытия. Научная геометрия начинается с системы Эвклида (трактующей фигуры, углы и т. д.), развивается в XVII столетии в так называемую проек­тивную геометрию (имеющую дело с проблемами перспективы), и, наконец, в XIX столетии приходит к топологии (описывающей пространственные отношения в общем качественном виде, напри­мер различие между открытыми и замкнутыми структурами, внешним и внутренним, близостью и разделением). Ребенок на­чинает с последнего: его первые геометрические открытия явля­ются топологическими. В возрасте 3 лет он легко различает от­крытые и замкнутые фигуры: если вы попросите его срисовать квадрат или треугольник, он нарисует замкнутый круг; он рисует крест двумя отдельными линиями. Если вы показываете ему ри­сунок большого круга с маленьким кругом внутри, он может вос­произвести это отношение, но может также нарисовать малень­кий круг вне большого илн соприкасающимся с ним краем. И все это он может сделать прежде, чем сумеет нарисовать прямоуголь­ник или выразить эвклидовы характеристики фигуры (число сто­рон, углы и т. д.). Лишь значительно позже того, как ребенок ов­ладеет топологическими отношениями, он начинает развивать свои понятия эвклидовой и проективной геометрии. И тогда он строит их одновременно. <;...>

Проверим наших юных испытуемых в отношении проективных структур. Сначала мы ставим 2 крайних столбика «решетчатой

ограды» (маленькие палочки, вставленные в основания из пла­стилина) на расстоянии приблизительно 15 дюймов друг от друга и просим ребенка поставить другие столбики по прямой линии между ними. Самые младшие дети (младше 4 лет) ставят один столбик рядом с другим, образуя более или менее волнистую ли­нию. Их подход является топологическим: элементы связаны ско­рей простым отношением близости, чем проекцией линии как та­ковой. На следующей стадии, старше 4 лет, ребенок уже может составить прямую линию, если крайние столбики расположены параллельно краю стола или если есть какая-нибудь другая пря­мая линия, которой ребенок может руководствоваться. Если крайние столбики расположены по диагонали стола, ребенок мо­жет начать строить линию параллельно краю стола, а затем ме­няет направление и образует кривую, чтобы подвести линию к последнему столбику. Случайно малыш может сделать и прямую линию, но она будет лишь одной среди прочих других, получае­мых посредством проб и ошибок, а не по системе.

В возрасте 7 лет ребенок может построить прямую ограду всегда и в любом направлении стола, и эту прямую линию он проверяет так: он закрывает один глаз и просматривает направ­ление другим глазом, как это делает садовник, равняя жерди для бобов. Перед нами сущность проективного понятия; линия все еще является топологичекой линией, но ребенок улавливает, что проективное отношение зависит от угла зрения или «точки зрения».

Это исследование можно продолжить с помощью другого' опыта. Например, вы ставите на стол куклу и помещаете перед ней предмет, ориентированный в определенном направлении: карандаш, лежащий наискось, по диагонали или вдоль линии взора куклы, или часы, поставленные или положенные на столе. Затем вы просите ребенка нарисовать, как кукла видит предмет, или, еще лучше, выбрать из 2 или 3 рисунков один, который это изображает. Не ранее чем около 7 или 8 лет ребенок может пра­вильно вывести угол зрения куклы.

Сходный опыт, поставленный для проверки того же вопроса, ведет к такому же заключению. Предметы разной формы поме­щаются в разных положениях между источником света и экраном, и ребенка просят предсказать, какой будет форма тени от пред­мета на экране.

Способность координировать разные перспективы проявляет­ся не ранее 9 или 10 лет. Это иллюстрирует опыт, который не­сколько лет тому назад я подсказал своей сотруднице д-ру Эдит Мейер. Экспериментатор сидит за столом против ребенка и ста­вит между ним и собой гряду гор, сделанную из картона. Оба видят эту гряду во взаимно обратной перспективе. Ребенка про­сят выбрать из нескольких рисунков один, соответствующий его собственному виду гряды, и один —ее виду с позиции лица, сидя­щего против него. Естественно, самые младшие дети могут вы­брать только один рисунок, соответствующий их точке зрения;

они думают, что все точки зрения подобны их собственной. Еще более интересно, что. если ребенок меняется местами с экспери­ментатором и теперь видит горы с другой стороны, он полагает, что его новая точка зрения является единственно правильной; он не может воспроизвести вид с точки зрения, которая была его собственной непосредственно перед этим. Это хороший при­мер эгоцентричности, столь характерной для детей, пример при­митивного рассуждения, мешающего им понять, что может быть и более чем одна точка зрения.

Дети должны проделать значительную эволюцию, чтобы где-то около 9 или 10 лет начать различать и координировать разные возможные перспективы. На этой стадии дети могут понять про­ективное пространство в его конкретной или практической фор­ме, но, естественно, не в его теоретических аспектах.

К тцму времени, когда ребенок образует представление о проективном пространстве, он также строит и эвклидово про­странство; оба построения опираются друг на друга. Так, напри­мер, выстраивая ряд столбиков ограды, он может воспользовать­ся не только методом просмотра, но вытянуть параллельно обе руки, давая этим направление ограде. Он применяет понятие о сохранении направления, которое является эвклидовым принци­пом. Здесь мы имеем еще одну иллюстрацию того факта, что дети образуют математические понятия на качественном или логическом основании.

Принцип сохранения образуется в разных формах. Первой является сохранение длины. Если вы положите один блок на другой такой же длины, а затем выдвинете один блок так, чтобы его конец выходил за границы другого, то ребенок б лет будет утверждать, что оба блока уже не равны по длине. Не ранее чем около 7 лет ребенок начинает понимать, что то, что блок выиг­рывает на одном конце, он теряет на другом. Нужно отметить — ребенок приходит к этому понятию о сохранении длины путем логического заключения.

Экспериментальное изучение того, как ребенок открывает со­хранение расстояния, особенно показательно. Между двумя ма­ленькими игрушечными деревьями, стоящими на расстоянии друг от друга, вы помещаете стену из блоков или куска толстого картена и спрашиваете ребенка (конечно, на его языке), нахо­дятся ли теперь деревья на том же расстоянии друг от друга. Самые маленькие дети думают, что расстояние изменилось; они просто не могут сложить 2 части расстояния в одно общее рассто­яние. Дети 5 или б лет думают, что расстояние уменьшилось, ука­зывая на то, что ширина стены не считается расстоянием; иными словами, заполненное пространство не имеет для них такого же значения, как пустое пространство. Только в возрасте около 7 лет дети приходят к пониманию того, что промежуточные предметы не меняют расстояния.

Как бы вы ни проверяли, вы всегда обнаруживаете следую­щее; дети не доходят до принципа сохранения длины или поверх-

ности, пока — где-то около 7 лет — не открывают обратимости, которая показывает, что первоначальное количество остается тем же (например, выравнивание блоков одинаковой длины, устранение стены и т. д.). Таким образом, открытие логических отношений является предварительным условием образования геометрических понятий, как это имеет место при образовании понятия о числе.

Это относится и к самому измерению, которое также являет­ся производным понятием. Интересно проследить, как дети спон­танно научаются измерять. Д-р Инельдер, одна из моих сотруд­ниц, и я провели следующий эксперимент: мы показывали ребеи* ку башню из блоков, стоящую на столе, и просили его построить другую башню такой же высоты на другом столе (который был ниже или выше первого) из блоков разного размера. Конечно, мы снабжали ребенка всеми необходимыми измерительными ии* струментами. Попытки ребенка решить эту задачу проходят пора­зительную эволюцию. Самые младшие дети строят вторую башню до того же визуального уровня, что и первая, не заботясь о раз­личии в высоте столов. Они сравнивают башни, отступая назад и просматривая их верхушки единым взором. На несколько более высоком этапе развития ребенок кладет на верхушки башен длинный стержень, чтобы удостовериться в том, что они на одном уровне. Несколько позже он замечает, что основание его башни находится не на том уровне, что основание модели. Тогда, чтобы уравнять их, он хочет поместить свою башню рядом с образцом, на том же столе. Вспомнив, что правила игры запрещают пере­двигать его башню, ои начинает оглядываться в поисках средств измерения. Интересно, что первое, приходящее ему на ум, — это его собственное тело. Он кладет одну руку на вершину своей башни, другую—на ее основание и затем, пытаясь сохранить неизменное расстояние между руками, направляется к другой башне, чтобы сравнить это расстояние с нею. Дети около б лет делают это весьма уверенно — так, как если бы их руки не могли изменить положения по пути! Вскоре они обнаруживают, что ме­тод не надежен, и тогда прибегают к проекции точек башни на свое тело. Ребенок соотносит свои плечи с вершиной своей баш­ни, против ее основания отмечает рукой точку на своем бедре и направляется к модели посмотреть, является ли расстояние тем же.

В конце концов ребенку приходит мысль о независимом изме­рительном инструменте. Его первая попытка в этом направлении заключается в том, чтобы построить рядом третью башню такой же высоты, как и та, что он уже воздвиг. Построив эту третью башню, он пододвигает ее к первому столу и ставит рядом с моделью; это допускается правилами. Достижение ребенком этой стадии предполагает процесс логического рассуждения. Если мы назовем башню образец Л, вторую башию С, а переме­щаемую башню В, то ребенок рассуждает так: В = С н В = А, поэтому А —С,

Позднее ребенок замещает третью башню стержнем, но сна­чала стержень должен быть точно такой же длины, как высота башни, подлежащей измерению. Затем он постигает идею исполь­зовать более длинный стержень, на котором отмечает пальцем высоту башни. Наконец, — и это начало настоящего измерения — он понимает, что может использовать более короткий стержень и измерить высоту башни, откладывая стержень по ее стороне известное число раз.

Последнее открытие содержит две новые логические опера­ции. Первая — это процесс разделения, который позволяет ребен­ку понять, что целое состоит из некоторого числа сложенных вме­сте частей. Вторая—это операция смещения или замещения, ко­торая позволяет ему присоединить одну часть к другой и таким путем создавать систему единиц. Поэтому можно сказать, что измерение есть синтез разделения на части и замещения, подоб­но тому как число есть синтез включения категорий и сериаль­ного порядка. Но измерение развивается позднее, чем понятие числа, потому что труднее разделить непрерывное целое на взаимозаменяемые единицы, чем перечислить уже разделенные элементы.

Чтобы изучить измерение в двух направлениях, мы даем ре­бенку большой лист бумаги с карандашной точкой на нем и просим поставить точку в том же месте на другом листе такого же размера. Ребенок может воспользоваться палочками, полос­ками бумаги, веревочками, линейками или любым другим из­мерительным инструментом, в котором он нуждается. Самые младшие испытуемые довольствуются визуальным приближени­ем, не пользуясь никакими орудиями. Позднее ребенок пользу­ется измерительным инструментом, но измеряет только рас­стояние точки от основания или бокового края листа и очень удивляется, что это единичное измерение не дает ему правильно­го положения точки. Тогда он измеряет расстояние точки от угла листа, пытаясь сохранить тот же наклон (угол) линейки на своем листе. Наконец, в возрасте около 8 или 9 лет он открыва­ет, что должен разделить измерение на 2 операции; горизонталь­ное расстояние от боковой стороны и вертикальное расстояние от основания или верхнего края. Сходный опыт с бусами в ящике показывает, что ребенок открывает трехмерные измерения при­близительно в том же возрасте.

Измерение в двух или трех направлениях приводит нас к центральной идее эвклидова пространства, а именно к идее осей координат — системы, основанной на горизонтальности или вер­тикальности физических объектов. Может показаться, что даже маленький ребенок должен был бы понять эти представления, ибо в конце концов он может различить между положениями «прямо вверх» и «лежащее внизу». Но в действительности пред­ставление о вертикальных и горизонтальных линиях поднимает совсем другой вопрос об этом субъективном сознании постураль-иого пространства. Д-р Инельдер и я изучали его с помощью

следующих опытов: показывая сосуд, наполовину наполненный

окрашенной водой, мы просили маленьких испытуемых сказать, каков будет уровень воды, если наклонить сосуд так или иначе. Не ранее 9 лет ребенок постигает идею горизонтальности и на­чинает отвечать правильно. Сходные опыты с отвесом или с иг­рушечной парусной лодкой с высокой мачтой демонстрируют, что понимание вертикальности, появляется примерно в то же время. Такое запаздывание в приобретении ребенком этих понятий в действительности не удивительно, так как эти понятия требуют, чтобы ребенок уловил не только внутренние отношения объекта, но также его отношения к внешним элементам (например, к столу, полу нлн стенам комнаты).

Когда ребенок уясняет себе, как строить эти оси координат по отношению к естественным объектам (что наступает прибли­зительно в то же время, когда он овладевает координацией раз­ных перспектив), он также достигает понимания того, как надЬ изображать пространство. Но к этому времени он развивает н свои основные математические понятия, которые возникают спонтанно из его собственных логических операций.

Описанные мною опыты, как они ни просты, были удивитель­но плодотворны и выявили много неожиданных фактов. Эти факты бросают яркий свет на многие вопросы психологии и пе­дагогики; более того, они учат нас многому о человеческом по­знании вообще.

Вопросы психологии, 1966, jVs 4, с. 121—126.

Н. С. Лейтес ВОЗРАСТНЫЕ ПРЕДПОСЫЛКИ УМСТВЕННЫХ СПОСОБНОСТЕЙ

В настоящей статье речь пойдет не о специальных способ­ностях (например, к музыке, к рисованию), а о так называемых общих, или умственных, способностях (ум, интеллект). В усло­виях общеобразовательной школы именно умственные способно­сти учеников выступают на первый план. <...!>

Понятно, что оценка умственных достоинств ребенка предпо­лагает учет его возраста. Так, суждение о темпе умственного роста ученика возможно лишь при соотнесении с достигаемой к данному возрастному периоду продвннутостью в развитии. При этом нельзя, например, оценить обучаемость младшего школьника, ученика средних классов или старшеклассника в каких-то единых, абсолютных единицах измерения (ведь меня­ется не только объем, но н содержание усваиваемого; существует своеобразие умственного развития на разных возрастах, поэтому трудно сопоставимы темпы умственного развития учащихся разного возраста).